Випадкові величини (стр. 1 )

Розділ 2

ВИПАДКОВІ ВЕЛИЧИНИ

2.1. ЗАКОНИ РОЗПОДІЛУ І ЧИСЛОВІ
ХАРАКТЕРИСТИКИ ВИПАДКОВИХ ВЕЛИЧИН

Випадковою називається величина, яка може набувати різних числових значень. Строгіше означення випадкової величини пов’язане з поняттям простору елементарних подій. Нехай задано простір елементарних подій W. Однозначна числова функція яку задано на просторі елементарних подій, називається випадковою величиною. Якщо простір W дискретний, то випадкова величина дискретна. Неперервному простору елементарних подій відповідає неперервна випадкова величина.

Співвідношення між значеннями випадкової величини і їхніми ймовірностями називається законом розподілу випадкової величини.

Для дискретних випадкових величин закони розподілу можуть задаватися множиною значень, що їх набуває випадкова величина, і ймовірностями цих значень.

Якщо то або, якщо величина набуває зліченної множини значень, то

Закони розподілу дискретних випадкових величин задаються у табличній формі (подаються значення випадкової величини і їхні ймовірності), аналітичній (наводиться формула, за якою обчислюються ймовірності для заданих значень випадкової величини), графічній (у прямокутній системі координат задається набір точок сполучивши точки відрізками прямих, дістане­мо многокутник розподілу ймовірностей). Універсальним способом задання закону розподілу ймовірностей є функція розподілу Для дискретних величин

Функція розподілу — неспадна, неперервна зліва, Для довільних

Якщо Х — неперервна випадкова величина, то — неперервна і диференційована; її похідна називається щільністю розподілу ймовірностей. При цьому — невід’ємна функція, для якої

Математичним сподіванням, або середнім значенням, МХ випадкової величини, називається ряд (для дискретних випадкових величин) і інтеграл (для неперервних випадкових величин), якщо вони абсолютно збіжні. Математичне сподівання має такі властивості:

1) (С — стала);

2) ;

3)

4) якщо Х і Y — незалежні випадкові величини.

Дисперсія (позначається через ) випадкової величини Х визначається за формулою:

Основні властивості дисперсії:

1)

2)

3) якщо випадкові величини незалежні.

Середнє квадратичне відхилення (позначається літерою s) є квадратним коренем із дисперсії.

Якщо від випадкової величини віднімемо її математичне сподівання, то дістанемо центровану випадкову величину, математичне сподівання якої дорівнює нулю. Ділення випадкової величини на її середнє квадратичне відхилення називається норму­ванням цієї випадкової величини.

Випадкова величина має нульове математичне сподівання й одиничну дисперсію.

Початковий, центральний і абсолютний початковий моменти порядку k величини Х визначають відповідно за такими формулами:

Якщо існує початковий абсолютний момент порядку k, то існують усі моменти нижчих порядків.

Медіаною випадкової величини є Х будь-який корінь рівняння

Мода дискретної величини — це таке її значення, імовірність якого найбільша.

Модою неперервного розподілу є значення випадкової величини, за якого щільність розподілу має максимум.

Асиметрія випадкової величини визначається за формулою:

Ексцес випадкової величини обчислюють за формулою:

Приклади розв’язування задач

Приклад 1. Маємо 4 заготівки для виготовлення деталей. Ймовірність виготовлення придатної деталі дорівнює 0,75. Знайти закон розподілу випадкової величини Х — кількість заготівок, що їх буде використано для виготовлення придатної деталі. Знайти а також імовірність того, що із цих заготівок буде виготовлено стандартну деталь.

