F2 mg
2. Автомобиль массой 2т движется с постоянной скоростью72км/ч: а)по горизонтальному плоскому мосту; б)по выпуклому мосту; в) по вогнутому мосту. Радиус кривизны моста в последних двух случаях равен 100м. С какой силой нормального движения действует автомобиль на мост в каждом из этих случаев, проезжая через середину моста?
3. Небольшая шайба находится на вершине полусферы радиусом R. Какую наименьшую горизонтальную скорость V нужно сообщить шайбе. Чтобы она оторвалась от полусферы в начальной точке движения?
V
R
 |
4. На вращающемся горизонтальном столике на расстоянии 50см от оси вращения лежит груз массой 1кг. Коэффициент трения груза о поверхность столика 0,25. Какова сила трения, удерживающая груз, если столик вращается с частотой 0,2об/с? При какой угловой скорости груз начнет скользить по столику?
5. Небольшая шайба массой 50г соскальзывает без трения с вершины полусферы радиусом 20см. На какой высоте от основания шайба оторвется от полусферы? Занятие 18 Закон сохранения импульса.
Впервые об импульсе можно узнать из Декартовой механики. Третий ее закон утверждает постоянство количества движения (произведение массы тела, которую Декарт путал с весом, на его скорость). Декарт полагает также количество движения равным произведению приложенной силы на время ее действия и называет это произведение импульсом силы; это название сохранилось в науке и сейчас в том же значении. Третий закон Декарта является по существу центральным пунктом его механики. То, что Декарт сумел выделить его и положить в основу своей механики, говорит о незаурядной интуиции автора. К сожалению, Декарт не учитывает того, что скорость является величиной, имеющей ориентацию и направление и, соответственно того, что количества движения являются векторами и их сумму нужно понимать в геометрическом, а не алгебраическом смысле. Закон сохранения импульса играет огромное значение в механике. Этот закон позволяет сравнительно простым путем решать ряд практически важных задач.
Решение задач:
1. Снаряд в верхней точке траектории на высоте Н=100м разорвался на две части: m₁=1кг и m₂=1.5кг. Скорость снаряда в этой точке V₀=100м/с. Скорость большего осколка V₂ оказалась горизонтальной, совпадающей по направлению с начальной скоростью и равной 250м/с. Определить расстояние между точками падения обоих осколков. Сопротивление воздуха не учитывать.
Решение:
Из закона сохранения количества движения
(m₁+m₂)V₀ =m₁V₁ + m₂V₂, находим, что
V₁ = ((m₁ +m₂)V₀ - m₂V₂)/m₁,
V₁ = -125м/
Следовательно, S =( V₁ + V₂,) 2h/g
S =1695м.
2. Граната, летевшая со скоростью 10м/с, разорвалась на два осколка. Больший осколок, масса которого составляла 60% массы всей гранаты, продолжал двигаться в прежнем направлении, но с увеличенной скоростью 25м/с. Найти скорость меньшего осколка.
3. Человек массой 70кг находится на корме лодки, находящейся в озере. Длина лодки 5м и ее масса 280кг. На какое расстояние передвинется человек относительно дна? Сопротивлением лодки пренебречь.
4. Тележка массой 120кг движется по рельсам без трения со скоростью 6м/с. С тележки соскакивает человек массой 80кг под углом 30° к направлению ее движения в горизонтальной плоскости. Скорость тележки уменьшилась до 5м/с. Какова была скорость человека во время прыжка относительно земли?
5. На платформу массой 600кг, движущуюся горизонтально со скоростью 1м/с, насыпали сверху 200кг щебня. Чему стала равна скорость платформы?
Занятие 19 Столкновения.
Исследование столкновения тел представляло собой большую трудность для первых механиков. Ею занимался Джован Баттиста Бальяни в своей работе « О движении твердых тел», 1638 г. Галилей собирался посвятить этому вопросу «День шестой» своих «Бесед», но хотя в дошедших до нас фрагментов никакого решения мы не найдем. На этом подводном камне потерпела крушение вся механика Декарта.
В своей работе «О движении тел после удара», опубликованной после его смерти, Гюйгенс рассматривает эту сложную задачу, утверждая, что если два одинаковых тела с равными, но противоположно направленными скоростями испытывают центральный удар, то они отлетают одно от другого с теми же скоростями, но поменявшими знак. Гюйгенс вывел законы соударения упругих тел, которые мало изменились при последующих исследованиях.
Эдм Мариотт исследовал те же задачи и чисто экспериментальным путем пришел примерно к тем же результатам. Ему принадлежит прибор, применяемый и сейчас для демонстрации передачи движения упругими телами и состоящий из ряда подвешенных на нитях упругих шаров, соприкасающихся друг с другом; если сместить первый шар и позволить ему падать, то последний шар поднимется вверх, а остальные останутся неподвижными. Законы соударения тел мы используем и сейчас при решении задач.
