Заочная математическая школа им. А. Лиепы ЛУ
Задачи 2 тура 51 математической олимпиады Латвии
Оцениваются все задачи, каждая в 0¸10 баллов
1. Написать хоть одно трехзначное число, которое с каждым из чисел 654, 253 и 673 совпадает в одном разряде, а отличается в двух других разрядах.
2. Не отрывая карандаш от бумаги, нарисовать линию, состоящую из пяти прямых отрезков и содержащую все 13 точек, выделенных на рис. 1. Ни по одному звену нельзя проводить карандашом больше одного раза.
3. Три разных натуральных числа таковы, что первое отличается от второго настолько же, насколько второе - от третьего. Эти числа выписаны в строчку (сначала первое, потом второе, потом третье) без промежутков, получая семизначное натуральное число n. Какое наибольшее возможное значение числа n?
4. На тарелке лежат несколько конфет. Каждая из них либо сладкая, либо кислая, либо горьковатая. Кроме того, каждая из конфет или красная, или зеленая, или желтая. Может ли случиться, что одновременно сладких конфет больше чем красных, красных - больше чем кислых, кислых - больше чем зеленых, зеленых - больше чем горьковатых, горьковатых - больше чем желтых?
5. В ряду лежат 1000 яблок. У каждых двух соседних яблок массы различаются ровно на 1 грамм. Докажите, что яблоки можно разделить на две кучи равной массы по 500 яблок в каждой. (Рассекать яблоки на куски нельзя.)
Заочная математическая школа им. А. Лиепы ЛУ
Задачи 2 тура 51 математической олимпиады Латвии
Оцениваются все задачи, каждая в 0¸10 баллов
1. Длина стороны квадрата 10 м. Можно ли его разделить на две части, периметры которых есть а) 30 м и 60 м, б) 50 м и 100 м?
2. Какое наибольшее количество квадратов натуральных чисел можно написать, чтобы все написанные цифры были разные и среди них не было бы нуля?
(Примечание: квадратом числа называется результат умножения его на себя.)
3. Замшелый Старичок подарил Майе сундук с 49 рубинами, 49 изумрудами и 1 алмазом. Массы драгоценных камней есть 1г, 2г, ..., 99г (неизвестно, сколько весит каждый камень). Известно, что общая масса рубинов на 2450г превосходит массу изумрудов. Сколько весит алмаз?
4. Квадрат состоит из 12´12 клеток; длина стороны клетки есть 1. В квадрат закрашено по одному прямоугольнику размеров 1´5, 1´4, 2´2, 1´3, 1´2, 1´1 (стороны прямоугольников проходят по границам клеток). Возможно ли, что в каждом столбце и в каждой строке хоть одна клетка закрашена? А возможно ли это, если размеры квадрата есть 13´13?
5. Снегурочка выписала в ряд в каком-то порядке все натуральные числа от 1 до 7, каждое число ровно один раз. То же самое сделал каждый из семи гномиков. Каждый гномик нашел, какие числа он написал на тех же местах (на первом, на втором, ...), что и Снегурочка. У всех гномиков количества таких чисел оказались разные. Может ли случится, что никто из гномиков не написал числа в точно таком же порядке, как Снегурочка?
Заочная математическая школа им. А. Лиепы ЛУ
Задачи 2 тура 51 математической олимпиады Латвии
Оцениваются все задачи, каждая в 0¸10 баллов
1. В двух последовательных годах по 365 дней. В первом из них больше суббот чем сред. Которых дней недели больше всего во втором году?
2. В плоскости нарисованы три угла, общая часть которых - многоугольник.
а) доказать, что этот многоугольник может иметь 3; 4; 5; 6; 7; 8 сторон, если величины упомянутых углов могут и превышать 180°,
б) сколько сторон может быть у этого многоугольника, если все данные углы меньше 180°?
3. Какое наименшее количество натуральных чисел можно написать на листе бумаги, чтобы выполнилось следующее: каждое натуральное число, которое не меньше 800 и не больше 2400, отличается от какого-то из написанных чисел не больше чем на 25% от своего значения?
4. В ряду выписаны цифры от 1 до 9 (см. рис.2):
Рис. 2.
Какое наибольшее количество точек с запятой можно поставить между рядом стоящими цифрами так, чтобы они разделили последовательность цифр на записи таких натуральных чисел, у каждых двух из которых наибольший общий делитель есть 1? (Например, 123;45678;9 не годится, так как 123 и 9 делятся на 3.)
5. В начале на столе в одной куче лежат 2001 конфет. Одним ходом из куч, лежащих на столе, можно выбрать одну кучку, состоящую из не меньше чем 3 конфет, съесть одну из конфет этой кучи и остальные разделить на две кучи (может быть, разные). Можно ли такими ходами достичь ситуации, в которой на столе находятся только кучи, состоящие ровно из 3 конфет?
Заочная математическая школа им. А. Лиепы ЛУ
Задачи 2 тура 51 математической олимпиады Латвии
Оцениваются все задачи, каждая в 0¸10 баллов
1. Дано, что x+y=z+t и x+z=y+t. Доказать, что xy+zt=xz+yt.
2. На окружности отмечено 5 точек. Какое наибольшее количество хорд с обоими концами в этих точках можно провести, чтобы не образовалось ни одного четырехугольника со всеми вершинами в отмеченных точках?
3. Напишите хоть одно десятизначное число, у которого все цифры разные и которое имеет свойство: при вычеркивании любых n цифр (n - любое натуральное число, не превосходящее 6) оставшиеся цифры (в том же порядке) образуют составное число. Обоснуйте свое решение.
4. Четыре горизонтальных и четыре вертикальных прямых рассекают квадрат на 25 прямоугольников. Ровно 4 (не больше и не меньше) из этих прямоугольников - квадраты. Докажите, что из этих квадратов можно выбрать два равных.
5. Андрис и Янис играют в игру. Они поочередно делают по одному ходу. Первым ходит Андрис. Андрис каждым своим ходом пишет одну из цифр девятизначного числа (сначала первую, потом вторую, третью, ...), используя только цифры 1 и 2. Янис своим ходом после хода Андриса либо ничего не делает, либо меняет местами две из уже написанных цифр. Может ли Янис добится того, чтобы полученное в конце девятизначное число было симметричным (т. е., это число одинакого читается "с начала" и "с конца")?