Розв’язання. Подамо закон розподілу для випадкової величини Х у табличній формі. Очевидно, що випадкова величина може набувати значень 1, 2, 3, 4. Значення Х = 1, буде тоді, коли з першої заготівки виготовлено стандартну деталь, а ймовірність цього дорівнює 0,75. Випадкова величина набуває значення 2, якщо з першої заготівки виготовлено браковану деталь, а з другої — придатну. За теоремою множення імовірностей ймовірність цієї події Аналогічно, Х = 3, якщо деталі, виготовлені з першої та другої заготівок, браковані, а деталь, яку виготовлено з третьої заготівки — придатна. Нарешті, Х = 4, якщо деталі, виготовлені з перших трьох заготівок, браковані. Запишемо закон розподілу:

	1	2	3	4
	0,75	0,1875	0,046875	0,15625

Легко перевірити, що сума ймовірностей у законі розподілу дорівнює 1. Знайдемо математичне сподівання та дисперсію випадкової величини за наведеними щойно формулами.

Якщо подія А — «із чотирьох заготівок виготовлено одну придатну деталь», то

Приклад 2. Задано функцію

Довести, що можна дібрати такі значення при яких буде функцією розподілу ймовірностей випадкової величини Х. Знайти

Розв’язання. Щоб знайти скористаємося неперервністю функції розподілу в точках х = 1 і х = 4. Дістанемо систему рівнянь:

Отже, якщо Доведемо, що на цьому проміжку функція монотонно зростає. Відшукуємо похідну функції: Похідна дорівнює нулю при На проміжку похідна функції додатна, а значить, ця функція зростає. Отже, задає закон розподілу випадкової величини Х. Обчислюємо ймовірність:

Приклад 3. Випадкову величину Х задано на інтервалі зі щільністю розподілу Знайти якщо МХ = 0.

Розв’язання. Невідомі значення двох параметрів. Тому потрібно скласти систему двох рівнянь, до яких вони входять. Скориставшись властивістю щільності розподілу і означенням математичного сподівання, дістанемо:

Другий інтеграл узято від непарної функції. Він може дорівнювати нулю, якщо Очевидно, що Із першого рівняння знаходимо А:

Приклад 4. Графік щільності розподілу ймовірностей — трикутник АВС. Вершина В лежить на осі ординат, координати інших вершин А(–2; 0), С(4; 0). Знайти аналітичний вираз для щільності розподілу ймовірностей, МХ, і

Розв’язання. Використаємо властивість щільності розподілу ймовірностей і геометричний зміст визначеного інтеграла. Площа трикутника АВС дорівнює 1. Висоту трикутника
h = ОВ знайдемо за формулою: отже, 6h = 2, Запишемо рівняння прямих у відрізках:

Аналітичний вираз для щільності розподілу:

Знайдемо математичне сподівання:

Для обчислення дисперсії скористаємося формулою :

Тоді

Функцію розподілу знайдемо за формулою Щільність розподілу має кілька аналітичних виразів. Стільки ж аналітичних виразів матиме й функція розподілу.

Якщо то

Якщо то

Якщо то

І, нарешті, якщо то

Отже,

Щоразу, обчислюючи вираз для функції розподілу, брали значення функції на лівій межі інтервалу.

Для обчислення ймовірності скористаємося функцією розподілу:

Вправи для самостійного розв’язування

2.1. Для виготовлення деталей використовуються труби завдовжки 4, 5 і 6 м. При цьому половина труб поставляється завдовжки 6 м, а труб завдовжки 4 і 5 м надходить однакова кількість. Знайти закон розподілу кількості заготівок завдовжки 0,5 м, утворених із навмання взятої труби. Знайти математичне сподівання та дисперсію випадкової величини.

Розв’язати цю задачу для випадку, коли навмання беруться дві труби.

2.2. Імовірність того, що деталь, яку виготовив верстат-автомат, належить до 1-го сорту, ставить 0,8. Робітник періодично перевіряє якість кожної виготовленої деталі, але щоразу не більше як чотирьох деталей. Якщо деталь 2-го сорту, то верстат зупиняють для регулювання. Скласти закон розподілу кількості перевірених деталей в одній серії спостережень. Знайти мате­матичне сподівання та дисперсію цієї величини.

