Квантова механіка (стр. 2 )

Лекції – 36 год.

Семінарські – 36 год.

Самостійна робота - 72 год.

Зміст лекцій і семінарів за темами

Змістовий модуль №1 «Ідейні засади та основи математичного апарату

квантової механіки»

Лекція № 1. Історія та передумови виникнення квантової механіки (2 год).

Передумови виникнення квантової механіки. Гіпотези Планка та Ейнштейна. Модель атома по Бору. Хвилі де-Бройля. Експерименти Франка-Герца та Девісона-Джермера.

Семінар № 1. Хвильові властивості мікрочастинок. (2 год).

Хвилі де-Бройля. Інтерференція та дифракція мікрочастинок.

Завдання для самостійної роботи: (4 год).

Вивчення матеріалів лекції, опрацювання семінарських занять, виконання домашнього завдання.

Рекомендована література: [1-5,а-в].

Лекція № 2. Статистичний характер явищ мікросвіту та ймовірністна інтерпретація хвильової функції (2 год).

Ймовірністна інтерпретація та фізичний зміст хвильової функції. Принцип суперпозиції. Середні значення фізичних величин. Співвідношення невизначенності Гейзенберга.

Семінар № 2. Закони збереження. Імпульс фотона. Розщеплення рівнів енергії атомів при поглинанні та випромінюванні (2 год).

Вивчення впливу корпускулярних та хвильових властивостей мікрочастинок та фотонів на процеси їх взаємодії з речовиною та світлом..

Завдання для самостійної роботи (4 год).

Опрацювання семінарських занять, виконання домашнього завдання.

Рекомендована література: [1-4, II, а-в].

Лекція № 3. Стаціонарне рівняння Шредингера та принципи знаходження його розв'язків (2 год).

Стаціонарне рівняння Шредингера. Власні функції та власні значення. Граничні умови для хвильової функції. Аналіз методів його розв'язку на прикладі нескінченно глибокої прямокутної ями.

Семінар № 3. Граничні умови. Рух в полі кусково-постійного потенціалу (2 год).

Аналіз методів розвозку стаціонарного рівняння Шредингера при рухові частинки в різних кусково-постійних потенціалах..

Завдання для самостійної роботи (4 год).

Опрацювання семінарських занять, виконання домашнього завдання.

Рекомендована література: [1-4,а-в].

Лекція № 4. Гармонічний осцилятор в класичній та квантовій механіці.

Класична теорія гармонічного осцилятора. Квантова теорія одномірного гармонічного осцилятора. Мінімальна енергія гармонічного осцилятора і вплив співвідношення невизначеностей Гейзенберга.

Семінар № 4. Дельта-яма і бар'єр. Резонансне тунелювання (2 год).

Дослідження руху частинки в полі дельта-ями та дельта-бар'єру. Знаходження власних функцій, власних значень, коефіцієнту відбивання та проходження, фазових умов.

Завдання для самостійної роботи (4 год).

Вивчення матеріалів лекції, опрацювання семінарських занять, виконання домашнього завдання.

Рекомендована література: [1-4,а-в].

Лекція № 5. Постулати квантової механіки. Рівняння на власні значення та власні функції (2 год).

Введення і ілюстрація постулатів про існування хвильової функції, про лінійний самоспряжений оператор та про методи ототожнення фізичної величини з її оператором. Властивості операторів. Оператори дисперсії. Виведення рівняння на власні функції та власні значення. Властивості ВФ та ВЗ.

Семінар № 5. "Гребінка Дірака". Енергетичні зони (2 год).

Аналіз руху частинок в нескінченному періодичному потенціальному полі на прикладі системи дельта - бар'єрів. Аналіз енергетичного спектру дозволених та заборонених зон.

Завдання для самостійної роботи (4 год).

Вивчення матеріалів лекції, опрацювання семінарських занять, виконання домашнього завдання.

Рекомендована література: [1-3,а-в].

Лекція № 6. Загальні співвідношення невизначеностей Гейзенберга-Робертсона та Шредингера-Робертсона (2 год).