Решение задач:
1. Две частицы с массами m и 2m, имеющие импульсы р и р/2, движутся по взаимно перпендикулярным направлениям. После соударения частицы обмениваются импульсами. Определить потерю механической энергии при соударении.
Решение: Так как при соударении тела обмениваются импульсами, закон сохранения импульса автоматически выполняется. Кинетические энергии частиц
Е10 =р2/2m, Е20=р2/16m до соударения;
Е1= р2/8m, Е2= р2/4m после соударения.
По закону сохранения энергии Е10+ Е20 = Е1+ Е2+Q, где Q –потерянная при соударении механическая энергия. Подставляя значения Е, получаем Q =3р2/16 m.
2. Тело массой 20г., движущееся со скоростью 20м/с, налетает на покоящееся тело и после упругого соударения отскакивает от него под углом 90° к первоначальному направлению своего движения со скоростью 10м/с. Определить массу второго тела.
3. Два шара подвешены на параллельных нитях одинаковой длины так, что они соприкасаются. Массы шаров 100г и 200г. Первый шар отклоняют так, что его центр тяжести поднимается на высоту 4,5см, и отпускают. На какую высоту поднимутся шары после соударения, если удар: а)упругий; б)неупругий?
4. Тело массой 50г ударяется неупруго о покоящееся тело массой 200г. Найдите долю потерянной при этом энергии.
5. Два груза массами 10кг и 15кг подвешены на нитях длиной 2м так, что соприкасаются между собой. Меньший груз был отклонен на 60° и отпущен. На какую высоту поднимутся оба груза после удара? Удар грузов считать непругим. Какое количество теплоты при этом выделяется? Занятие 20 О кинетической энергии.
В своей работе « О движении тел после удара» Христиан Гюйгенс выдвигает утверждение, что сумма произведений «каждого тела» на квадрат его скорости до и после удара остается неизменной. С этой теорией сохранения был знаком и Лейбниц, который называет произведение «тела» на квадрат его скорости «живой силой» и противопоставляет его «мертвой силе», или, как мы бы ее назвали теперь, потенциальной энергии. Первое выражение, как известно, осталось в науке до сих пор с изменением, внесенным Густавом Кориолисом, который в качестве меры живой силы предпочел принять половину произведения массы тела на квадрат его скорости.
С тех пор мы и пользуемся формулой, необходимой для расчета кинетической энергии.
1. Импульс тела равен 8кг м/с, а кинетическая энергия 16Дж. Найти массу и скорость тела.
Решение:
Е =mV²/2; р = mV; Е=рV/2; V =2Е/р; V =4м/с; m =р/V; m =2кг.
2. Шарик массой 100г, подвешенный на нити, длиной 40см, описывает в горизонтальной плоскости окружность. Какова кинетическая энергия шарика, если во время движения нить образует с вертикалью постоянный угол 60°?
3. Определить величину кинетической энергии тела массой 1кг, брошенного горизонтально со скоростью 20м/с, в конце четвертой секунды его движения.
4. Найти кинетическую энергию тела массой 3кг, свободно падающего с высоты 5м, на расстоянии 2м от поверхности земли.
5. Начальная скорость пули 600м/с, ее масса 10г. Под каким углом к горизонту она вылетела из дула ружья, если ее кинетическая энергия в высшей точке траектории равна 450Дж.
Занятие 21 О потенциальной энергии.
Лейбниц противопоставляет «живой силе» «мертвую силу», которую мы сейчас называем потенциальной энергией.
Итак, Лейбниц предложил оценивать «силу» (мы бы сказали – энергию) падающего тела высотой, на которую это тело могло бы подняться, если бы его бросили вверх с приобретенной им скоростью; таким образом, во всех случаях имело бы место равенство между живой силой и мертвой силой.
Решение задач:
1. Полтергейст обладает такой мощностью, что может поднимать сковородку массой 500г на высоту 2м за 0,2с. Сможет ли он заставить светиться в номинальном режиме лампочку мощностью 60Вт?
Решение: Р = mgh/t, Р =50Вт
Полтергейст не сможет заставить светиться лампочку мощностью 60Вт.
2. Действуя постоянной силой 200Н, поднимают груз массой 10кг на высоту 10м. Какой потенциальной энергией обладает поднятый груз?
3. На балкон, расположенный на высоте 6м бросили с поверхности земли предмет массой 200г. Во время полета предмет достиг максимальной высоты 8м от поверхности земли. Найти результирующее изменение потенциальной энергии.
