Введение (стр. 4 )

Тогда данная дробь примет вид:

Подставляя правую часть последнего равенства в данный интеграл, получим:

Пример 25. Найти интеграл

Решение. Степень многочлена числителя равна двум, а знаменателя – четырем. Разложим подынтегральную функцию на простейшие дроби:

Приводя к общему знаменателю и приравнивая числители, получим:

Для нахождения неопределенных коэффициентов воспользуемся методом частных значений аргумента придавая ему четыре различных значения (так как требуется найти четыре коэффициента):

при получим

при

при

при

Решим систему уравнений:

Получили

Подынтегральная функция примет вид:

Проинтегрируем правую часть полученного равенства, используя свойства и таблицу неопределенных интегралов:

Пример 26. Найти интеграл

Решение. Разложим знаменатель правильной дроби на множители:

.

В последнем множителе дискриминант

Разложим подынтегральную функцию на простейшие дроби:

Приведем к общему знаменателю обе части равенства и приравняем многочлены числителей:

При

Решим систему уравнений:

Получили

Тогда подынтегральная функция примет вид:

Проинтегрируем правую часть последнего равенства:

Найдем отдельно последний интеграл. Выделим полный квадрат: Введем новую переменную

Используя равенство (1.4), получим:

Тогда Возвращаясь к данному интегралу, окончательно получим:

Задания для самостоятельного решения

Найти интегралы:

1. 2. 3. 4. 5.

6. 7. 8. 9.

10. 11. 12.

13. 14. 15.

16. 17. 18.

Ответы. 1. 2. 3.

4. 5. 6.

7. 8. 9.

10. 11.

12. 13.

14.

15.

16.

17.

18.

1.6. Интегрирование некоторых иррациональных функций

Рассмотрим некоторые типы интегралов, содержащих иррациональные функции.

Интегралы типа называются неопределенными интегралами от квадратичных иррациональностей. Первые два интеграла находятся следующим образом: под радикалом выделяется полный квадрат, затем основание полного квадрата обозначается новой переменной. После необходимых преобразований, выполненных над подынтегральным выражением, получаем табличные интегралы. Интегралы третьего вида подстановкой приводятся к виду первых двух интегралов.

Пример 27. Найти интеграл

Решение. Выделим полный квадрат в подкоренном выражении: Введем новую переменную тогда

Данный интеграл примет вид:

Пример 28. Найти интеграл

Решение. Преобразуем подкоренное выражение, выделяя полный квадрат:

Воспользуемся подстановкой тогда

Подставим полученные выражения в данный интеграл и преобразуем его:

Найдем отдельно каждый интеграл. Для нахождения первого интеграла воспользуемся методом замены переменной:

Рассмотрим второй интеграл

Возвращаясь к данному интегралу и исходной переменной интегрирования получаем:

Пример 29. Найти интеграл

Решение. Преобразуем квадратный трехчлен Введем новую переменную тогда

Рассмотрим каждый интеграл отдельно.

Исходный интеграл будет равен

Возвращаясь к данной переменной интегрирования окончательно получим:

Пример 30. Найти интеграл

Решение. Воспользуемся подстановкой тогда Получим интеграл:

Воспользуемся еще раз подстановкой: тогда Подставляя полученные выражения в последний интеграл, получим:

Вернемся к данному интегралу и исходной переменной интегрирования

Если подынтегральная функция содержит иррациональности разных показателей корней, тогда подстановка где наименьшее общее кратное показателей корней, сводит интеграл к интегралу от рациональной функции.

Пример 31. Найти интеграл

Решение. Воспользуемся методом подстановки, обозначив так как наименьшее общее кратное показателей корней два и четыре, тогда

Подставляя в данный интеграл, получим:

Получили подынтегральную функцию, которая является неправильной рациональной дробью. Выделим целую часть, а для этого разделим многочлен числителя на многочлен знаменателя:

Таким образом

Подставим в последний интеграл полученную функцию и проинтегрируем:

Возвращаясь к данному интегралу и переменной интегрирования получим:

Задания для самостоятельного решения

Найти интегралы:

1. 2. 3. 4.

5. 6. 7.

8. 9. 10.

11. 12. 13.

14.

Ответы. 1.

2. 3.

4. 5.

6. 7.

8. 9.

10.

11. 12.

13.

14.

1.7. Интегрирование тригонометрических функций

Рассмотрим некоторые случаи нахождения интеграла от тригонометрических функций. Функцию с переменными и над которыми выполняются рациональные действия (сложение, вычитание, умножение и деление) принято обозначать где знак рациональной функции.