Отримання співвідношення невизначеностей Гейзенберга-Робертсона для некорельованих станів та Шредингера-Робертсона для корельованих станів.

Семінар № 6. "Найпростіші оператори та дії з ними" (2 год).

Вивчення дії з різними операторами (множення, додавання, перестановки, комутатори, умова ермітовості).

Завдання для самостійної роботи (4 год).

Вивчення матеріалів лекції, опрацювання семінарських занять, виконання домашнього завдання.

Рекомендована література: [1-3,II, а-в].

Лекція № 7. Нестаціонарне рівняння Шредингера. Рівняння неперервності. Теорема Еренфеста (2 год).

Побудова нестаціонарного рівняння Шредингера. Його аналіз для стаціонарних систем. Рівняння неперервності і закон збереження числа частинок в нерелятивістській квантовій механіці. Рівняння руху для операторів. Інтеграли руху. Теорема Еренфеста.

Семінар № 7. Власні функції та власні значення найпростіших операторів (2 год).

Знаходження ВФ та ВЗ для найпростіших операторів при поступальному та обертальному русі.

Завдання для самостійної роботи (4 год).

Вивчення матеріалів лекції, опрацювання семінарських занять, виконання домашнього завдання.

Рекомендована література: [1-4,а-в].

Лекція № 8. Рух частинки в полі центральної сили (1). Розвязок кутової частини рівняння. Квантові числа. Рівняння Шредингера і радіальний рух електрона в атомі.(2 год).

Розділення змінних в полі центральної сили. Радіальне рівняння Шредингера для кулонівського потенціалу і його розв'язок.

Семінар № 8. Нестаціонарне рівняння Шредингера. Інтеграли руху (2 год).

Розв'язок нестаціонарного рівняння Шредингера для простих операторів.

Завдання для самостійної роботи (4 год).

Вивчення матеріалів лекції, опрацювання семінарських занять, виконання домашнього завдання.

Рекомендована література: [1-4,а-в].

Лекція № 9. Рух частинки в полі центральної сили (2). Водневоподібні атоми, двоатомні молекули і магнітні властивості атомів. (2 год).

Вплив маси ядра на спектр та хвильові функції електронів в атомах. Двоатомна молекула. Спектр атомів лужних металів. Магнітний момент атома.

Семінар № 9. Середні величини та струм ймовірності (2 год).

Знаходження густини струму ймовірності в простих одномірних системах (типу кусково-постійних потенціалів) та в атомах.

Завдання для самостійної роботи (4 год).

Вивчення матеріалів лекції, опрацювання семінарських занять, виконання домашнього завдання.

Рекомендована література: [1-4,а-в].

Лекція № 10. Теорія представлень для стаціонарних систем. Матричний формалізм в квантовій механіці (2 год).

Теорія представлень хвильової функції та операторів в стаціонарних системах. Матричне представлення. Основні рівняння квантової механіки в матричному представленні

Семінар № 10. Оператор сили. Взаємодія двох потенціальних ям (2 год).

Знаходження виду оператора сили. Дослідження процесів взаємодії різних потенціальних ям.

Завдання для самостійної роботи (4 год).

Вивчення матеріалів лекції, опрацювання семінарських занять, виконання домашнього завдання.

Рекомендована література: [1-4,а-в].

Лекція № 11. Теорія представлень для нестаціонарних систем (2 год).

Нестаціонарне рівняння Шредингера в матричній формі. Рівняння руху для операторів, заданих в матричній формі. Представлення Шредингера, Гейзенберга та представлення взаємодії.

Семінар № 11. Прямокутна яма скінченної глибини (2 год).

Завдання для самостійної роботи (4 год).

Вивчення матеріалів лекції, опрацювання семінарських занять, виконання домашнього завдання.

Рекомендована література: [1-4,а-в].

Контрольні запитання

1. Статистична інтерпретація хвильової функції.

2. Постулати Планка, Ейнштейна та Луї де-Бройля.

3. Інтерференція мікрочастинок.

4. Постулати квантової механіки.

