Теория вероятностей и математическая статистика (стр. 5 )

Проверка гипотезы по критерию Пирсона производится следующим образом. Строятся интервалы , и вычисляются теоретические вероятности попадания значений случайной величины в данные интервалы. Задается уровень значимости и по таблицам распределения находится такое число , для которого выполняется неравенство . Затем проводится опыт, получают выборку и вычисляют , и . Если выполняется неравенство , то гипотеза отвергается на уровне значимости (так как произошло событие, вероятность которого при верной гипотезе очень мала). Если же справедливо соотношение , то гипотеза не отвергается на уровне значимости (но может быть отвергнута на некотором другом уровне значимости).

Критерий Колмогорова. Перед рассмотрением данного критерия нам понадобится ввести следующее определение.

Определение. Пусть - выборка объема из генеральной совокупности . Эмпирическая функция распределения обозначается и равна отношению - количества выборочных значений, меньших , к объему выборки, то есть .

Замечание. Эмпирическая функция распределения совпадает с функцией распределения случайной величины , распределение которой задается таблицей

.

Эмпирическая функция распределения стремится с увеличением числа опытов к функции распределения генеральной совокупности .

Теперь перейдем непосредственно к рассмотрению критерия Колмогорова. Основной гипотезой здесь, как и в критерии Пирсона, является предположение, что функцией распределения генеральной совокупности является заданная функция распределения , только здесь на накладывается требование непрерывности. Альтернативная гипотеза состоит в том, что . Для проверки данной гипотезы проводится эксперимент, результатом которого является выборка объема и вычисляется . Критерий Колмогорова опирается на следующую теорему, которую мы сформулируем без доказательства.

Теорема Колмогорова. Если верно равенство и - непрерывна, то для любого справедливо соотношение , где - функция Колмогорова, определяемая равенством .

Проверка гипотезы по критерию Колмогорова производится следующим образом. Задается уровень значимости и по таблицам критерия Колмогорова находится число , удовлетворяющее условию . Затем проводят опыт, получают выборку и вычисляют и . Если выполняется неравенство , то гипотеза отвергается на уровне значимости (так как произошло событие, маловероятное при верной гипотезе ). Если же справедливо соотношение , то гипотеза не отвергается на уровне значимости .

Замечание. Если верна гипотеза и , то верно равенство с вероятностью 1, и, следовательно, с вероятностью 1. Таким образом, с вероятностью 1 в данном случае . Это означает, что при любом уровне значимости мощность критерия Колмогорова стремится к 1, когда объем выборки неограниченно увеличивается.

Критерий Смирнова. В данном случае имеются две независимые генеральные совокупности и . Основная гипотеза состоит в том, что ; альтернативная гипотеза состоит в том, что . Предполагается что и непрерывны. Для проверки гипотезы в результате эксперимента получают выборку объема из первой генеральной совокупности и выборку объема из второй генеральной совокупности. Затем вычисляют и и определяют равенством . Критерий Смирнова основан на следующей теореме, которую мы сформулируем без доказательства.

Теорема Смирнова. Если , - непрерывна и выполняется равенство , , то при всех справедливо соотношение , где - функция Колмогорова.

Проверка гипотезы по критерию Смирнова осуществляется следующим образом. Задается уровень значимости и по таблицам распределения Колмогорова находится такое число , для которого выполняется равенство . Затем проводится опыт, получаются выборки и и вычисляется . Если справедливо соотношение , то гипотеза отвергается на уровне значимости . Если же справедливо соотношение , то гипотеза не отвергается на уровне значимости .

Замечание. При неограниченном возрастании объема выборок мощность критерия Смирнова стремится к 1.

1)  Как определяется доверительный интервал для неизвестного параметра?

2)  Как строится доверительный интервал для параметра , если генеральная совокупность имеет нормальное распределение ?

3)  Чему равна длина доверительного интервала для параметра , если генеральная совокупность имеет нормальное распределение ?

4)  Как строится доверительный интервал для параметра , если генеральная совокупность имеет распределение ?

5)  Как строится доверительный интервал для параметра , если генеральная совокупность имеет нормальное распределение ?

6)  Как строится доверительный интервал для параметра , если генеральная совокупность имеет распределение ?

