Физико-математическая олимпиада I тур (физика)

ГОУ ВПО «Удмуртский государственный университет»

Физико-математическая олимпиада

I тур (физика)

2008 г.

1.  Два шара, имеющие одинаковые диаметры, связаны нитью и опускаются медленно и вертикально один над другим с постоянной скоростью в однородной жидкости. Определите силу натяжения нити, если массы шаров равны m1 = 2 кг, m2 = 1,6 кг, а сила сопротивления пропорциональна скорости падения. (5 баллов)

2.  На краю стола высоты h лежит маленький шарик массы m1. В него попадает пуля массы m2, движущая горизонтально со скоростью V, направленной в центр шарика. Пуля застревает в шарике. На каком расстоянии от стола по горизонтали шарик упадёт на землю? (5 баллов)

3.  В ведре находится смесь воды со льдом массой m = 10 кг. Ведро внесли в комнату и сразу же начали измерять температуру смеси. Получившаяся зависимость температуры смеси от времени изображена на рисунке. Удельная теплоёмкость воды св = 4,2 кДж/(кг·К), удельная теплота плавления льда λ = 340 кДж/кг. Определите массу льда в ведре, когда оно было внесено в комнату. Теплоёмкостью ведра пренебречь. Считать, что количество теплоты, ежесекундно подводимое к ведру, постоянно. (5 баллов)

4.  Плоский замкнутый металлический контур площадью S0 = 10 см2 деформируется в однородном магнитном поле, индукция которого В = 10-2 Тл. Площадь контура за время τ = 2 с равномерно уменьшается (плоскость контура при этом остаётся перпендикулярной магнитному полю) до Sк = 2 см2. Определите силу тока, протекающего по контуру в течение времени τ, если сопротивление контура R = 1 Ом. (5 баллов)

5.  На рисунке изображены точечный источник света S, его изображение S1, полученное с помощью собирающей линзы, и ближайший к источнику фокус линзы F. Расстояния SF = l и SS1 = L заданы. Определите положение линзы и её фокусное расстояние. (5 баллов)

6.  Два одинаковых положительных точечных заряда находятся на расстоянии 2а друг от друга. Найти на прямой, перпендикулярной линии, соединяющей заряды и проходящей через середину этой линии, точку, в которой напряжённость поля максимальна. (15 баллов)

7.  С какой минимальной скоростью надо отправить тело с поверхности Земли, чтобы оно достигло Луны? Радиус Земли равен r3. Расстояние между Землёй и Луной равно l, отношение их масс равно n. Движением Луны вокруг Земли и влиянием Солнца пренебречь. Ответ выразить через данные задачи и ускорение свободного падения g. (20 баллов).

ГОУ ВПО «Удмуртский государственный университет»

Физико-математическая олимпиада

II тур (математика)

2008 г.

Поток I

1.  Решить неравенство .

2.  Решить уравнение .

3.  При каких значениях график функции лежит не ниже графика функции ?

4.  Найти все корни уравнения , удовлетворяющие условию .

5.  Два судна движутся прямолинейно и равномерно в один и тот же порт. В начальный момент времени положения судов и порта образуют равносторонний треугольник. После того, как второе судно прошло 80 км, указанный треугольник становится прямоугольным. В момент прибытия первого судна в порт второму остается пройти 120 км. Найдите отношение скорости первого судна к скорости второго и расстояние между судами в начальный момент времени.

6.  При каком значении график функции симметричен относительно точки ? Найти координату .

7.  Найти радиус сферы, описанной около правильной треугольной пирамиды со стороной основания и углом между боковыми ребрами пирамиды.

8.  Определить для каких значений параметра все решения неравенства являются одновременно решениями неравенства .

Поток II

1.  Решить неравенство .

2.  Вычислить .

3.  Решить уравнение .

4.  Решить уравнение .

5.  В окружность радиуса вписан тупоугольный треугольник со сторонами ; . Найти площадь треугольника .

