Випадкові величини (стр. 4 )

Розв’язання. Випадкова величина Х має такий закон розподілу: m = 0, 1, …. Скориставшись формулою для знаходження математичних сподівань функцій випадкових аргументів дістанемо:

Приклад 3. Випадкову величину Х задано щільністю розподілу:

Знайти щільність розподілу

Розв’язання. Дослідимо задану функцію на монотонність: х = 0. Отже, критична точка міститься на мережі зміни Х. Функція монотонно зростає в області зміни аргументу х. Тому можна застосувати формулу:

де

Щільність розподілу для Х має два відмінні від нуля аналітичні вирази. Стільки ж виразів матиме і щільність розподілу Y.

Якщо то

Якщо то

Звідси маємо:

Приклад 4. Довести, що в результаті центрування та нормування нормально розподіленої випадкової величини дістанемо нормально розподілену випадкову величину з нульовим математичним сподіванням і одиничною дисперсією.

Розв’язання. Нехай випадкова величина Х має щільність розподілу

Отже, центрування і нормування полягає в лінійному перетворенні випадкової величини. Лінійна функція завжди монотонна, тому скористаємося наведеною щойно формулою:

де

Маємо

Знайдено щільність нормально розподіленої випадкової величини з нульовим математичним сподіванням і одиничною дисперсією, що й потрібно було довести.

Приклад 5. Швидкість обробки — випадкова величина Х з напівнормальним законом розподілу:

Знайти закон розподілу випадкової величини Y — часу, потрібного для обробки деталі, якщо сумарний час її обробки дорівнює А.

Розв’язання. З умови задачі випливає, що Ця функція монотонна при додатних значеннях Х. Скориставшись тією самою формулою, яка застосовувалась у попередніх прикладах, дістанемо:

Оскільки область зміни Y — множина додатних чисел, то маємо:

Приклад 6. Тріщини всередині пластин листової сталі — відрізки прямої завдовжки а. Кут φ, утворюваний прямою, що проходить через тріщину, з прямою, яка перпендикулярна до сторони пластини, розподілений рівномірно на проміжку Знайти закон розподілу Y — ширини смуги, яка вирізується із бракованого металу.

Розв’язання. Для побудови графіка функції виконаємо рис. 2.1, з якого легко помітити, що

Рис. 2.1

Досліджуємо функцію на монотонність: Якщо n = 0, то Отже, функція не монотонна. На проміжку функція набуває значень від 0 до а. Побудуємо її графік (рис. 2.2).

Рис. 2.2

Проведемо пряму (це найменше значення функції) і уявимо, що вона переміщується в напрямі зростання паралельно сама собі. При цьому пряма перетинає графік у двох точках. Тоді щільність розподілу матиме єдиний аналітичний вираз, коли функція змінюється на проміжку Побудуємо функцію розподілу при деякому значенні y, яке належить області зміни функції. Пряма перетинає графік функції у точках Звідси маємо:

Знайдемо значення Із рівняння знаходимо: Запишемо функцію розподілу помінявши місцями у другому інтегралі межі інтегрування:

Знайдемо щільність розподілу диференціюванням функції розподілу, застосувавши таку залежність: якщо то

Підінтегральна функція в інтегралах дорівнювала одиниці, тому їхні похідні дорівнювали похідним за верхньою межею інтегрування. Остаточно шукана щільність розподілу функції набуває вигляду:

Приклад 7. Випадкову величину Х задано такою щільністю розподілу:

Знайти

Розв’язання. Побудуємо графік функції. Для цього знайдемо похідну: При переході через точку х = 2 похідна змінює знак з «мінуса» на «плюс», тому х = 2 — точка мінімуму; Будуємо графік функції (рис. 2.3).

Рис. 2.3

Якщо пряма перетинає графік функції в точках Знаходимо функцію розподілу:

Щоб виразити через y, розв’яжемо рівняння відносно х, попередньо прологарифмувавши обидві його частини:

Підставляємо здобуті вирази у функцію розподілу:

Диференціюємо функцію розподілу:

Якщо то функція монотонно зростає і

Отже, остаточна щільність розподілу набуває вигляду:

Приклад 9. Під час сортування сталевих кульок за їхніми розмірами до групи з номінальним розміром діаметра 10 мм потрапляють кульки, які проходять через отвір діаметром 10,1 мм,
і ті, що не проходять через отвір діаметром 9,9 мм. Кульки виготовлені зі сталі, густина якої 7,85 г/см3. Знайти математичне сподівання і дисперсію маси кульок, вважаючи розподіл діаметра кожної кульки в полі допуску рівномірним.

Розв’язання. Згідно з умовою щільність розподілу Х — діаметра кульки:

Маса кульки де g — густина сталі. Якщо , то математичне сподівання обчислюємо за формулою:

Отже, г.