5. Умова самоспряженості оператора і її наслідки.

6. Властивості власних функцій.

7. Чим відрізняються корельовані стани від некорельованих?

8. Загальні співвідношення невизначеностей для довільних операторів.

9. Граничні умови для хвильової функції.

10. Інтерпретація різних складових рівняння неперервностей.

11. Теорема Еренфеста.

12. Яке з рівнянь (2-й закон Ньютона чи нестаціонарне рівняння Шредингера) є більш загальним і чому?

13. Інтеграли руху у вільному просторі та в полі центральної сили.

14. Пояснити, чому інтегралами руху в полі центральної сили є енергія, квадрат повного моменту імпульсу і лише одна (z-ва) компонента проекції моменту імпульсу в той час, як оператори всіх трьох компонент моменту імпульсу комутують з оператором Гамільтона і з квадратом моменту імпульсу.

15. Квантові числа та зміст їх взаємних обмежень.

16. Гіромагнітне співвідношення.

17. Пояснити, при якій умові має місце спін орбітальний зв'язок (пояснити "парадокс" - спіновий магнітний момент реагує тільки на магнітне поле, а в атомі у ядра є лише стаціонарний електричний заряд, який створює тільки електричне поле.

18. Правила переходу між різними представленнями.

Модульна контрольна робота № 1 (2 год).

Змістовий модуль №2 «Спін-залежні і наближені методи

в квантовій механіці»

Лекція № 12. Спін та спін-залежні процеси в квантовій механіці. Модель та оператор спіну електрона.

Експериментальні передумови введення спіну. Оператор спіну. Матриці Паулі. Середні та власні значення операторів спіну та їх комбінацій.

Семінар № 12. Рух частинки в складних одномірних потенціалах. (2 год).

Рух частинци в потенціалі Пешля-Телера

Завдання для самостійної роботи: (4 год).

Вивчення матеріалів лекції, опрацювання семінарських занять, виконання домашнього завдання.

Рекомендована література: [1-5,а-в].

Лекція № 13. Рівняння Паулі. Нормальний ефект Зеемана.

Оператор взаємодії електромагнітного поля з атомними системами. Рівняння Паулі. Рівняння неперервності з врахуванням спіну. Рух частинки в сильному магнітному полі. Нормальний ефект Зеемана.

Семінар № 13. Рух частинки в складних одномірних потенціалах. (2 год).

Рух частинки в потенціалі Морзе.

Завдання для самостійної роботи: (4 год).

Вивчення матеріалів лекції, опрацювання семінарських занять, виконання домашнього завдання.

Рекомендована література: [1-5,а-в].

Лекція № 14. Спін-орбітальний зв'язок в атомах. Симетрія хвильової функції. Принцип Паулі (2 год).

Оператор енергії спін-орбітального зв'язку в атомах. Структура рівнів енергії при наявності спін-орбітального зв'язку. Симетрія хвильової функції. Принцип Паулі.

Семінар № 14. 2- та 3-мірна прямокутна та сферична (циліндрична) ями з нескінченно високими стінками. (2 год).

2- та 3-мірна прямокутна та сферична (циліндрична) ями з нескінченно високими стінками,

Завдання для самостійної роботи: (4 год).

Вивчення матеріалів лекції, опрацювання семінарських занять, виконання домашнього завдання.

Рекомендована література: [1-4,а-в].

Лекція № 15. Статистична модель атома Томаса-Фермі (2 год).

Побудова статистичної моделі атома Томаса-Фермі на основі використання принципу Паулі та равняння Пуасона.

Семінар № 15. 2- та 3-мірна параболічна яма (2 год).

2- та 3-мірна параболічна яма. Розв'язки методом розділення змінних та з використанням інтегралів руху в полі центральної сили.

Завдання для самостійної роботи: (4 год).

Вивчення матеріалів лекції, опрацювання семінарських занять, виконання домашнього завдання.

Рекомендована література: [1-4,а-в].

Лекція № 16. Наближені методи в квантовій механіці. Метод квазікласичного наближення (2 год).

Метод квазікласичного наближення. Критерій. Методи квантування станів.

Семінар № 16. Теорія представлень. (2 год).

Теорія представлень операторів (оператори х, 1/x, х2 та інші найпростіші величини в р - та Е-представленні)

Завдання для самостійної роботи: (4 год).

Вивчення матеріалів лекції, опрацювання семінарських занять, виконання домашнього завдання.

Рекомендована література: [1-4,а-в].

Лекція № 17. Прямий варіаційний метод і метод Хартрі-Фока (2 год).

Прямий варіаційний метод Рітца. Метод Хартрі-Фока.

Семінар № 17. Використання теорії представлень для розвязку задач квантової мехініки. (2 год).

Розв'язок рівнянь на власні значення в довільному представленні для різних потенціалів (трикутна яма, гармонічний осцилятор тощо)

Завдання для самостійної роботи: (4 год).

Вивчення матеріалів лекції, опрацювання семінарських занять, виконання домашнього завдання.

Рекомендована література: [1-4,а-в].

Лекція № 18. Стаціонарна теорія збурень (2 год).

Стаціонарна теорія збурень без виродження квантової системи.

Семінар № 18. Використання теорії представлень для розвязку задач квантової мехініки. (2 год).

Розв'язок рівнянь на власні значення в довільному представленні для різних потенціалів (трикутна яма, гармонічний осцилятор тощо)

Завдання для самостійної роботи: (4 год).

Вивчення матеріалів лекції, опрацювання семінарських занять, виконання домашнього завдання.

Рекомендована література: [1-4,а-в].

Контрольні запитання

В кому представлені побудовані матриці Паулі? Яка з компонент спіну є інтегралом руху в заданому представленні? Якими по величину магнітними полями обмежена область справедливості рівняння Паулі? Яка область існування нормального ефекту Зеемана? Який розмір нейтрального атома в моделі Томаса-Фермі? Написати всі варіанти критерію справедливості квазікласичного наближення? Як співвідносяться неточність вибору пробної функції та результат розрахунку рівня енергії в прямому варіаційному методі? Чи змінюється положення рівнів еталонної системи при використанні різних порядків стаціонарної теорії збурень?

Модульна контрольна робота № 2 (2 год).

Перелік питань, які виносяться на залік

1. Гіпотези Планка та Ейнштейна про хвильові властивості світла та тіл

2. Постулати теорії Бора (означення та формули)

3. Хвилі де-Бройля

4. Зміст хвильової функції

5. Загальне (в операторній формі) співвідношення невизначенності

6. Співвідношення невизначенності Гейзенбега для координати та імпульсу, енергії та часу

7. Стаціонарне рівняння Шредингера в координатному представленні

8. Власні значення та власні функції. Їх властивості

9. Потенціальна енергія, хвильові функції та спектр енергії гармонічного осцилятора

10. Основні постулати квантової механіки

11. Рівняння для середніх та власних значень

12. Самоспряженість операторів

13. Умова сумісності фізичних величин

14. Оператор моменту кількості руху та його властивості

15. Нестаціонарне рівняння Шредингера

16. Рівняння неперервності та закон збереження числа частинок в квантовій механіці

17. Рівняння руху для оператора

18. Квантові рівняння Ньютона (теорема Еренфеста)

19. Інтеграли руху в однорідному полі та в полі центральної сили

20. Інтеграли руху в атомі водню. Квантові числа

21. Вплив скінченної маси ядра на спектр рівнів енергії та хвильову функцію атома водню

22. Орбітальний магнітний та механічний моменти атома.

23. Гіромагнітне співвідношення

24. Як побудувати хвильову функцію при переході від одного представлення до іншого?

25. Як побудувати оператор фізичної величини при переході від одного представлення до іншого?

26. Правило знахождення середніх та власних значень в матричному представленні

27. Вид оперетора довільної величини у власному представленні

28. Нестаціонарне рівняння Шредингера в матричному представленні

29. Рівняння руху оператора в матричному представленні

30. Вид операторів власного механічного та магнітного моментів. Гіромагнітне співвідношення. Матриці Паулі

31. Енергія спін-орбітальної взаємодії

32. Принцип Паулі

33. Рівняння Томаса-Фермі та його зміст

34. Розв'язок рівняння Шредингера в квазікласичному наближенні

35. Критерій справедливості квазікласичного наближення

36. Прямий варіаційний метод розв'язку задач квантової механіки

Навчально-тематичний план лекцій і семінарських занять

VI семестр

№ теми	Назва лекції (тема семінару)	Кількість годин
Лекції	Семінари	Самостійна робота
Змістовий модуль №1 «Особливості взаємодії класичного та квантованого електромагнітного поля з квантовими системами»
1.	Лінійний та квадратичний ефекти Штарка	2		2
2.	Нестаціонарна теорія збурень	2		2
3.	Переходи в квантовій системі під дією гармонічного резонансного збурення довільної амплітуди. Прецесія Рабі.	2		2
4	Взаємодія атома з полем рухомої класичною зарядженої частинки	2		2
5.	Взаємодія квантових систем з електромагнітними хвилями. Загальні співвідношення	2		2
6.	Правила відбору для поглинання та випромінювання світла в атомах та квантових системах. Мультипольні переходи в квантових системах.	2		2
7.	Фотоефект в атомних системах	2		2
8.	Метод вторинного квантування. Квантування вільного електромагнітного поля	2		2
9.	Особливості взаємодії атома з квантованим електромагнітним полем. Спонтанний розпад атомів у випадку гранично розрідженого спектру електромагнітних мод. Теорія спонтанного випромінювання атомів в просторово-обмежених системах і резонаторах	2		2
10.	Спонтанний розпад атомів у вільному просторі. Спонтанне випромінювання і вимушені переходи в квантових і лазерних системах	2		2
1,2	Наближені методи. Метод квазікласичного наближення		4	4
3,4	Наближені методи. Прямий варіаційний метод Рітца		4	4
5,6	Наближені методи. Стаціонарна теорія збурень без виродження.		4	4
7.	Стаціонарна теорія збурень при наявності виродження		2	2
8.	Нестаціонарна теорія збурень		2	2
9.	Метод раптових збурень. Адіабатичні збурення.		2	2
10.	Рух електрона в магнітному та електричному полях. Квантування Ландау			2
Модульна контрольна робота № 1		2	2
	ВСЬОГО	20	20	40
Змістовий модуль №2 «Метод матриці густини і релятивістські рівняння квантової механіки»
11.	Основи теорії розсіювання	2		2
12.	Метод матриці густини. Чисті та змішані стани квантової системи. Рівняння руху для матриці густини	2		2
13.	Релаксація матриці густини. Самоузгоджені рівняння для електромагнітного поля і речовини в наближенні матриці густини	2		4
14.	Релятивістські ефекти, як наслідок збурення нерелятивістських систем. Релятивістське рівняння Клейна-Гордона-Фока	2		2
15.	Граничні випадки рівняння Клейна-Гордона-Фока. Стаціонарне та нестаціонарне рівняння Дірака.	2		4
16.	Рівняння неперервності та вектор густини струму для частинок Дірака. Нерелятивістське наближення рівняння Дірака. Квантова теорія оператора спіна	2		4
17.	Рух частинки Дірака в вільному просторі та в полі ядра	2		4
11.	Спін. Власні функції та власні значення комбінації операторів спіна. Прецесія спіна.		2	2
12.	Рух спіна в постійному та змінному магнітних полях		2	2
13	Взаємодія електромагнітної хвилі з атомами і частинками. Правила відбору.		2	2
14	Оператори народження та знищення.		2	2
15.	Метод матриці густини		2	2
16.	Релятивістські рівняння квантової механіки (рівняння Клейна-Гордона)..		2	2
17	Рівняння Дірака			2
Модульна контрольна робота № 2		2
	ВСЬОГО	14	14	36
ВСЬОГО ЗА СЕМЕСТР	34	34	76

Загальний обсяг в V семестрі - 144 год.,