4. К концу сжатия пружины детского пружинного пистолета на 3см приложенная к ней сила была равна 20 Н. Найти потенциальную энергию сжатой пружины.
5. Каково значение потенциальной энергии стрелы массой 50г, выпущенной из лука со скоростью 30м/с вертикально вверх, через 2с после начала движения? Занятие 22 Закон сохранения механической энергии.
Закон сохранения энергии позволяет установить количественную связь между различными формами движения материи. В этом состоит особое значение этого закона. Так же как и закон сохранения количества движения, он справедлив не только для механических движений, но и для всех явлений природы. Закон сохранения энергии говорит о том, что движение нельзя уничтожить, так же как нельзя создать движение из ничего. В природе возможны только переходы движений из одной формы в другую.
Решение задач:
1. Высота плотины Саяно-Шушенской ГЭС 237м. Разность высот между поверхностью воды в водохранилище и уровнем, на котором находятся турбины, 212м. Определить, какую скорость имела бы вода при входе на лопатки рабочих колес турбины, если бы она шла по водопадам без трения.
Решение:
Для решения сопоставим энергию для массы воды m до входа в водовод и после выхода из него на рабочее колесо турбины и применим закон сохранения энергии. Условимся потенциальную энергию воды на уровне рабочего колеса турбины считать равной нулю. Тогда до входа в водовод вода будет обладать только потенциальной энергией, равной mgh. При выходе из водовода на рабочее колесо турбины потенциальная энергия будет равна нулю, а кинетическая mV²/2. По закону сохранения энергии должно быть:
m g h = mV²/2 , откуда V = √ 2gh.
2. С какой начальной скоростью надо бросить мяч с высоты 5м, чтобы он подпрыгнул на высоту 12м? Удар упругий. Сопротивлением воздуха пренебречь.
3. Конькобежец, разогнавшись до скорости 27км/ч, въезжает на ледяную гору. На какую высоту от начального уровня въедет конькобежец с разгона, если подъем горы составляет 0,5м на каждые 10м по горизонтали и коэффициент трения коньков о лед 0,02?
4. Тело брошено вертикально вверх со скоростью 49м/с. На какой высоте его кинетическая энергия равна потенциальной?
5. Груз массой 0,5 кг падает с некоторой высоты на плиту массой 1кг, укрепленную на пружине с жесткостью980Н/м. Определите наибольшее сжатие пружины, если в момент удара груз обладал скоростью5м/с. Удар считать неупругим.
Занятие 23 Применение законов физики в ядерной физике.
Первые механики даже и не предполагали, что законы механики будут использоваться в ядерной физике. Закон сохранения импульса и закон сохранения энергии нашли применение и в этом разделе физики.
Решение задач:
1. Атом распадается на две части, массы которых оказались равными М1 и М2. Определить их скорости, если общая кинетическая энергия частей равна Е.
Решение:
Движение частей атома после распада может быть описано уравнениями:
М1V1 = М2V2, М1V12/2 + М2V22/2 = Е,
первое из которых выражает закон сохранения импульса, а второе – закон сохранения энергии ( V1 и V2 – скорости частей атома);
V1 = М2 ( 2Е/(М1М22 + М2М12))1/2, V2 = М1( 2Е/ (М1М22 + М2М12))1/2. 2 . При β-распаде атома радиоактивного изотопа радия 228Ra из него вылетает электрон с энергией 0,05МэВ. При этом изотоп радия превращается в изотоп актиния 22Ас. Какую кинетическую энергию имеет атом актиния?
3. Нейтрон с энергией 10-15 Дж поглощается первоначально неподвижным ядром кадмия. Определить скорость вновь образовавшегося ядра.
4. Нейтрон испытывает упругое соударение с ядром гелия и затем, отразившись, упруго соударяется с другим ядром гелия (при упругих соударениях суммарная кинетическая энергия сохраняется). Ядра гелия до соударения были неподвижны. Считая оба соударения центральными (скорости до и после соударения направлены вдоль линии центров соударяющихся частиц), определить, во сколько раз изменится энергия нейтрона после двух соударений.
5. α – частица, имеющая скорость 1000 м/с, налетает на атом углерода, который двигался до соударения в том же направлении, но со скоростью, вдвое меньшей. С какой скоростью перемещается центр масс системы соударяющихся частиц?
Занятие 24 Работа силы и мощность.
Появлению в физике понятия «работа» предшествовал долгий период накопления человеком знаний о природе, о мире, о законах, которым подчиняются все явления во Вселенной. Жизнь и производственная деятельность людей потребовали от ученых в 19 веке ответа на вопросы: Как получать из тепла механическую работу? Как рассчитывать паровые машины, шахтные насосы? Понятие о работе развивалось вначале в рамках технической науки и инженерного дела. В 1774году русский ученый Сергей Котельников в своем курсе механики использует для оценки действия силы произведение силы на расстояние. Он пишет: «Действие силы равно тягости, умноженной на перейденный ею путь. Действие машины состоит в произведенном количестве движения. А оное количество движения равно тягости, помноженной на путь, ею перейденный. Следовательно, и действие силы равно тягости, помноженной на перейденный ею путь». Само слово «работа» было введено в физику через 30 лет, французским механиком Жаном Понселе. Сейчас мы рассматриваем различные виды работ: работа силы тяжести; работа сил всемирного тяготения; работа силы трения.
Решение задач:
1. Ведро с водой массой 10кг поднимают из колодца глубиной 8м равноускоренно за 3,2 с. Определить величину совершенной при этом работы.
Решение:
F
 |
mg
Работа постоянной силы при подъеме А=Fh, величину силы найдем из уравнения движения F-mg=mα. Ускорение α=2h/t2. Следовательно,
А=m(g+α)h=m(g+2h/t2)h.
А=910Дж.
2. Чему равна работа по подъему цепи, взятой за один конец и лежащей на плоскости, на высоту, равную ее длине? Длина цепи 2м, масса 5кг.
3. Определить работу, которую нужно произвести для того, чтобы сжать пружину на 10см. если для сжатия ее на 1см необходима сила 100н.
4. Пуля ,летящая со скоростью 800м/с, пробивает несколько одинаковых досок, расположенных на некотором расстоянии друг от друга. В какой по счету доске застрянет пуля, если ее скорость после прохождения первой доски уменьшилась на 17%.
Мотор с полезной мощностью 25кВт, установленный на автомобиле. Может сообщить ему при движении по горизонтальному участку дороги скорость 90км/ч. Тот же мотор, установленный на моторной лодке, обеспечивает ей скорость не выше 15км/ч. Определить силу сопротивления движению автомобиля и моторной лодки при заданных скоростях.
Занятия 25 Динамика твердого тела. Момент инерции. Уравнение моментов.
В 1760 году вышла книга Леонардо Эйлера «Теория движения твердых и жестких тел». В этом труде Эйлер развил теорию моментов инерции и исследовал движение свободного твердого тела. Он пошел дальше исследования центрального движения, принятого со времен Ньютона, и рассмотрел в общем виде произвольное вращательное движение и движение под действием произвольных сил, подготовив, таким образом, почву для современной кинематики. В частности, вызывает восхищение в значительной части справедливое и сейчас аналитическое исследование движения волчка, в котором используются понятия момента и осей инерции.
Влияние собственных свойств тела на изменение вращательного движения оказывается значительно более сложным, чем в поступательном движении. Инертность тела по отношению к вращательному движению, ее влияние на угловое ускорение зависит не только от массы тела, но и от того, как она распределена относительно оси вращения. На инертность во вращательном движении влияют форма и геометрические размеры тела, его расположение относительно оси вращения, особенности распределения массы по объему тела. Момент инерции тела определяет инертность тела по отношению к вращательному движению. Инертность тела при вращении растет прямо пропорционально массе и квадрату расстояния от тела до оси вращения: J = mR2. Так находится момент инерции кольца при вращении вокруг выбранной оси. Момент инерции однородного диска такой же массы и такого же радиуса должен быть меньше, чем у кольца, так как значительная масса диска сосредоточена ближе к оси вращения: J =1/2 mR2. Момент силы М=βJ, где β – угловое ускорение. Это уравнение называется уравнением моментов.
Решение задач:
1. Маховое колесо некоторой машины имеет радиус 2м и массу 1т. Маховик вращается, делая 120 оборотов в минуту. По окончанию работы маховик тормозится колодками, которые действуют на обод маховика с силой 100кгс. Определить, через какое время после начала торможения остановится маховик?
Решение:
Для простоты будем считать, что вся масса маховика сосредоточена на ободе и кроме колодок ничто не мешает его движению. Маховик совершает вращательное движение. Сила действия колодок создает момент силы М = FR, тормозящий движения этого маховика. Вращательное движения маховика будет замедляться. Нужно применить уравнение моментов, принимая направление вращения маховика положительным.
- FR = Jβ,
Так как по условию задачи, вся масса маховика сосредоточена на ободе, то его момент инерции равен: J = mR2.
Тогда: β = - F/mR.
По условию ускорение постоянно, тогда находим угловую скорость
ω = ω0 + βt, β меньше 0.
По условию задачи ω = 0, тогда
β = -- F/mR.
Отсюда
t = ω0mR/F, t=25с.
2. Определить момент инерции диска радиусом 20см и массой 1кг относительно оси, перпендикулярной плоскости и проходящей через: а) центр диска; б) середину одного из радиусов диска
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 |