Дисперсію обчислюємо так:

звідки

Приклад 10. Знайти функціональне перетворення, за допомогою якого з послідовності випадкових величин, розподілених рівномірно на проміжку можна дістати послідовність величин, розподілених показниково з параметром

Розв’язання. Шукаємо монотонно зростаючу диференційовну функцію. Щоб визначити її, запишемо формулу для відшукання щільності за даною щільністю

Згідно з умовою

Тоді Дістали диференціальне рівняння Розв’яжемо його:

Розв’яжемо здобуте співвідношення відносно у:

Якщо Х = 0, то й Тоді С = 1 і

Знайдене перетворення дає змогу діставати з послідовності рівномірно розподілених на проміжку випадкових величин послідовність випадкових величин, розподілених показниково з параметром

Вправи для самостійного розв’язування

2.50. Робітник обслуговує 16 однотипних верстатів, розміщених у 4 ряди по 4 верстати в ряду. Відстань між рядами верстатів дорівнює а між верстатами — Події — «робітник перебуває біля довільного верстата» і «довільний верстат потребує обслуговування» — рівноможливі. Знайти математичне сподівання відстані, яку проходить робітник між двома обслуговуваннями.

2.51. Довести, що сума двох випадкових величин, розподілених за законом Пуассона, має також закон розподілу Пуас-
сона.

2.52. Кількість відказів телевізора протягом гарантійного строку розподілена за законом Пуассона з У разі і-го відказу витрати на ремонт Знайти математичне сподівання і дисперсію витрат упродовж гарантійного строку.

2.53. Залежно від умов зберігання кількість придатної продукції через період визначається за формулою:

де, А — кількість продукції, закладеної на зберігання; Х — випадкова величина, яка рівномірно розподілена на проміжку

Визначити закон розподілу для Знайти для нього математичне сподівання та дисперсію.

2.54. Закон розподілу похибок при вимірюванні радіуса кола — нормальний з параметрами Знайти закон розподілу і числові характеристики похибок при обчисленні довжини кола та площі круга.

2.55. Залишок матеріалу А на початок місяця становив 300 оди­ниць. Витрати матеріалу за день роботи — випадкова величина, яка рівномірно розподілена на проміжку (10; 15]. Знайти закон розподілу та математичне сподівання:

а) для тривалості періоду на який вистачить матеріалу;

б) для залишку матеріалу Z після 20 днів роботи.

2.56. Урожайність зернових, ц/га, — випадкова величина, рівномірно розподілена на проміжку (15; 45]. Знайти закон розподілу та математичне сподівання випадкової величини — собівартості виробництва 1 ц зерна, якщо витрати з виробництва зерна на 1 га становлять b грн.

2.57. Залежно від режиму температур випадкова величина опору розподілена за законом, який задається щільністю розподілу Знайти закон розподілу величини І — сили струму у мережі, якщо напруга в ній 220 В.

2.58. Знайти закон розподілу та математичне сподівання довжини хорди яка сполучає задану точку кола радіусом а з іншою точкою, усі положення якої на колі рівноможливі.

2.59. Знайти функціональне перетворення, за допомогою якого рівномірно розподілена на проміжку (0; 1] випадкова величина Х перетворюється на нормально розподілену величину з і

2.60. Яким функціональним перетворенням випадкова величина що розподілена показниково , перетворюється на випадкову величину , що розподілена за законом Коші ?

2.4. ХАРАКТЕРИСТИЧНІ ФУНКЦІЇ

Закон розподілу випадкової величини Х може бути заданий характеристичною функцією У загальному випадку ця функція набуває комплексних значень. Визначають характеристичну функцію залежно від типу випадкової величини підсумовуванням або інтегруванням. Розглянемо властивості характеристичної функції.

1) 

2) якщо і відома то

3) характеристична функція суми двох незалежних випадкових величин дорівнює добутку їхніх характеристичних функцій;

4) якщо існує абсолютний момент порядку n для випадкової величини Х, то диференційовна принаймні n раз і

Розглянемо характеристичні функції деяких законів роз-
поділу.

1) біноміальний закон розподілу:

2) закон розподілу Пуассона:

3) рівномірний закон розподілу на проміжку :

4) показниковий закон розподілу:

5) нормальний закон розподілу: якщо то

Розглянемо граничні теореми, які виконуються для послідовності і відповідної їй послідовності характеристичних функцій.

Пряма теорема. Якщо послідовність функцій розподілу збігається до функції у всіх точках неперервності останньої, то послідовність характеристичних функцій збігається, якщо до функції , яка буде характеристичною функцією, що відповідає .

Обернена теорема. Якщо послідовність характеристичних функцій збігається на всій осі до неперервної функції , то послідовність функцій розподілу , якщо збігається до , причому буде функцією розподілу, яка відповідає характеристичній функції .

Приклади розв’язування задач

Приклад 1. Задано графік функції розподілу (рис. 2.4). Знайти

Рис. 2.4

Розв’язання. Випадкова величина Х неперервна, тому для визначення застосуємо формулу Щоб знайти насамперед потрібно записати аналітичний вираз для функції розподілу. При недодатних значеннях функція розподілу дорівнює нулю. Коли змінюється від нуля до одиниці, то Щоб знайти а, скористаємося тим, що Тоді Для визначення функції розподілу на проміжку скористаємося неперервністю Аналітичний вираз її на ньому такий: Дістаємо систему рівнянь:

Очевидно, що для x > 3 функція розподілу дорівнює одиниці. Остаточно маємо:

Диференціюванням функції розподілу знайдемо щільність розподілу:

Отже, характеристичною функцією буде така: