КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ імені ТАРАСА ШЕВЧЕНКА
Механіко-математичний факультет
механіко-математичний факультет
кафедра геометрії
Укладач: доц. Кочаровський В. Г.
ДИФЕРЕНЦІАЛЬНА ГЕОМЕТРІЯ ТА ТЕНЗОРНИЙ АНАЛІЗ.
РОБОЧА НАВЧАЛЬНА ПРОГРАМА
для студентів спеціальності « Механіка. »
Затверджено
на засіданні кафедри
Протокол № ___
від „___”___________2007р.
Зав. кафедри
____________ГороднійМ. Ф.
Декан факультету
_____________Парасюк І. О.
КИЇВ-2007.
Робоча навчальна програма з дисципліни «Диференціальна геометрія та тензорний аналіз.». Укладач: кандидат фізико-математичних наук, доцент КОЧАРОВСЬКИЙ ВЯЧЕСЛАВ ГРИГОРОВИЧ.
Лектор: к. ф-м. н., доц. КОЧАРОВСЬКИЙ В. Г.
Викладач: ас. БІЛУН С. В.
Погоджено
з науково-методичною комісією
«____» ______________ 2007р.
___________________________
Підпис голови НМК факультету
ВСТУП
Дисципліна "Диференціальна геометрія та тензорний аналіз" є базовою нормативною дисципліною для спеціальності "Механіка", що читається в I семестрі в обсязі 2,5 кредитів і розрахована на 160 годин занять. З них 54 годин лекцій, 36 годин лабораторних занять і 70 годин самостійної роботи. Закінчується іспитом в I семестрі.
Мета і завдання навчальної дисципліни «Диференціальна геометрія та тензорний аналіз.»: навчитися досліджувати геометричні властивості кривих, поверхонь за допомогою методів диференціального числення.
Предмет навчальної дисципліни «Диференціальна геометрія та тензорний аналіз»: крива, поверхня, тензорне поле.
Вимоги до знань та вмінь студентів.
Знати: основні поняття диференціальної геометрії, зокрема: крива, поверхня, гомеоморфізм, тригранник Френе, кривина, скрут, перша і друга квадратичні форми поверхні, повна та середня кривини, геодезичні лінії, тензорне поле.
Вміти: задавати криву та поверхню різними способами, застосовувати першу та другу квадратичні форми поверхні при розв’язуванні задач, обчислювати кривину, скрут кривої, повну та середню кривини поверхні, знаходити елементи тригранника Френе, обчислювати коваріантну похідну.
Місце в структурно-логічній схемі спеціальності. Нормативна навчальна дисципліна «Диференціальна геометрія та тензорний аналіз» є складовою циклу професійної підготовки фахівців освітньо-кваліфікаційного рівня «бакалавр» і використовується при вивченні нормативних курсів «диференціальні рівняння», «теоретична механіка» та інших.
Система контролю знань та умови складання іспиту. Навчальна дисципліна "Диференціальна геометрія та тензорний аналіз" оцінюється за модульно-рейтинговою системою. Вона складається з 2 модулів.
Результати навчальної діяльності студентів оцінюються за 100 - бальною шкалою.
Модульний контроль: 2 модульні контрольні роботи.
І семестр
Змістовий модуль 1 — 30 балів:
§ виконання лабораторних робіт (активність студента на заняттях, виконання аудиторних та домашніх завдань) — 10 балів;
§ письмова контрольна робота — 20 балів;
Змістовий модуль 2 — 30 балів:
§ виконання лабораторних робіт (активність студента на заняттях, виконання аудиторних та домашніх завдань) — 10 балів;
§ письмова контрольна робота — 20 балів.
Іспит — 40 балів.
Всього за семестр — 100 балів.
При цьому, кількість балів відповідає оцінці:
1-34 – «незадовільно» з обов’язковим повторним вивченням дисципліни;
35-59 – «незадовільно» з можливістю повторного складання;
60-64 – «задовільно» («достатньо») ;
65-74 – «задовільно»;
75 - 84 – «добре»;
85 - 89 – «добре» («дуже добре»);
9 – «відмінно».
Шкала відповідності
За 100-бальною шкалою | Оцінка за національною шкалою | ||
90 – 100 | 5 | відмінно | зараховано |
85 – 89 | 4 | добре | |
75 – 84 | |||
65 – 74 | 3 | задовільно | |
60 – 64 | |||
35 – 59 | 2 | незадовільно | не зараховано |
1 – 34 |
НАВЧАЛЬНО-ТЕМАТИЧНИЙ План ЛЕКЦІЙ І ПРАКТИЧНИХ ЗАНЯТЬ
І семестр
№ теми | Назва теми | Кількість годин | ||
Лекції | Лабораторні | Самостійна робота | ||
ЗМІСТОВИЙ Модуль 1. «Теорія кривих.» | ||||
1 | Теорія просторових кривих. | 14 | 10 | 20 |
2 | Теорія плоских кривих. | 8 | 6 | 12 |
3 | Криві в | 4 | 0 | 4 |
Модульна контрольна робота 1 | 2 | |||
ЗМІСТОВИЙ Модуль 2. «Теорія поверхонь.» | ||||
4 | Основні рівняння теорії поверхонь. | 10 | 6 | 12 |
5 | Основні інваріанти і інваріантні лінії на поверхні. | 12 | 8 | 16 |
Модульна контрольна робота 2 | 2 | |||
6 | Елементи тензорного числення. | 6 | 2 | 6 |
Всього | 54 | 36 | 70 | |
І СЕМЕСТР
змістовий МОДУЛЬ І. ТЕОРІЯ КРИВИХ.
ТЕМА 1. Теорія просторових кривих.
Лекція 1. Елементи векторного аналізу. Поняття кривої.(2 год)
Означення вектор-функції. Годограф вектор-функції, приклади. Властивості границь. Неперервність вектор-функцій. Похідна. Поняття кривої, параметризація кривої. Приклад Пеано.
Лабораторне заняття 1. (2 год.)
1. Неперервність вектор-функцій.
2. Властивості похідних вектор-функцій.
3. Задання кривих за допомогою вектор-функцій.
Завдання для самостійної роботи (4 год.)
1. Доведення властивостей границь.
2. Виведення властивостей похідних від вектор-функцій.
Література [1-3].
Лекція 2. Дотична до кривої. Натуральний параметр.(4 год.)
Заміна параметра. Особливі точки, приклади. Дотична до кривої. Рівняння дотичної. Довжина дуги кривої, натуральний параметр.
Лабораторне заняття 2. (2 год.)
1. Дослідження особливих точок.
2. Обчислення дотичних.
3. Обчислення довжини дуги кривої.
4. Перехід до натурального параметра.
Завдання для самостійної роботи. (4 год.)
1. Диференціал довжини дуги кривої в сферичних і полярно-циліндричних координатах.
2. Еквівалентність параметризацій.
Література [1-3].
Лекція 3. Тригранник Френе просторової кривої. (2 год.)
Базис Френе. Дотична, бінормаль, головна нормаль. Нормальна, стична і спрямна площини.
Лабораторне заняття 3. (2 год.)
1. Базис Френе.
2. Дотична, бінормаль, головна нормаль.
3. Нормальна, стична і спрям на площини.
Завдання для самостійної роботи. (4 год.)
1. Ребра і грані тригранника Френе для кривих заданих в неявному вигляді.
Література [1-3].
Лекція 4. Кривина і скрут кривої. Натуральні рівняння просторової кривої. Криві Бертрана. (4 год.)
Виведення формул кривини, скруту. Задання кривих за допомогою натуральних рівнянь. Криві Бертрана.
Лобораторне заняття 4. (2 год.)
1. Обчислення кривини.
2. Обчислення скруту.
3. Задання кривих за допомогою натуральних рівнянь.
Завдання для самостійної роботи. (4 год.)
1. Окремі класи кривих Бертрана.
2. Кривизна і скрут кривих заданих в неявному вигляді.
Література [1-3].
Лекція 5. Геометричний зміст кривини і скруту. (2 год.)
Геометричний зміст кривини. Геометричний зміст скруту. Проекція на стичну площину. Проекція на нормальну площину.
Лабораторне заняття 5. (2 год.)
1. Обчислення кривини для плоскої кривої
2. Обчислення скруту для плоскої кривої.
3. Натуральні рівняння.
4. Перехід від натуральних рівнянь до параметричних.
Завдання для самостійної роботи. (4 год.)
1. Дериваційні рівняння
2. Криві Бертрана.
Література [1-3].
ТЕМА 2. Теорія плоских кривих.
Лекція 6. Плоскі криві. Звичайні та особливі точки. Еволюта. (4 год.)
Формули Серре-Френе для плоских кривих. Дотична і нормаль. Дослідження особливих точок. Рівняння еволюти, геометричний зміст.
Лабораторне заняття 6. (2 год.)
1. Дотична і нормаль плоскої кривої.
2. Особливі точки плоских кривих.
3. Еволюта.
Завдання для самостійної роботи. (4 год.)
1. Загальний вигляд формул Серре-Френе для плоских кривих.
2. Обчислення еволюти для кривих заданих у різному виглядві.
3. Радіус Кривини
Література [1-3].
Лекція 7. Евольвенти плоских кривих. Дотикання плоских кривих. Стичне
коло. (2 год.)
Рівняння евольвенти плоских кривих. Умови дотикання плоских кривих. Стична пряма. Стичне коло.
Лабораторне заняття 7. (2 год.)
1. Обчислення еволюти для плоских кривих.
2. Порядок дотику плоских кривих.
3. Стичне коло.
Завдання для самостійної роботи. (4 год.)
1. Асимптоти плоских кривих.
2. Лінії укосу.
Література [1-3].
Лекція 8. Обвідна однопараметричної сім’ї плоских кривих. (2 год.)
Дискримінантна крива. Геометричне місце особливих точок. Обвідна.
Лабораторне заняття 8. (2 год.)
1. Дискримінантна крива.
2. Обвідна.
Завдання для самостійнї роботи. (4 год.)
1. Дослідження дискримінантних кривих на особливі точки.
Література [1-3].
ТЕМА 3. Криві в 
.
Лекція 9. Задання кривої в Rn. Дериваційні рівняння кривої в Rn. (4 год.)
Методи задання кривих в Rn. Виведення дериваційних рівнянь.
Лабораторне заняття 9. (2 год.)
Контрольна робота.
Завдання для самостійної роботи. (4 год.)
1. Використання дериваційних рівнянь.
Література [1-3].
ТИПОВЕ ЗАВДАННЯ МОДУЛЬНОЇ КОНТРОЛЬНОЇ РОБОТИ № 1
1.Обчислити еволюту кривої:
x²-2py=0
2.Знайти натуральні рівняння:
x=a cos t¸ y=a sin t¸ z=ht.
3.Знайти обвідну сім’ї кривих:
(y-a)²-2(x-a²)=0.
4.Довести, що замкнена лінія: x=cos³t, y=sin³t, z=cos 2t має довжину s=10.
5.Знайти дотичну до лінії x=3t-t³, y=3t², z=3t+t³, перпендикулярну до вектора ā={3,1,1}.
Контрольні запитання до змістового модуля І
1. Вектор-функція скалярного аргументу.
2. Тригранник Френе.
3. Кривина кривої.
4. Скрут кривої.
5. Формули Френе.
6. Механічний зміст кривини і скруту.
7. Будова кривої в околі точки.
8. Натуральні рівняння кривої.
9. Дотична і нормаль плоскої кривої.
10. Особливі точки плоскої кривої.
11. Стичне коло.
12. Обвідна одно параметричної сім’ї плоских кривих.
13. Еволюта плоскої кривої.
14. Евольвента плоскої кривої.
змістовий МОДУЛЬ 2. ТЕОРІЯ ПОВЕРХОНЬ.
ТЕМА 4. Основні рівняння теорії поверхонь.
Лекція 10. Задання поверхні. Дотична площина і нормаль до поверхні. (4 год.)
Задання поверхонь за допомогою вектор-функцій. Інші методи задання поверхонь. Рівняння дотичної площини. Рівняння нормалі. Означення нормальної площини поверхні. Поверхні обертання. Лінійчасті поверхні. Прямий гелікоїд.
Лабораторне заняття 10. (2 год.)
1. Параметричні рівняння поверхонь.(еліпсоїд, гіперболоїди, параболоїди).
2. Рівняння поверхонь обертання.
3. Лінійчасті поверхні.
4. Координатна сітка.
5. Конічні поверхні.
6. Дотична площина.
7. Нораль, орт нормалі.
Завдання для самостійної роботи. (4 год.)
1. Складання рівнянь для різних типів поверхонь.
2. Гелікоїд загального вигляду.
Література [1-3].
Лекція 11. Перша та друга квадратичні форми. Внутрішня геометрія
поверхні. (2 год.)
