ІІІ тур Всеукраїнської олімпіади з математики

Полтава

7 клас

Яка остання цифра суми Виберіть правильний варіант відповіді:

А) 1 Б) 3 В) 5 Г) 7 Д) 9

Відповідь: В.

Різниця двох простих чисел становить 15 відсотків від їхньої суми. Знайти всі такі пари чисел.

Розв’язання. Якщо — шукані числа, то маємо рівняння звідки Внаслідок простоти чисел одержимо

Дано 2012 чисел. Добуток всіх цих чисел, а також будь-яких п’яти з них є додатним. Довести, що всі задані числа додатні.

Розв’язання. Нехай — задані числа. Тоді Для будь-яких маємо де — добуток п’яти чисел, причому в знаменнику дробу задіяні всі задані числа окрім За умовою тому Для довільного маємо як частка додатних чисел, що і потрібно було довести.

Двоє гравців по черзі виписують цифри в рядок із 12 клітинок. Чи може другий гравець досягнути того, щоб одержане в результаті дванадцятицифрове число поділялося націло на 77? Дозволяється в будь-яку клітинку записувати будь-яку цифру. Зокрема, число може починатися і з нуля, навіть дорівнювати нулю.

Розв’язання. Зазначимо, що Розіб’ємо задані дванадцять клітинок на пари: перша і четверта, друга і п’ята, третя і шоста, сьома і десята, восьма і одинадцята, дев’ята і дванадцята. Клітинки, які попадають в одну пару, називатимемо дружніми. Стратегія другого гравця: якщо перший гравець у якусь клітину записує певну цифру, то другий гравець у відповідну дружню клітину записує таку ж цифру. Одержане число поділятиметься на 1001, а, отже, і на 77.

8 клас

Яка передостання цифра числа Виберіть правильний варіант відповіді:

А) 8 Б) 6 В) 4 Г) 2 Д) 0

Відповідь: Г.

Розв’язати рівняння де — цілі числа.

Розв’язання. Рівняння рівносильне такому Права частина рівняння при діленні на 3 дає остачу 2, але квадрат цілого числа приділенні на 3 таку остачу дати не може. Рівняння розв’язків не має.

Скільки сторін може мати опуклий многокутник, усі діагоналі якого рівні?

Розв’язання. У правильних -кутників при всі діагоналі рівні. Нехай Позначимо шість його послідовних вершин через Тоді та — рівні рівнобедрені трикутники з основою , причому розміщені по один бік від прямої Але тоді точки та збігаються. Протиріччя. Отже,

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?
В трикутник вписано коло. Довести, що трикутник, вершинами якого є точки дотику, буде гострокутним.

Розв’язання. Нехай — заданий трикутник, — центр вписаного кола, — точки дотику. Тоді За властивістю вписаних кутів або Отже, Аналогічно Але сума кутів трикутника дорівнює Тому Звідси тому вибираються нижні символи (мінуси). Остаточно тобто  — гострокутний.

На дошці в рядок виписані числа Чи можна між ними розставити знаки + (плюс) та – (мінус) так, щоб одержаний результат дорівнював нулю?

Розв’язання. Ні. Припустимо, що де — ціле число. Нехай Тоді причому права частина поділяється на просте число 1999. Ліва частина дорівнює — сума цілих чисел, усі які, окрім поділяються на 1999. Отже, ліва частина на 1999 не поділяється. Протиріччя.

9 клас

Скільки розв’язків у цілих числах має рівняння Виберіть правильний варіант відповіді:

А) жодного Б) один В) два Г) три Д) більше трьох

Відповідь: Г.

Чи є істинним твердження: передостання цифра числа де — натуральне число, завжди є парною. Відповідь обґрунтувати.

Розв’язання. Розглянемо Отже, передостанні цифри чисел та мають однакову парність. Але передостанні цифри чисел парні, тому відповідь: так.

Коло дотикається до двох сторін трикутника і двох його медіан. Довести, що трикутник є рівнобедреним.

Розв’язання. Позначимо ці сторони а відповідні медіани — Тоді для описаного чотирикутника маємо тобто Якщо то що безпосередньо випливає з формули для обчислення довжини медіани. Але тоді ліва і права частини рівності відрізняються знаком. Аналогічно розглядається випадок Звідси

В трикутнику проведені бісектриси. Довести, що площа трикутника, вершинами якого є основи бісектрис, не перевищує площі заданого трикутника.

Розв’язання. Нехай — бісектриси сторони якого Тоді за властивістю бісектрис трикутника Знайдемо площу трикутника Аналогічно знаходимо площі Звідси Задача зводиться до доведення нерівності яка рівносильна нерівності яка, в свою чергу, випливає з нерівності між середнім арифметичним і середнім геометричним.

На дошці виписані числа 1, 2, …, 2012. Дозволяється будь-яке число замінити його сумою цифр або будь-яку пару чисел замінити їхньою сумою. В результаті певної кількості вказаних дій на дошці залишилось одне, до того ж одноцифрове число. Показати, що це число не залежить від порядку дій, і знайти це число.

Розв’язання. Вказані операції не змінюють остачу від ділення на 9 суми всіх чисел, записаних на дошці. Але — дає при діленні на 9 остачу 6. Число дорівнює 6.

10 клас

Скільки розв’язків має система рівнянь

Виберіть правильний варіант відповіді:

А) один Б) два В) три Г) чотири Д) п’ять

Відповідь: Д.

Дано прямокутний трикутник. Трикутник, складений з його медіан, подібний заданому трикутнику. Знайти найменший кут трикутника.

Розв’язання. Нехай — гіпотенуза, — катети трикутника Тоді його медіани рівні до того ж З подібності трикутників маємо пропорційність сторін Звідси одержимо а тому найменший кут трикутника визначається рівністю

Цілі числа задовольняють співвідношення Довести, що принаймні три з них парні.

Розв’язання. Очевидно, що непарних чисел — парна кількість. Тому достатньо показати, що не може бути чотири непарні числа. Четвертий степінь парного числа поділяється на 16, а непарного — дає остачу 1. Звідси при діленні на 16 дає остачу 4 або 2 (чотири числа непарні, а одне парне), тому не дорівнює нулю. Відзначимо, що цілі числа, які задовольняють рівняння, існують. Наприклад,

В трикутник вписано коло. Довести, що площа трикутника, вершинами якого є точки дотику, не перевищує площі заданого трикутника.

Розв’язання. Нехай — точки дотику, Знайдемо площу трикутника Аналогічно знаходимо площі Звідси Задача зводиться до доведення нерівності яка рівносильна нерівності яка, в свою чергу, випливає з нерівності між середнім арифметичним і середнім геометричним.

На площині дано 2012 точок. Для деяких пар цих точок взято вектор так, що в кожній точці починається стільки ж векторів, скільки в ній і закінчується. Показати, що сума всіх вибраних векторів дорівнює нульовому вектору.

Розв’язання. Нехай — довільна точка площини. Запишемо кожен вектор у вигляді Тоді для будь-якої заданої точки буде однакова кількість векторів і векторів а тому їхня сума дорівнює нульовому вектору.

11 клас

Впорядкувати числа Виберіть правильний варіант відповіді:

А) Б) В) Г) Д)

Відповідь: В.

Нехай — не всі рівні між собою дійсні числа такі, що Довести, що

Розв’язання. В результаті віднімання рівнянь одержимо Якщо то тобто всі числа рівні, що суперечить умові задачі. Аналогічно розглядаються випадки та Отже, — попарно різні числа. Перемножимо одержані рівняння звідки Відзначимо, що числа, які задовольняють умови задачі, існують. Наприклад,

Знайти всі значення такі, що нерівність виконується для всіх додатних чисел

Розв’язання. Нерівність рівносильна такій де При цьому Задача зводиться до дослідження функції для Знайдемо похідну При тому Якщо ж то тому існує що Таким чином, .

В трикутник вписано коло. Відомо, що трикутник, вершинами якого є точки дотику, подібний заданому трикутнику. Знайти коефіцієнт подібності.

Розв’язання. Нехай — заданий трикутник, — центр вписаного кола, — точки дотику. Тоді За властивістю вписаних кутів або Отже, Аналогічно Але сума кутів трикутника дорівнює Тому Звідси тому вибираються нижні символи (мінуси). Остаточно Припустимо, що тоді і з подібності трикутників маємо З цих рівнянь знаходимо, що Трикутник — правильний, — середини його сторін, коефіцієнт подібності дорівнює 0,5.

Функція визначена на інтервалі , набуває додатних значень і для всіх з області визначення задовольняє співвідношення Знайти функцію .

Розв’язання. Виконаємо ряд підстановок. з останніх двох рівностей випливає Знайдемо , скориставшись підстановками та і Звідси одержимо тобто Для знаходження маємо квадратне рівняння де Це рівняння має один додатний розв’язок Перевірка показує, що Остаточно