Элементы математического анализа и их приложения в экономике

II. Элементы математического анализа и их приложения в экономике

II.1. Определите и поясните понятие функции одной и нескольких переменных. Какими способами можно задать функцию? Приведите примеры функций, применяемых в экономическом анализе.

Ответ:

Рассмотрим множество X элементов x и множество Y элементов y. Если каждому по определенному правилу f поставлен в соответствие один единственный , то говорят, что на множестве X задана функция со значениями во множестве Y. Элементы называются значениями аргумента, а элементы - значениями функции. Множество X называют областью определения функции, а множество значений - областью значения.

Способы задания функции одной переменной

Существуют несколько способов задания функции.

Аналитический способ. Функция f задается в виде формулы y=f(x). Например, y=3sin(x).

При аналитическом способе задания функция может быть задана:

явно, когда дано выражение у через x, т. е. формула имеет вид у = f(x);

неявно, когда х и у связаны между собой уравнением вида F(x, у) = 0;

параметрически, когда соответствующие друг другу значения х и у выражены через третью переменную величину t, называемую параметром.

Этот способ является преобладающим в математических исследованиях и подробно рассматривается в классическом курсе математики. В прикладных дисциплинах соответствие между переменными величинами x и y не всегда удается записать в виде формулы. Во многих случаях формула бывает неизвестна. Тогда для выражения функциональной зависимости используются другие способы.

Табличный способ.

Этот способ является наиболее простым. В одном столбце записывают значения аргумента x, а во втором — значения f(x).

Такой способ задания функции часто применяется в тех случаях, когда область определения состоит из конечного числа значений (таблицы цен на товары, таблицы розыгрыша лотерей и т. д. Широко используются таблицы значений различных

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

функций: в таблицах тригонометрических функций, логарифмов и

т. п. В виде таблиц записываются результаты экспериментального

исследования каких-либо процессов и явлений.

t	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
T,0С	12	11	10	9	8	7	8	10	12	14	16	17

или темпы роста y производительности труда по годам в промышленности республики приведены в таблице

x	1	2	3	4	5	6	7	8
y	100	156	170	184	194	295	220	229

К недостатку табличного способа можно отнести то, что представление о функциональной зависимости здесь не является полным, так как невозможно поместить в таблице все значения аргумента.

3. Графический способ.

Аналитический и табличный способы задания функции страдают отсутствием наглядности. Графический способ не имеет такого недостатка. Графическим

способом называется такой способ задания функции у = f(x), при

котором соответствие между аргументом х и функцией у устанавливается с помощью графика.

Графиком функции у = f(x) называется множество всех точек плоскости с координатами (x, f(x)), т. е. таких, координаты которых обращают выражение у = f(x) в тождество.

В экономике многие зависимости могут быть заданы как

функции одной переменной у = f(x). Наличие функциональных зависимостей позволяет использовать для решения экономических проблем методы математического анализа. В качестве примеров функциональных зависимостей можно привести следующие функции.

1. Функция спроса от цены товара. Обозначим через х цену

товара, через у — спрос на товар. Тогда функцию спроса часто

можно выразить аналитически (т. е. в виде формулы):

Например, y=a-bx или или

2. Функция цены от спроса товара. Если х — спрос на то -

товар, у — цена товара, то у = f(x). Например,

3. Суммарная выручка, равная произведению количества про -

проданного товара на цену товара, тоже является функцией спроса,

если цена — функция спроса.

4. Суммарные издержки производства F и средние (удель -

(удельные) издержки производства (себестоимость) / — функции от

объема производства х: F = F(x), f(x) = F(x)/x.

Например, F(x) = 5х + 300, f(x) = 5 + 300/x.

5. Сумма денежного вклада в Сбербанке у — функция от

времени x, которое хранится вклад: у = у(х).

Например, у = 100 A,03)ж.

6. Функция полезности (функция предпочтений) — в широком

смысле зависимость полезности, т. е. результата, эффекта некоторого действия от уровня (интенсивности) этого действия.