Перша квадратична форма та її коефіцієнти. Довжина дуги кривої на поверхні. Кут між кривими на поверхні. Площа поверхні. Друга квадратична форма.
Лабораторне заняття 11. (2 год.)
1. Перша квадратична форма.
2. Обчислення довжини дуги кривої на поверхні.
3. Обчислення кута.
4. Обчислення площі.
Завдання для самостійної роботи. (4 год.)
1. Знаходження ортогональних траєкторій заданої сім’ї кривих.
2. Локсодроми.
.
.
.
Література [1-3].
Лекція 12. Деріваційні рівняння поверхні. Рівняння Гаусса і Петерсена-
Кодацці. (4 год.)
Символи Кристофеля першого роду. Символи Кристофеля другого роду. Дериваційні рівняння. Задання поверхні коефіцієнтами першої та другої квадратичних форм.
Теоремак Гаусса. Означення фундаментальних тензорів. Рівняння Гаусса-Петерсона-Кодацці.
Лабораторне заняття 12. (2 год.)
1. Обчислення символів Кристофеля першого роду.
2. Обчислення символів Кристофеля другого роду.
Завдання для самостійної роботи (4 год.)
Застосування дериваційних рівнянь. Застосування формули Гаусса.Література [1-3].
ТЕМА 5. Основні інваріанти і інваріантні лінії на поверхні.
Лекція 13. Кривина похилих та нормальних перерізів поверхні. (2 год.)
Формула похилого перерізу. Кривина нормального перерізу. Головні кривини. Індикатриса Дюпена. Типи точок на поверхні. Теореми Меньє.
Лабораторне заняття 13. (2 год.)
1. Обчислення нормальної кривини.
2. Головні кривини.
3. Дослідження типів точок на поверхні.
Завдання для самостійної роботи (4 год.)
1. Застосування теореми Меньє.
2. Похилі перерізи.
Література [1-3].
Лекція 14. Деякі класи ліній на поверхні. (4 год.)
Означення асимптотичних ліній. Формула для знаходження асимптотичних ліній. Теорема про асимптотичні лінії. Спряжені напрями, спряжені сітки. Умова спряженості. Головні напрями. Визначення ліній кривини, формула для знаходження. Геодезичні лінії, їх геометричний зміст, формули для знаходження геодезичних ліній.
.
.
.
Лабораторне заняття 14. (2 год.)
1. Спряжені напрямки.
2. Асимптотичні лінії.
3. Лінії кривини.
Завдання для самостійної роботи. (4 год.)
1. Знаходження спряжених ліній на поверхні.
2. Знаходження асимптотичних ліній.
3. Знаходження ліній кривини.
Література [1-3].
Лекція 15. Повна і середня кривини поверхні. (2 год.)
Означення повної та середньої кривини. Виведення формул повної та середньої кривини. Зв’язок повної та середньої кривини з головними кривинами. Класифікація точок поверхні за допомогою повної та середньої кривини.
Лабораторне заняття 15. (2 год.)
1. Обчислення повної та середньої кривини.
2. Дослідження точок на поверхні.
Завдання для самостійної роботи. (4 год.)
1. Повна та середня кривини, зв’язок між ними.
Література [1-3].
Лекція 16. Напівгеодезична сітка. Геодезична кривина. Окремі класи
поверхонь. (4 год.)
Означення геодезичних ліній. Теорема про геодезичні лінії, як найкоротші. Напівгеодезична сітка. Напівгеодезична система з опорною геодезичною. Означення геодезичної кривини. Формула для знаходження геодезичної кривини. Розгортні поверхні. Скісні лінійчасті поверхні. Поверхні сталої кривини. Мінімальні поверхні.
Лабораторне заняття 16. (2 год.)
1. Знаходження геодезичних ліній.
2. Обчислення геодезичної кривини.
Завдання для самостійної роботи. (4 год.)
2. Геометричний зміст геодезичних ліній.
3. Обчислення геодезичної кривини за допомогою символів Кристофеля.
4. Окремі класи поверхонь в задачах.
Література [1-3].
ТЕМА 6. Елементи тензорного числення.
Лекція 17. Тензори і основні операції над ними. .(2 год.)
n-вимірний простір. Означення тензора. Додавання тензорів. Множення тензорів. Згортання тензорів. Опускання і піднімання індекса. Симетрування і альтернування тензорів.
Лабораторне заняття 17. (2 год.)
Модульна контрольна робота 2.
