Розв’язки контрольної роботи № 3 з математики для слухачів

Всеукраїнської математичної очно-заочної школи

Малої академії наук України

9–11 клас

1. Знайти період обертання планети навколо Сонця, якщо протистояння Землі і планети трапляються кожні діб. Орбіти Землі і планети вважати компланарними. Розглянути випадки коли планета ближча і дальша від Сонця ніж Земля. Рух Землі і планети по орбітах може відбуватися в одному та різних напрямках.

Дана задача не вимагає ніяких знань, окрім знань шкільної механіки. При розв’язанні необхідно розглянути відносний рух планет. За період між протистояннями відстань між планетами має змінитися на . Нехай - кутова швидкість Землі, - період обертання Землі навколо Сонця, - кутова швидкість планети, - період обертання планети навколо Сонця. Якщо , то планета ближча до Сонця, якщо , то Земля ближча до Сонця ніж планета. При однонапрямленому русі маємо співвідношення:

а при різнонапрямленому:

Звідси отримаємо розв’язок:

Однонапрямлений рух: Земля ближча до Сонця, ніж планета:

Однонапрямлений рух: Земля дальша від Сонця, ніж планета: .

Різнонапрямлений рух (незалежно від взаємного розташування): .

2. Зірки і з однаковою масою рухаються навколо їх спільного центру мас по кругових орбітах. На відстані від центру мас і знаходиться планета з малою масою, яка рухається по круговій орбіті навколо центру мас в тій же площині, що і з . При цьому русі трикутник не змінює своєї форми та розмірів. Знайти відстань від до .

Запишемо другий закон Ньютона

- для планети .

,

де - маса планети, сили, що діють на планету збоку зірок і , - відцентрове прискорення.

- для зірки :

,

де - одиничний вектор, спрямований від до , - відцентрове прискорення зірки , - гравітаційна стала, - маса зірки.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Нехай кутова швидкість руху планети по відповідній круговій орбіті навколо центру мас зірок і Оскільки при русі трикутник не змінює своєї форми та розмірів, то з такою ж швидкістю обертаються і зірки і . Отже, . Підставляючи у запис другого закону Ньютона для зірки, можемо знайти кутову швидкість . Тоді відцентрове прискорення планети , виражається через половину відстані між зірками . Збоку на діє сила , така ж сила діє збоку . Їх проекції на напрям до центру мас і , . Підставляючи в запис другого закону Ньютона для планети , дістанемо: , скорочуючи і підставляючи вираз для , дістанемо , звідкіля , або , отже . Трикутник рівносторонній. Отже, відстань між зірками і : .

3. Період обертання супутника по круговій орбіті навколо планети складає діб. Прискорення вільного падіння на поверхні планети , а радіус планети . Знайти відстань від центру планети до орбіти супутника. Зокрема, розрахувати відстань до Місяця, якщо =27,32 доби, радіус Землі =6380км, прискорення вільного падіння на поверхні Землі =9,81м/с2.

Запишемо другий закон Ньютона для супутника в проекції на напрям до центру тяжіння: , - маса супутника, - маса центру тяжіння, радіус кругової орбіти супутника.. Звідси відцентрове прискорення , де - радіус Землі. З іншого боку, , де - швидкість руху супутника по орбіті. Прирівнюючи ці вирази для прискорення, знайдемо вираз для : . Відстань до Місяця 383 тис. км.

4. Два супутники рухаються навколо Землі по спільній орбіті, період обертання по якій становить 5 годин. Відстань між супутниками (що відраховується вздовж орбіти) змінюється під час руху по орбіті, але мала порівняно з довжинами осей орбіти. Максимальна відстань між супутниками 10км, мінімальна 4 км. Знайти висоту апогею та перигею спільної орбіти супутників.

Для розв’язання цієї задачі використаємо другий закон Кеплера: За рівні проміжки часу радіус-вектор супутника замітає рівні площі. Нехай a b – точки, що позначають положення першого супутника, а a’ b’- положення другого супутника. Відстань aa’ є мінімальною, а bb’ - максимальною відстанню між супутниками. При цьому відрізки aa’ та bb’ проходяться за один час, отже на основі другого закона Кеплера . Точні положення трикутників та неважливі (наприклад, можна розташувати їх симетрично відносно перицентру або апоцентру). Важливо лише, що дуги aa’ та bb’ розташовані, відповідно, в околі апоцентру та перицентру. Оскільки відстані aa’ та bb’ малі порівняно із довжиною орбіти, то підраховуючи ці площі, наближено можна вважати трикутники прямокутними, отже bb’*Ob=aa’*Oa. Звідси . Тепер використаємо третій закон Кеплера: . Для кругової орбіти мінімального радіуса , де - радіус центра тяжіння, - гравітаційна стала центру тяжіння (для Землі =. Звідси і можемо знайти Oa: . . Після розрахунків: =14845 км, =5938км

5. В групі 7 чоловік і їх сумарний вік 332 роки. Довести, що з них можна обрати 3 людини, сумарний вік яких не менше 142 років.

Можемо запропонувати два способи розв’язання задачі.

1. Оберемо трьох найстарших членів бригади. Якщо їм разом 142 роки, то хоча б одному більше 47 років. Якщо самому молодшому з трьох більше 47 років, то їм утрьох більше 142 років. Нехай самому молодшому з трьох 47 років, або менше, і їм утрьох разом менше 142 років. Тоді на долю всіх інших залишиться більше ніж 320-142=190 років. Розділимо 190 на 4 : 190=4*47+2. Отже, за принципом Дирихле одному з чотирьох молодших більше 47 років. Це суперечить вибору трьох найстарших.

Розглянемо усі можливі трійки робітників. Таких трійок . Розглянемо загальну суму років у всіх трійках. Всього така сума буде налічувати 35*3 членів. Кожна людина, в силу симетрії, буде в цій сумі врахована 35*3/7=15 разів. Таким чином вся сума років у всіх трійках буде дорівнювати 15*332=4980 років. Середній вік у трійці складає 142,3 роки. Отже, за принципом Діріхле, будемо мати трійку, сума років у якій більше 142.

6. Довести, що сума всіх „щасливих” чисел від 000000 до 999999 ділиться на 13. (Число називається „щасливим”, якщо сума перших трьох його цифр дорівнює сумі трьох останніх).

Якщо щасливий квиток має номер А, то квиток з номером А’=999999-А також щасливий і АА’. Оскільки сума А+А’=999999 ділиться на 13, то сума всіх номерів щасливих квитків буде n*999999 і ділиться на 13.

7. Довести, що для будь-яких додатних чисел виконується нерівність

.

За нерівністю Коші-Буняковського:

Отже, використовуючи той факт, що середнє арифметичне більше або рівне середнього геометричного