6.  Банк выдал кредит трем лицам: , и . получил кредит в размере 40% от общей суммы под 30% годовых; получил 40% от оставшейся суммы под 15% годовых; получил оставшуюся часть. Через год, когда кредиты были погашены, оказалось, что банк получил прибыль в размере 21%. Под какой процент был выделен кредит ?

7.  Построить график функции .

8.  Найти все значения параметра , при каждом из которых уравнение имеется хотя бы одно решение на интервале .

ГОУ ВПО «Удмуртский государственный университет»

Физико-математическая олимпиада

I тур (физика)

2009 г.

1.  Ракета стартует и движется вертикально вверх с ускорением а=2g. Через время t0 полёта двигатель отключается. Через какое время с момента старта ракета упадёт на землю?

(5 баллов)

2.  Пуля массой m, летящая с горизонтальной скоростью v попадает в баллистический маятник массой M и застревает в нём. Определите высоту h, на которую поднимется маятник, откачнувшись после удара и долю кинетической энергии пули, перешедшую в тепло.

(5 баллов)

3.  Тело массой m=0,1 кг вращается в вертикальной плоскости на нити длиной l=1 м. Ось вращения расположена над полом на высоте H=2 м. При прохождении нижнего положения нить обрывается и тело падает на пол на расстоянии L=4 м (по горизонтали) от точки обрыва. Определите силу натяжения нити в момент её обрыва. Силой сопротивления среды пренебречь.

(5 баллов)

4.  Определите количество теплоты сообщённое газу, если в процессе изохорного нагревания кислорода объёмом V=20 л его давление изменилось на Dp=100 кПа.

(5 баллов)

5.  Ионы двух изотопов с массами m1 и m2 (m2>m1), ускоренные разностью потенциалов U, влетают в однородное магнитное поле с индукцией B перпендикулярно линиям индукции. Принимая заряд каждого иона равным элементарному электрическому заряду, определите, на сколько будут отличаться радиусы траекторий ионов изотопов в магнитном поле.

(5 баллов)

6.  Найти сопротивление бесконечной цепочки

(10 баллов)

7.  В поле, созданном заряженной сферой радиусом 10 см движется электрон по радиусу между точками, находящимися на расстояниях 12 и 15 см от центра сферы. При этом скорость электрона изменяется от 2*105 м/с до 2*106 м/с. Найти поверхностную плотность заряда сферы.

(20 баллов)

Справка:

Молярная масса кислорода m=32*10-3 кг/моль

Масса электрона me=9,1*10-31кг

Электрическая постоянная e0=8,85*10-12 Ф/м

Заряд электрона, протона |q|=1,6*10-19 Кл

ГОУ ВПО «Удмуртский государственный университет»

Физико-математическая олимпиада

II тур (математика)

2009 г.

Поток I

Решить неравенство

2.  Решить уравнение

Имеется дробь (отношение двух целых чисел), знаменатель которой на 1 меньше квадрата числителя. Если числитель и знаменатель дроби одновременно увеличить на 2, то дробь будет больше , а если из числителя и знаменателя одновременно вычесть 3, то дробь станет меньше и неотрицательной. Найдите эту дробь. В треугольнике ABC , AB=BC. На стороне AB как на диаметре построена окружность, пересекающая сторону AC в точке D. Найдите расстояние от вершины C до центра этой окружности, если CD=1. Решите неравенство Решите уравнение . При каких значениях параметра a прямая имеет две общие точки с окружностью, радиус которой равен , а центр находится в точке (-5;3)? Решить систему

Поток II

1.  Решить неравенство .

2.  Решить уравнение .

3.  Решить неравенство .

4.  Найти наибольший корень уравнения .

5.  Производительность труда возросла на 25%, поэтому работа была выполнена на 24 дня быстрее. Если после этого производительность труда увеличится еще на 20%, то еще на сколько дней быстрее будет выполнена работа?

6.  Найти объем треугольной пирамиды, в основании которой лежит треугольник со сторонами 5, 5, 6, а боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом .

7.  В треугольнике , , . , , - высоты треугольника. Найти углы треугольника .

8.  Сколько корней имеет уравнение ?