2.3. Вагони з вантажем можуть прибути на станцію протягом доби. Якщо організувати чергування на N розвантажувальних майданчиках способом А, то середня кількість своєчасно розвантажених вагонів становитиме Np. У разі організації чергування способом В буде своєчасно вивантажено N(1 – (1 – p)2) вагонів, якщо вони надійдуть у першу половину доби, Np вагонів, якщо вони надійдуть у третю чверть доби, і 0,5Np, якщо вони наді-
йдуть в останню її чверть. При якому значенні р доцільно організувати чергування за схемою В?

2.4. Визначити ціну лотерейного білета, за якої забезпечується прибуток від лотереї, що дорівнює третині суми, одержаної від реалізації білетів, якщо на кожні 100 з них установлено один виграш у 100 грн, два — по 20 грн і чотири — по 10 грн.

2.5. Дискретну випадкову величину Х задано такою функцією розподілу:

Знайти закон розподілу Х у табличній формі.

2.6. Задано функцію . Довести, що коли то можна знайти i , такі, що — функція розподілу ймовірностей. Знайти ці значення та щільність розподілу f(x).

2.7. Існує гіпотеза, що випадкова величина Х має таку функцію розподілу:

У результаті чотирьох випробувань випадкова величина набувала значень, більших за 2. Чи відповідає цей результат висуненій гіпотезі, якщо рівень значущості дорівнює 0,005? Гіпотеза приймається, якщо ймовірність події більша за рівень значущості.

2.8. Випадкова величина Х задається функцією розподілу:

Знайти Р(2 £ Х < 4), f(x) i медіану Ме.

2.9. Випадкова величина Х задається функцією розподілу:

Знайти Р(1,2 £ Х < 1,5), f(x) і медіану Ме.

2.10. Графік щільності розподілу — півколо з центром у початку координат. Знайти аналітичний вираз для функцію розподілу математичне сподівання МХ та моду розподілу.

2.11. Графік щільності розподілу — півеліпс, фокуси якого лежать на осі абсцис симетрично щодо початку координат, а мала вісь у 4 рази менша за велику. Знайти аналітичний вираз для МХ та F(x).

2.12. Графік щільності розподілу — ламана лінія АВС. Знайти аналітичний вираз для f(x) i F(x), якщо кут АВС прямий, точка В лежить на осі ординат, а точки А і С — на осі абсцис симетрично відносно початку координат.

2.13. Графік щільності розподілу — ламана лінія АВС. Точка А(–2; 0), точка С лежить на осі абсцис, імовірність того, що випадкова величина невід’ємна, утричі більша за ймовірність того, що вона набуває від’ємних значень. Знайти аналітичний вираз для f(x).

2.14. Випадкова величина Х набуває значень на відрізку , де задано щільність її розподілу Визначити і якщо МХ = 0.

2.15. Випадкова величина Х набуває значень на відрізку МХ = 0. Знайти і .

2.16. Випадкова величина Х набуває значень на відрізку де задано щільність її розподілу Визначити і якщо і МХ = 2.

2.17. Випадкова величина Х набуває значень на відрізку де задано щільність її розподілу Визначити А і b, якщо

2.18. Випадкова величина Х набуває значень на відрізку де Визначити А і В, якщо

2.19. Щільність розподілу f(x) — парна функція. Знайти F(–1), якщо F(1) = 0,8.

2.2. НАЙВАЖЛИВІШІ ЗАКОНИ РОЗПОДІЛУ ЙМОВІРНОСТЕЙ

У теорії ймовірностей часто застосовуються деякі закони розподілу випадкових величин. Розглянемо ці розподіли, а також задачі, де вони використовуються.

1. Біноміальний закон розподілу

Імовірності в цьому законі визначаються за формулою m = 0,1,2, …, n. Закон справджується для схеми незалежних повторних випробувань, у кожному з яких подія А настає з імовірністю р. Частота настання події А має біноміальний закон розподілу. Числові характеристики розподілу: