Випадкові величини (стр. 3 )

2.46. Знайти зв’язок між центральним абсолютним моментом першого порядку нормально розподіленої величини та її середнім квадратичним відхиленням.

2.47. Випадкова величина розподілена нормально і має нульове математичне сподівання. Задано проміжок який не містить початку координат. Визначити значення середнього квадратичного відхилення, при якому ймовірність потрапляння випадкової величини на заданий проміжок найбільша.

2.48. Завод виготовляє кульки для підшипників. Діаметр кульки — нормально розподілена величина з Побудувати графік, що відбиває залежність між відхиленням і ймовірністю того, що фактичні розміри не перевищать заданих відхилень.

2.49. Розмір деталі — нормально розподілена величина з Деталь вважається стандартною, якщо її відхилення від математичного сподівання не перевищує 0,8. Побудувати графік залежності між значеннями і часткою (у відсотках) бракованих деталей.

2.3. ФУНКЦІЇ ВИПАДКОВОГО АРГУМЕНТУ.
ЗАКОНИ РОЗПОДІЛУ ТА ЇХ ЧИСЛОВІ ХАРАКТЕРИСТИКИ

Важливою задачею в теорії ймовірностей є визначення законів розподілу та числових характеристик функцій випадкових аргументів, закони розподілу яких відомі. Нехай Х — дискретна випадкова величина, яку задано табличним законом розподілу.

			…
			…

Відомо, що тоді закон розподілу Y має такий вигляд:

			….
			…

Числові характеристики функції можна знайти за її законом розподілу або за формулами:

Довільні моменти розподілу подаються аналогічними формулами:

.

Якщо випадкові величини задано законами розподілу:

			…
			…

			…
			…

і задано функцію то закон її розподілу визначається так. Множина значень, що їх набуває Z, подається у вигляді: , . При цьому

Нехай Х — неперервна випадкова величина, яку задано щільністю розподілу Якщо і j — диференційована функція, монотонна в області значень Х, то щільність розподілу цієї функції подається у вигляді де — функція, обернена до j. Якщо j — не монотонна функція в області зміни аргументу, то обернена функція неоднозначна і щільність розподілу визначається як сума стількох доданків, скільки значень має обернена функція: де — функції, обернені до j.

Визначаючи числові характеристики функцій неперервних аргументів, операцію підсумовування, виконувану для дискретних величин, заміняють операцією інтегрування:

Приклади розв’язання задач

Приклад 1. Робітник обслуговує 4 верстати, які розміщено в одну лінію на відстані а один від одного. Знайти закон розподілу для випадкової величини Z — відстані, яку проходить робітник між двома обслуговуваннями, вважаючи, що події — «робітник перебуває біля будь-якого з верстатів» і «довільний верстат потребує обслуговування» — рівноможливі.

Розв’язання. Розглянемо випадкові величини: Х — номер верстата, біля якого перебуває робітник; Y — номер верстата, який потребує обслуговування. Якщо верстати перенумерувати у тій послідовності, в якій їх розміщено (1, 2, 3, 4), то закони розподілу Х i Y наберуть такого вигляду:

	1	2	3	4
	0,25	0,25	0,25	0,25

	1	2	3	4
	0,25	0,25	0,25	0,25

При цьому Складаючи закон розподілу Z, обчис-лимо значення функції для всіх можливих комбінацій значень Х і Y. Таких комбінацій буде 16. Імовірності для всіх цих комбінацій однакові і дорівнюють (за теоремою множення ймовірностей).

zi

0

a

2a

3a

a

0

a

2a

2a

a

0

a

3a

2a

a

0

pi

У таблиці значення zi повторюються. Складаємо нову таблицю, в якій такі значення запишемо один раз, а їхні ймовірності додамо.

zi	0	а	2а	3а
рi	0,25	0,375	0,25	0,125

Приклад 2. Кількість елементів ЕОМ, які виходять з ладу за деякий проміжок часу, розподілена за законом Пуассона з параметром а. Час ремонту машини залежить від кількості Х елементів, які вийшли із ладу, і визначається за формулою Знайти математичне сподівання часу ремонту і збитків, пов’язаних із простоєм машини, якщо збитки пропорційні до квадрата часу ремонту: