Вопросы к экзамену по курсу
«Теория вероятностей и математическая статистика»
для студентов 4 курса направления «Прикладная математика»
1. Вероятностное пространство. Вероятность. Примеры вероятностей: классическая, геометрическая.
2. Свойства вероятностей.
3. Урновые схемы: выбор с возвращением и без.
4. Условная вероятность. Теорема умножения. Формула полной вероятности. Формула Байеса.
5. Независимые события. Независимость в совокупности.
6. Независимые испытания. Прямое произведение вероятностных пространств.
7. Схема Бернулли. Схема Пуассона.
8. Полиномиальная схема.
9. Теорема Пуассона для схемы Бернулли (с док-вом). Теорема Пуассона для схемы Пуассона (без док-ва).
10. Локальная теорема Муавра-Лапласа (с д-вом). Интегральная теорема Муавра-Лапласа (без д-ва).
11. Случайные величины: Борелевские множества. Критерий измеримости. Борелевские функции.
12. Закон распределения случайной величины. Дискретные случайные величины. Основные распределения.
13. Абсолютно непрерывные случайные величины. Основные распределения.
14. Функция распределения и ее свойства.
15. Функции распределения для дискретных и абсолютно непрерывных случайных величин.
16. Распределение функции от случайной величины.
17. Об отсутствии эквивалентности двух «определений» абсолютно непрерывного распределения.
18. Многомерная случайная величина (случайный вектор). Свойство плотности абсолютно непрерывного случайного вектора.
19. Функции распределения случайных векторов. Связь плотности вектора и плотности его компоненты.
20. Независимость случайных величин. Эквивалентность определений.
21. Сумма независимых случайных величин.
22. Математическое ожидание. Свойства. Мультипликативное свойство.
23. Дисперсия. Другие моменты. Ковариация. Свойства. Неравенство Коши-Буняковского для математических ожиданий.
24. Характеристическая функция, ее свойства.
25. Слабая сходимость. Формула обращения (без док-ва). Теорема о непрерывном соответствии (без док-ва).
26. Центральная предельная теорема. Доказательство интегральной теоремы Муавра-Лапласа.
27. Сходимость по вероятности. Сходимость почти наверное. Связь различных видов сходимости.
28. Неравенство Чебышева. Правило «трех сигм».
29. Законы больших чисел: в форме Чебышева, в форме Хинчина, усиленный ЗБЧ (теорема Колмогорова), усиленный ЗБЧ для разнораспределенных случайных величин.
30. Центральная предельная теорема.
31. Характеристическая функция случайного вектора. Свойства. Слабая сходимость. Теорема о непрерывности.
32. Многомерное нормальное распределение. Свойства.
33. Плотность многомерного нормального распределения.
34. Производящие функции, их свойства. Сумма случайного числа случайных величин.
35. Схема гибели и размножения.
36. Центральная предельная теорема для случайных векторов.
37. Теорема Гливенко-Кантелли.
38. Функция сходящихся по вероятности аргументов. Состоятельность начальных и центральных выборочных моментов.
39. Выборочное среднее и выборочная дисперсия, их свойства.
40. Метод моментов. Состоятельность оценок.
41. Метод максимального правдоподобия.
42. Доверительные интервалы для параметров нормального распределения:
a. для математического ожидания при известном значении дисперсии;
b. для математического ожидания при неизвестном значении дисперсии. Теорема Стьюдента;
c. для дисперсии при известном значении математического ожидания;
d. для дисперсии при неизвестном значении математического ожидания.
43. Доверительный интервал для параметра p биномиального распределения.
44. Полиномиальное распределение и центральная предельная теорема.
45. Критерий Пирсона.
46. Критерии Колмогорова и Смирнова.
47. Неравенство Рао-Крамера. Информация Фишера. Эффективные оценки.
48. Парная регрессия. Метод наименьших квадратов.