7)  Можно ли доверительный интервал, построенный для при ξ~ использовать для оценивания при ξ~? Почему?

8)  Можно ли доверительный интервал, построенный для при ξ~ использовать для оценивания при ξ~? Почему?

9)  Какому условию должно удовлетворять критическое множество , построенное для проверки основной гипотезы для уровня значимости ?

10)  Как определяется и интерпретируется ошибка первого рода?

11)  Как определяется и интерпретируется ошибка второго рода?

12)  Как определяется и интерпретируется мощность критерия?

13)  Какое распределение используется для нахождения «порогов» , в критерии знаков?

14)  Как строится в критерии Пирсона?

15)  Какое распределение используется для нахождения «порога» в критерии Пирсона?

16)  Как определяется эмпирическая функция распределения?

17)  Как строится в критерии Колмогорова?

18)  Какое распределение используется для нахождения «порога» в критерии Колмогорова?

19)  Как строится в критерии Смирнова?

20)  Какое распределение используется для нахождения «порога» в критерии Смирнова?

1)  При построении доверительного интервала для параметра при ~ используется утверждение:

а) , независимы; б) ; в); г) .

2)  Доверительный интервал для параметра при ~ имеет вид:

а) ; б) ;

в) ; г) .

3)  При построении доверительного интервала для параметра при ~ используются таблицы распределения:

а) Колмогорова; б) Стьюдента; в) нормального; г) хи-квадрат.

4)  Вероятность ошибки первого рода при основной гипотезе , семействе альтернативных гипотез , уровне значимости , результате эксперимента и критическом множестве определяется равенством:

а) ; б) ;

в) ; г).

5)  При проверке гипотезы с помощью критерия знаков используются таблицы распределения: а) Колмогорова; б) нормального; в) Бернулли; г) Стьюдента.

6)  Если гипотеза проверяется с помощью критерия Колмогорова, - выборка объема , то вычисляется по формуле: а) ; б) ; в) ; г) другое.

7)  При выполнении теоремы Пирсона случайная величина в пределе имеет распределение а) нормальное б) Колмогорова; в) Стьюдента; г) хи-квадрат;.

8)  Случайная величина используется при проверке гипотез по критерию а) Пирсона; б) Смирнова; в) Колмогорова; г) знаков.

9)  При проверке гипотезы по критерию знаков основная гипотеза состоит в том, что а) ; б) ; в) ; г) .

10)  При проверке гипотезы по критерию Пирсона альтернативная гипотеза состоит в том, что а) ; б) ; в) ; г) .

1)	2)	3)	4)	5)	6)	7)	8)	9)	10)
б	г	б	в	в	а	г	а	в	б

1.  Вентцель вероятностей: учебник для студентов вузов. - М.: Издательский центр «Академия»., 2003.

2.  Гмурман вероятностей и математическая статистика. - М.: Высш. шк., 2003.

3.  Севастьянов теории вероятностей и математической статистики - М, Наука 20с.

4.  Ширяев , В 2-х тт. Т.1,2, изд.4, доп. и перераб. - М., Наука, 2007. Твердый переплет. 928 с.

5.  Боровков вероятностей. Изд.5. М.: Физматлит, 20с.

6.  Боровков статистика. 3-е изд., испр. М.: Физматлит, 2007. – 703 с.

7.  Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных функций (под ред. ). Изд.4, перераб. Твердый переплет. 448 с. - М.:Наука, 2008

8.  Гмурман к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. - М.: Высш. шк., 2004.

9.  , , Ядренко вероятностей и математическая статистика.- Киев, “Вища школа”, 1979.

10.  Пугачев B. C. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Наука, 1979.

11.  и др. Сборник задач по теории вероятностей с методическими указаниями - СГУ, Саратов, 1987.

12. Александров задач по математической статистике. - СГУ, Саратов, 1992.

13. Введение в теорию вероятностей и ее приложения - том 1, М. , Мир, 1964.

14. Парадоксы теории вероятностей и математической статистики, - М., Мир, 1990.

15. Ивченко статистика. - М.,"Высшая школа", 1984.

16. и др. Сборник задач по теории вероятностей и математической статистике, часть 1, СГУ, Саратов, 1982.