Олимпиада по высшей математике на физическом факультете КемГУ
2009/2010 уч. год
Задания для 2 курса
1. Найти уравнение движения точки, если ускорение в зависимости от времени выражается формулой 
и, если при 
расстояние 
, а при 
расстояние 
. (3 балла)
Ответ: 
Решение: 
; 
; 
; 
; 
; 
; подставляем условия: 
; 
; откуда: 
; 
. Откуда и следует ответ.
2. Какой наименьший угол могут образовывать векторы
(1-5x; 1; 3) и (-1; 1+4x; 3-3x)? (2 балла)
Решение: Согласно формуле скалярного произведения векторов косинус угла φ между двумя векторами равен их скалярному произведению, деленному на произведение длин. В данном случае
.
Угол φ будет наименьшим, когда его косинус наибольший. В свою очередь, 
будет наибольшим, когда знаменатель 
принимает наименьшее значение. Это значение достигается при 
и равно 10.
Ответ: 
.
3. Доказать справедливость соотношения
,
где 
.
Вычислить с помощью найденного соотношения
. (5 баллов)
Указание: Преобразовать интеграл 
подстановкой 
к виду 
. Учитывая, что 
, привести последний интеграл к сумме трех интегралов.
4. Доказать неравенство
для натурального 
. (4 балла)
Указание: Перемножить очевидные неравенства:
5. Найти векторные линии для случая векторного поля 
. (2 балла)
Решение: Уравнение векторных линий
.
1) 
; 
; 
2) 
; 
3) 
; 
Векторными линиями являются прямые, проходящие через начало координат.
6. Найти наибольшее значение определителя третьего порядка, составленного из чисел 0 ибалла)
Ответ и указание: 2; показать, что все три члена определителя, входящие в развернутое выражение со знаком плюс, не могут равняться 1, и рассмотреть определитель с нулем на главной диагонали и остальными единицами.