Завдання для самостійної роботи. (2 год.)
1. Розібрати основні властивості тензорів.
.
.
Література [1-3].
Лекція 18. Тензорний аналіз та ріманова геометрія. (4 год.)
Афінна зв’язність. Паралельне перенесення. Коваріантне диференціювання. Тензор кривини. Ріманів простір. Основні поняття. Приклади. Ріманова зв’язність
.
.
.
Лабораторне заняття 18. (2 год.)
1. Додавання тензорів.
2. Множення тензорів.
3. Опускання та піднімання індексів.
4. Симетрування, альтернування.
.
Завдання для самостійної роботи. (4 год.)
1. Перетворення системи координат для тензорів.
2. Тензор кривини Рімана, його властивості
.
.
Література [1-3].
ТИПОВЕ ЗАВДАННЯ МОДУЛЬНОЇ КОНТРОЛЬНОЇ РОБОТИ № 2
1. . а)Написати рівняння поверхні утвореної обертанням кривої
y=ch x, z=0
навколо осі OX.
б)Написати рівняння поверхні утвореної дотичними до лінії:
y²=x, x²=z.
2. Знайти дотичні площини поверхні
x²+2y²=2
перпендикулярні до вектора ā={1,1,0}. Обчислити вектори нормалей в точках дотику, записати рівняння нормалей.
3. На поверхні обертання знайти криві, які ділять навпіл кут між координатними лініями.
4. Знайти повну і середню кривини поверхні, утвореної головними нормалями даної лінії r=r(s).
5. Знайти першу і другу квадратичні форми поверхні:
x²+y²+z²=r².
Контрольні запитання до змістового модуля 2
Задання поверхні Дотична площина і нормаль поверхні. Перша квадратична форма поверхні. Довжина дуги кривої на поверхні. Кут між кривими на поверхні. Площа поверхні. Друга квадратична форма поверхні. Похилі та нормальні перерізи поверхні. Індикатриса Дюпена. Класифікація точок поверхні. Головні напрями на поверхні. Головні кривини. Повна та середня кривини поверхні. Лінії кривини. Формули Ейлера для головних кривин. Асимптотичні лінії на поверхні. Обвідна однопараметричної сім’ї поверхні. Формула Гаусса для повної кривини поверхні. Дериваційні формули. Геодезична кривина. Геодезичні лінії на поверхні. Поверхні постійної кривини. Рівняння Гаусса і Петерсена-Кодацці. Тензори та основні операції над ними. Коваріантне диференціювання. Тензор кривини. Ріманів простір.
Перелік запитань на іспит
Вектор-функція скалярного аргументу. Тригранник Френе. Кривина кривої.4. Скрут кривої.
5. Формули Френе.
6. Механічний зміст кривини і скруту.
7. Будова кривої в околі точки.
8. Натуральні рівняння кривої.
9. Дотична і нормаль плоскої кривої.
10. Особливі точки плоскої кривої.
11. Стичне коло.
12. Обвідна одно параметричної сім’ї плоских кривих.
13. Еволюта плоскої кривої.
14. Евольвента плоскої кривої.
.Задання поверхні Дотична площина і нормаль поверхні. Перша квадратична форма поверхні. Довжина дуги кривої на поверхні. Кут між кривими на поверхні. Площа поверхні. Друга квадратична форма поверхні. Похилі та нормальні перерізи поверхні. Індикатриса Дюпена. Класифікація точок поверхні. Головні напрями на поверхні. Головні кривини. Повна та середня кривини поверхні. Лінії кривини. Формули Ейлера для головних кривин. Асимптотичні лінії на поверхні. Обвідна однопараметричної сім’ї поверхні. Формула Гаусса для повної кривини поверхні. Дериваційні формули. Геодезична кривина. Геодезичні лінії на поверхні. Поверхні постійної кривини. Рівняння Гаусса і Петерсена-Кодацці. Тензори та основні операції над ними. Коваріантне диференціювання. Тензор кривини. Ріманів простір.СПИСОК РЕКОМЕНДОВАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ
а) основна:
1. М. І.Кованцов. Диференціальна геометрія. - Київ: Вища школа, 1973.
2. и др. Дифференциальная геометрия, топология и тензорный анализ. – Киев: Выща шк., 1989.
б) додаткова:
3. Сборник задач по дифференциальной геометрии. Под ред. . – Москва: Наука, 1979.
