Задачи для собеседования №1 в 9 математический класс 179 школы
22 марта 2013 года.
1. Найдите наименьшее пятизначное натуральное число, делящееся на 3, 4 и 5, все цифры которого различны.
2. Между различными параллельными прямыми КA и МВ взята точка С. Оказалось, что точки К и М лежат по одну сторону от прямой АВ, а точка С по другую сторону от прямой АВ. Чему равна сумма углов КАС, АСВ и СВМ?
3. Является ли сумма 
целым числом?
4. Найдите все решения в натуральных числах уравнения 
.
5. Высоты треугольника равны 12, 15 и 20. Найдите стороны треугольника.
6. Почтальон Печкин вышел из Простоквашино в Творогово. В тот же момент из Простоквашино в Творогово выехал на велосипеде Дядя Федор, а навстречу им из Творогово вышел кот Матроскин. Проехав 3/4 расстояния до Творогово, Дядя Федор встретил Матроскина, повернул назад в Простоквашино и встретил Печкина, когда тому оставалось ровно полпути до Творогово. Какую часть пути до Творогово оставалось пройти Печкину, когда он встретил Матроскина? Скорости всех персонажей задачи постоянны.
7. Дана конечная последовательность, в которой менее 179 чисел: 179, -179, 179,.-179,….179 (первое и последнее числа это 179, знаки чисел в последовательности чередуются, имеется хотя бы одно отрицательное число). Разрешается заменить любые два числа последовательности двумя равными числами, являющимися их средним арифметическим. Может ли в результате получиться последовательность, все числа в которой равны?
8. В стране 25 городов. Некоторые города связаны двусторонними беспосадочными авиарейсами так, что из любого города можно (возможно, с пересадками) добраться самолетами до любого другого и, притом, единственным образом (если, конечно, не пользоваться никаким рейсом дважды). Назовем расстоянием между городами число рейсов, которыми надо воспользоваться, чтобы добраться от одного до другого. Может ли сумма всех расстояний между городами страны равняться 1225?
Задачи для собеседования №2 в 9 математический класс 179 школы
29 марта 2013 года.
1. Петя с папой пошли в тир. Уговор был такой: Петя делает 5 выстрелов и за каждое попадание получает право еще на 2 выстрела. Всего Петя сделал 25 выстрелов. Сколько раз он попал? Ответ обоснуйте.
2. Известно, что a > b. Можно ли утверждать, что 9b < 10a? Ответ обоснуйте.
3. Даны пятьдесят различных натуральных чисел, двадцать пять их них не больше 50, а остальные больше 50, но не больше 100. При этом никакие два числа не отличаются ровно на 50. Найдите сумму этих чисел. Ответ обоснуйте.
4. Диагональ четырехугольника делит его на на два равнобедренных прямоугольных треугольника. Найдите все возможные значения углов этого четырехугольника.
5. Известно, что х2 + у2 = 19, ху = 3. Какие значения может принимать х + у? Найдите все значения и ответ обоснуйте.
6. На шахматной доске 100 х 100 расставлены 100 не бьющих друг друга ферзей. Докажите, что в каждом из четырех угловых квадратов 50 х 50 находится хотя бы один ферзь.
7. У царя Иона было три сына. Из его потомков 2013 имели по два сына, остальные были бездетными. Сколько потомков было у царя Иона? Ответ обоснуйте.
Задачи для собеседования №3 в 9 математический класс 179 школы
05 апреля 2013 года.
1. Решите систему 
2. Какое наибольшее количество различных натуральных чисел можно выбрать так, чтобы сумма любых трёх из них была простым числом?
3. Дано натуральное число 999…9, десятичная запись которого содержит 2013 девяток. Найдите сумму цифр квадрата этого числа.
4. Точки K и М лежат снаружи параллелограмма ABCD так, что треугольники BCK и DCM являются равносторонними и лежат снаружи параллелограмма. Докажите, что треугольник АКМ тоже равносторонний.
5. Подряд выписаны цифры чисел 22013 и 52013. Сколько всего цифр выписано?
6. Можно ли так расставить фишки на клетках доски 8 х 8 (в каждой клетке – не более одной фишки), чтобы на любых двух вертикалях фишек было поровну, а на любых двух горизонталях – не поровну?
8. На столе лежат 12 спичек. Двое по очереди берут себе по 1 или 2 спички. Взявший последнюю спичку получает 3 премиальные спички. Выигрывает тот, у кого в итоге окажется больше спичек. Кто выиграет при правильной игре: тот, кто делает первый ход, или его партнер?
Задачи для собеседования №4 в 9 математический класс 179 школы
12 апреля 2013 года.
1. На доске написаны 6 цифр. Всегда ли можно расположить их в таком порядке, чтобы сумма первых трёх цифр отличалась от суммы последних трёх цифр меньше, чем на 10?
2. Докажите, что среди учеников класса найдутся двое, имеющих одинаковое число друзей в этом классе.
3. На острове 2/3 всех мужчин женаты и 3/5 всех женщин замужем. Какая доля населения острова состоит в браке?
4. Числитель дроби является четвертой степенью целого числа, а ее знаменатель – пятой степенью целого числа. Может ли в результате сокращения такой дроби получиться 3?
5. Двое игроков по очереди ставят крестики и нолики в клетки квадратной таблицы размером 9×9. После того как таблица полностью заполнена, каждый получает очко за каждую строку и столбец, где его знаков больше. Сможет ли начинающий выиграть?
6. В треугольнике внутреннюю точку соединили с вершинами. а) Докажите, что сумма длин этих отрезков больше половины периметра треугольника. в) Докажите, что сумма длин этих отрезков меньше периметра треугольника.
7. В каждую вершину правильного семиугольника поставлена черная или белая фишка. Докажите, что найдутся три фишки одного цвета, стоящие в вершинах равнобедренного треугольника.
Задачи для собеседования №5 в 9 математический класс 179 школы
19 апреля 2013 года.
1. Покажите, какое число больше: 2179 или 5729 .
2. Некоторые стороны выпуклого многоугольника красные, остальные — синие. Сумма длин красных сторон меньше суммы длин синих сторон, и нет ни одной пары соседних синих сторон. Докажите, что в этот многоугольник нельзя вписать окружность.
3. Пусть P(n) означает произведение цифр числа n. Найдите все натуральные решения уравнения
P(n) + n = 2013.
4. Какое наибольшее количество прямоугольников размером 1 × 5 можно вырезать из квадрата размером 9 × 9?
5. В клетках таблицы 4 × 4 записаны числа так, что сумма соседей у каждого числа равна 1 (соседними считаются клетки, имеющие общую сторону). Найдите сумму всех чисел таблицы.
6. Возрастающая последовательность 1, 3, 4, 9, 10, 12,… состоит из натуральных чисел, которые являются либо степенями числа 3, либо суммами различных степеней числа 3. Найдите 100-й член этой последовательности.
7. Центры граней куба делят диагонали граней куба на отрезки. Можно ли пройти по отрезкам этих диагоналей так, чтобы побывать в каждой вершине куба и каждом центре грани куба ровно один раз?
Задачи для собеседования №6 в 9 математический класс 179 школы
26 апреля 2013 года.
1. Три брата: Саша, Паша и Сережа – отправились из школы домой. Саша вышел первым, а Паша последним. По дороге домой Саша обгонял других, либо его обгоняли ровно 8 раз, Паша обгонял других, либо его обгоняли ровно 6 раз. Известно, что Саша пришел домой позже, чем Сережа. В каком порядке братья пришли домой?
2. На плоскости даны окружность и произвольная точка. Отмечены середины всех хорд данной окружности, для которых содержащие их прямые пересекаются в данной точке. Какую фигуру при этом образуют отмеченные точки?
3. За круглым столом сидят 2013 представителя четырех племен: люди, гномы, эльфы и гоблины. Известно, что люди никогда не сидят рядом с гоблинами, а эльфы рядом с гномами. Докажите, что какие-то два представителя одного и того же племени сидят рядом.
4. В ряд написано несколько единиц и двоек (встречаются оба числа). Если между двумя числами ряда стоит 6 или 9 чисел, то они равны. Какое наибольшее число единиц и двоек можно так написать ?
5. У двух пил одинаковой длины зубья имеют форму равностороннего треугольника. Зубья распределены по всей длине пил, а основания соседних зубьев вплотную прилегают друг к другу. У одной пилы 25 одинаковых зубьев, а у другой пилы 30 одинаковых зубьев. У каждой пилы посчитали длину всех боковых ребер ее зубьев (в сантиметрах). Сравните полученные величины.
6. Медиана, биссектриса и высота треугольника пересекаются в точке О, отличной от вершины треугольника. Отрезок медианы от вершины до точки О равен отрезку биссектрисы от вершины до точки О. Докажите, что треугольник равносторонний.
7. Имеется два литровых сосуда. В одном 200 грамм воды, в другом – 300 грамм трехпроцентного раствора поваренной соли. Разрешается переливать любую часть жидкости из одного сосуда в другой. Можно ли за несколько таких переливаний получить двухпроцентный раствор в том сосуде, в котором вначале была вода?
Замечание.
Для решения задачи 2 нужно знать следующие два свойства окружности.
1) Перпендикуляр, опущенный из центра окружности на хорду, не являющуюся диаметром, делит эту хорду пополам.
2) Точка C, отличная от точек A и B, лежит на окружности с диаметром AB тогда и только тогда, когда угол АСВ прямой.