7. В некоторых экономических задачах, например, в задачах о

денежных вкладах в Сбербанке, возникает необходимость рассчитать так называемые «сложные проценты».

Функции нескольких переменных.

Функция, определенная на некотором множестве X арифметического n-мерного пространства, называется функцией n аргументов

где - координаты точки данного множества. В этом случае говорят, что задана функция точки M и пишут , где

Примеры применения функций нескольких переменных в экономическом анализе

При моделировании экономики страны в качестве основных ресурсов используют затраты труда L и объем производственных фондов К. Национальный доход выступает в роли результата деятельности экономики. Поэтому в макроэкономике Y рассматривают как функцию двух независимых переменных К и L:

Y = F(K, L).

Функция Кобба—Дугласа. Функцией Кобба-Дугласа на -

называется производственная функция следующего вида

где

Знание параметров функции Кобба-Дугласа позволяет

делать приближенные прогнозы значений национального дохо -

дохода. И многие другие.

II.2. Спрос и предложение на некоторый товар на рынке описываются линейными зависимостями вида D(P) = a – b*P, S(P) = d*P + c. Определить равновесную цену при следующих значениях параметров зависимостей спроса и предложения:

a = 9, b = 5, c = 3, d = 2;

Для решения задачи можно воспользоваться двумя способами: аналитическим и графическим. Первый способ состоит в том, что приравнивают функции спроса и предложения

Равновесная цена определяется из равенства

Равновесная цена равна 6/7

Графический способ состоит в том, что строятся линии спроса и предложения (задаются произвольные значения Р и подставляются в функции спроса и предложения). Затем находится точка равновесия и определяется равновесная цена.

Точка пересечения линий и будет равновесной ценой

II.3. Найти точку «прибыльности-убыточности» объема посещаемости спектакля зрителями, если линейная функция общих затрат имеет вид ТС = F + V *Q, где ТС — общие затраты, F — фиксированная часть общих затрат, V — переменная стоимость затрат в расчете на единицу выпуска, Q - количество выпуска продукции, а линейная функция общего дохода задается как , где TR - общий доход от продажи продукции, P - цена единицы проданной продукции, Q - количество проданной продукции. При этом:

фирма-организатор планирует продавать театральные билеты в среднем по 2,2 экю за билет; подготовка и проведение спектакля оценивается как 1,7 экю за театральное место; фиксированные затраты составляют 2000 экю;

Решение:

Точка точку «прибыльности-убыточности» может быть определена аналитическим методом. Если учесть, что в точке безубыточности прибыль равна нулю, то точку критического объема производства можно найти по формуле

Выручка от реализации представляет собой произведение объема продаж и цены продукции. Общая сумма переменных издержек может быть рассчитана как произведение переменных издержек на единицу продукции и объема производства, соответствующего объему продаж. Поскольку в точке безубыточности объем производства (продаж) равен критическому, описанные формулы принимают следующий вид:

Следовательно из произведенных расчетов делаем вывод, что продать нужно не менее 4000 билетов, чтобы окупить все затраты.

II.4. Определите и поясните следующие понятия:

производная функции одной переменной; частная производная функции нескольких переменных; градиент функции; локальный экстремум функции одной и нескольких переменных;

необходимые и достаточные условия локального экстремума

Решение:

Определение 1 (производная). Производной функции y = f(x) в фиксированной точке x называется предел

при условии существования этого предела.

Производная обозначается следующим образом f'(x) или y'. Это обозначение, а также термин первая производная ввел Ж. Лагранж

Геометрический смысл производной

Пусть f(x) определена на некотором промежутке (a, b). Тогда тангенс угла наклона секущей к графику функции (

где a - угол наклона касательной к графику функции f(x) в точке (x0, f(x0)).

Уравнение касательной к кривой:

Уравнение нормали к кривой: .

Фактически производная функции показывает скорость изменения функции, т. е. как изменяется функция при изменении переменной.

Физический смысл производной функции f(t), где t- время, а f(t)- закон движения (изменения координат) – мгновенная скорость движения.

Экономический смысл производной:

Пусть функция u(t) выражает количество произведенной продукции за время t. Найдем производительность труда в момент t0. За период от t0 до количество продукции изменится от u(t0) до Тогда средняя производительность труда за этот период , поэтому производительность труда в момент t0

Рассмотрим еще некоторые понятия, иллюстрирующие экономический смысл производной.

Пусть y(x) - функция, характеризующая, например, издержки производства, где x - количество выпускаемой продукции. Тогда отношение y(x)/x описывает средние издержки, приходящиеся на одно изделие. Средняя величина обозначается Ay или Af (от английского "average".) Среднее приращение, средний прирост, средняя скорость изменения определяется отношением . Производная

выражает предельные (маргинальные ) издержки производства. Величину Mf(x) = y' называют мгновенным приростом или мгновенной скоростью изменения y. Аналогично можно определить предельную выручку, предельный доход, предельную полезность и другие предельные величины.

Частной производной функции нескольких переменных по одной из этих переменных называется производная, взятая по этой переменной при условии, что все остальные переменные остаются постоянными. Например для функции двух переменных z = f(x, y) частной производной по переменной x называется производная этой функции по x при постоянном y. Обозначается частная производная по x следующим образом:

.Говорят, что функция имеет в точке строгий локальный максимум (минимум), если эту точку можно окружить такой окрестностью (), содержащейся на промежутке, где задана функция, что для всех ее точек x выполняется строгое неравенство

или

Если существует такая окрестность в пределах которой выполняется нестрогое неравенство

или

то говорят, что функция имеет в точке нестрогий локальный максимум {минимум).

Для максимума или минимума существует и объединяющий их термин — экстремум..

Те значения аргумента, при которых достигаются экстремумы функции, называются точками экстремума функции.

Теорема (необходимое условие экстремума).

В точке экстремума дифференцируемой функции производная ее равна нулю.

Теорема (достаточное условие экстремума) (первое правило).

Пусть функция непрерывна в некотором интервале, содержащем критическую точку , и дифференцируема во всех точках этого интервала, кроме, может быть, самой точки . Если при переходе аргумента слева направо через точку производная меняет знак с плюса на минус, то функция в этой точке имеет строгий локальный максимум. Если при переходе через точку производная меняет

знак с минуса на плюс, то функция имеет в этой точке строгий локальный минимум.

Если при переходе через точку производная сохраняет постоянный знак, то функция не имеет строгого локального экстремума.

Теорема 2 (второе правило).

Если функция дважды непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности

точки и

то в этой точке имеет строгий локальный экстремум; а именно: если , то - строгий локальный минимум функции , и если , то-строгий

локальный максимум функции

Вектор с координатами , характеризующий направление максимального роста функции в точке , называется градиентом функции в этой точке и обозначается или

Градиент совпадает с нормалью к линии уровня ) в точке

Итак градиент характеризует направление наибольшей скорости изменения

функции. В этом состоит механический смысл градиента. С геометрической точки зрения градиент выражает направление наибольшего наклона графика функции, а с экономической — такую линейную комбинацию факторов х и у, при которой

наблюдается наибольший выход продукции на единицу этого состава.

Максимумом (минимумом) функции в точке M

Называется такое значение , которое больше (меньше) всех других ее значений, принимаемых в точках M, достаточно близких к точке М и отличных от нее.

Необходимое условие экстремума функции нескольких переменных

В точке экстремума дифференцируемой функции нескольких переменных частные производные равны нулю.

Достаточные условия экстремума функции нескольких переменных

Пусть стационарная точка, т. е. точка в которой выполняется равенство

1) если то максимум функции

2) если то минимум функции

С помощью дифференциального исчисления в экономике вычисляются предельные величины, например предельные издержки. Решают задачи максимизации прибыли, оптимизации налогообложения предприятия, минимизация средних издержек, выясняют эластичность и многие другие.

II.5. Максимизировать полезность набора товаров Х, если функция полезности U(X) имеет вид:

U(X) = - 11 Х2 + 470Х + 910.

Решение

Найдем Max(U(X)), Для этого вычислим производную U(X)

Т. к. вторая производная в критической точке<0, следовательно это точка максимума.

Таким образом максимум достигается при значении и составляет

II.6. Пусть зависимость издержек производства объема выпускаемой продукции выражается формулой С = 20Q – 0,05Q3 денежных единиц. Определить средние и предельные издержки при объеме продукции стоимостью

Q = 10,5 ден. ед.;

Решение:

Вычислим производную функции, которая выражает зависимость издержек производства от объема выпускаемой продукции

Определим при объеме выпускаемой продукции =10

предельные издержки

Средние издержки вычислим подставляя Q=10 в функцию зависимости издержек производства от объема выпускаемой продукции.

Предельные издержки показывают, какова величина затрат, которые фирма понесет при росте производства на последнюю единицу продукции, или тех средств, которые она сэкономит в случае уменьшения производства на данную единицу. В том случае, когда дополнительные издержки на производство каждой дополнительной единицы продукции меньше средних издержек уже произведенных единиц, производство данной следующей единицы понизит средние общие издержки. Если же издержки на следующую дополнительную единицу будут выше, чем средние издержки, ее производство повысит средние общие издержки. Это относится к короткому периоду.

II.7. Пусть спрос на товар определяется формулой D(P) = 100 – 3P. Найти эластичность спроса при цене на товар:

P = 19 ден. ед.;

Решение:

Коэффициент эластичности показывает степень количественного изменения одного фактора (например, объема спроса или предложения) при изменении другого (цены, доходов или издержек) на1%.

Эластичность в точке (точечная эластичность) - используется в том случае, когда задана функция спроса (предложения) и исходный уровень цены и величины спроса (или предложения). Данная формула характеризует относительное изменение объема спроса (или предложения) при бесконечно малом изменении цены (или какого-либо другого параметра)..

Расчет коэффициента точечной эластичности спроса по цене.

В этом случае требуется рассчитать коэффициент с помощью первой производной:

Экономический смысл полученного значения заключается в том, что изменение цены на 1% относительно первоначальной цены P = 19 приведет к изменению величины спроса в противоположном направлении на 1,33%. Так как

|E| > 1, то спрос в этой точке эластичен .

II.8. Рассчитайте коэффициент эластичности спроса на товар ( У ) в группе семей со средним доходом Х = 200 долл., если уравнение зависимости У от Х имеет вид

У = 34,5 + 0,65Х – 0, 009Х2 + 0, 00009Х3.

Решение:

Эластичность спроса по доходу можно определить по аналогии с ценовой эластичностью спроса как степень количественного изменения дохода на 1%. В силу того, что рост дохода увеличивает возможности совершения покупок, спрос на большинство товаров с увеличение доходов возрастает, т. е. эластичность спроса по доходу является положительной. Если при этом коэффициент эластичности крайне мал, то речь идет о товарах первой необходимости. Если же достаточно велик, то о предметах роскоши.

Рассчитаем коэффициент для поставленной задачи

Подставим в полученное выражение X=200

Экономический смысл полученного значения заключается в том, что изменение дохода на 1% относительно первоначального дохода = 200 приведет к изменению величины спроса в том же направлении на 3%. Спрос в данной точке эластичен.

II.9. Рассчитать объемы потребления благ x, y, если:

функция полезности индивида U (x, y) = x *y, P(x) = 8, P (y) = 4, доход I = 160.

Решение

Задача об оптимальном наборе имеет вид

u ( x ) = u ( x 1 , ..., x j , ..., x n )max,

Решение этой задачи на условный экстремум находится при помощи метода множителей. Оптимальный набор определяется путем решения следующей системы из ( n + 1) уравнения