Ответы на олимпиадные задания по математики 11 класс

Ответы на олимпиадные задания по математики 11 класс

Ответ: х = 0, х = - 1.

Число х = 1 не является корнем. Запишем уравнение в виде

(1 + х + х 2) .

Домножим уравнения на (х -1)2, имеем

(х 3 -1) (х= (х 7 -1)2 х 11 – 2 х 7 + х 3 = 0.

х 3(х 4 -1)2 = 0 х = 0, х = -1.

Ответ: n = 648.

Пусть n = 2 k *3 e. По условию Отсюда следует, что k – нечетное число, e – четное, k3. Поэтому n = 2 3 * 3 4 = 8 * 81 = 648.

3. Ответ: R (х) = х

По условию задачи нужно построить многочлен третьей степени, удовлетворяющий условию Р(1) = 1, Р(2) = 2, Р(3) = 3. Этот многочлен имеет вид:

Р(х) =(х - 1) (х - 2) (х - 3) + х.

Остаток от деления Р(х) на (х - 1) (х - 2) (х - 3) равен х.

Ответ : R ( - 2).

Центры 4 одинаковых шаров расположены

в вершинах тетраэдра АВСD со стороной а.

Радиусы шаров равны Выразим а через R.

Найдем радиус сферы, описанной около тетраэдра.

Рассмотрим ∆ DAР, где Р - точка на описанной сфере.

Угол ВАР = 90 0, АК = .

Поэтому ОD =ОР = r = .

Ответ: g (х + f(у)) = .

По условию g (х + f(у)) = 2 х + у + 5. Если х = 0, то f(g(у)) = у + 5. Если у = 0, то

f (х + g(0)) = 2 х + 5.

Т. о. f (х) = 2 х + b 1, g (х) = ax + b2. Отсюда следует, что f(g(у))= 2 (ау + b 2) + b 1 =

= у + 5. т. е. 2а= 1, 2 b 2 + b 1= 5. Поэтому f( х) = 2 х + b 1, g (х) = ,

g (х+ f (у)) = g (х + 2 у + b1) = .