Введение (стр. 9 )

Найдем абциссу точки пересечения графиков и

Используя формулу (2.17), получим:

Следовательно, площадь данной фигуры равна:

.

Задания для самостоятельного решения

Вычислить площадь фигуры, ограниченной следующими линиями:

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

Ответы. 1. 2. 18. 3. 4. 5. 8.

6. 7. 8. 9. 10.

2). Вычисление длины дуги.

Если плоская кривая отнесена к прямоугольной системе координат и задана уравнением то

(2.19)

где, абциссы начала и конца дуги

Если кривая задана уравнением то

(2.20)

где ординаты начала и конца дуги

Если кривая задана параметрическими уравнениями то длина дуги выражается формулой

(2.21)

где значения параметра, соответствующие концам дуги

Пример 58. Вычислить длину дуги полукубической параболы между точками и

Решение. Разрешаем данное уравнение относительно и

находим

Знаки в выражении указывают, что кривая симметрична относительно оси точки и имеющие отрицательные ординаты, лежат на той ветви кривой, которая расположена ниже оси

Подставляя в формулу (2.19), получим

Пример 59. Вычислить длину дуги одной арки циклоиды

Решение. Дифференцируем по параметрические уравнения циклоиды

тогда

Подставляя полученные результаты в формулу (2.21), получаем

Пример 60. Вычислить длину дуги полукубической параболы между точками и

Решение. Разрешаем данное уравнение относительно и находим

Согласно формуле (2.20) получим

Задания для самостоятельного решения

Вычислить длины дуг кривых:

1. между точками пересечения с осью

2. 3. от

до 4. от до

Ответы. 1. 2. 3. 4. .

3). Вычисление объема тела вращения плоской фигуры.

Если тело образуется при вращении вокруг оси криволинейной трапеции, то любое его плоское сечение, перпендикулярное к оси будет круг, радиус которого равен соответствующей ординате кривой Объем тела вращения определяется формулой

(2.22)

Если тело образуется при вращении криволинейной трапеции, прилежащей к оси то объем тела вращения определяется формулой

(2.23)

Пример 61. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями (одной волной), вокруг оси

Решение. Построим плоскую фигуру, вращение которой вокруг оси образует нужное тело:

Искомое тело состоит из двух тел одинаковых объемов, тогда Найдем

Тогда искомый обьем

Пример 62. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями вокруг оси

Решение. Построим данную плоскую фигуру. Графиком функции или является парабола, симметричная оси ветви направлены вверх, вершина лежит в начале координат. Графиком функции или является прямая

Найдем абциссы точек и

Объем полученного тела вращения можно найти как разность объемов тела, образованных вращением вокруг оси трапеций и

Объем образованный вращением трапеции найдем по формуле (2.22):

Объем образованного вращением криволинейной трапеции также найдем по формуле (2.22):

Тогда искомый обьем

Пример 63. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной эллипсом вокруг оси

Решение. Большая полуось эллипса малая полуось

Построим эллипс. Так как то при вращении его вокруг малой оси получается сжатый эллипсоид вращения.

Вычислим обьем этого тела по формуле (2.23):

Ординаты точек и являются пределами интегрирования и соответственно. Для эллипса точки и имеют координаты и то есть и поэтому Из уравнения эллипса выразим

Получим искомый обьем:

Задания для самостоятельного решения

Найти объемы тел, образованных вращением фигур, ограниченных заданными линиями, вокруг указанных осей координат:

1. (одной волной), вокруг оси

2. вокруг оси3. вокруг оси 4. вокруг оси

5. вокруг оси 6. осью

прямой вокруг оси

Ответы. 1. 2. 3. 4. 5. 6.

2.5. Несобственные интегралы

Интегралы с бесконечными пределами интегрирования или от разрывных функций называются собственными.

Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования (несобственные интегралы I рода) от непрерывной функции определяются посредством предельного перехода:

(2.24)

(2.25)

(2.26)

где произвольное число.

Несобственные интегралы от функций с бесконечными разрывами (несобственные интегралы II рода) также определяются посредством предельного перехода:

Если функция имеет бесконечный разрыв в точке принадлежащей отрезку и непрерывна во всех других точках этого отрезка, то

(2.27)

где и изменяются независимо друг от друга.

Несобственные интегралы называются сходящимися, если существуют и конечные определяющие их пределы. Если же указанные пределы не существуют, то данные несобственные интегралы называются расходящимися.

Если непрерывная функция на промежутке и инетеграл сходится, то он выражает площадь бесконечно длинной криволинейной трапеции

В случае, когда несобственный интеграл второго рода (разрыв в точке ) можно истолковать геометрически как площадь бесконечно высокой криволинейной трапеции

Пример 64. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость

Решение. Пользуясь равенством (2.24), получим

Следовательно, данный несобственный интеграл сходится.

Пример 65. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость

Решение. Используя определение (2.25), получим:

Рассмотрим интеграл Для его нахождения воспользуемся формулой интегрирования по частям

Пусть тогда

Вернемся к данному интегралу:

Следовательно, данный несобственный интеграл расходится.

Пример 66. Найти несосбтвенный интеграл

Решение. Пользуясь определнием (2.26), получим

Значит данный несобственный интеграл сходится.

Пример 67. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.

Решение. Здесь при подынтегральная функция имеет бесконечный разрыв. Согласно определению (2.27)

то есть несобственный интеграл расходится.

Пример 68. Найти несосбтвенный интеграл

Решение. Подынтегральная функция имеет бесконечный разрыв в точке лежащей внутри отрезка интегрирования Поэтому, согласно формуле (2.27),

Следовательно, данный несобственный интеграл сходится.

Задания для самостоятельного решения

Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость

1. 2. 3. 4.

5. 6. 7.

Ответы. 1. 2. 3. 4. Расходится. 5. Расходится.

6. Расходится. 7.

Контрольная работа на тему

«Определенный интеграл и его приложения»

Вариант 1.

1. Вычислить интеграл

2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

3. Найти объем тела, полученного вращением плоской фигуры, ограниченной линиями вокруг оси

4. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость

Вариант 2.

1. Найти интеграл

2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

3. Найти объем тела, полученного вращением плоской фигуры, ограниченной линиями вокруг оси

4. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость

Вариант 3.

1. Найти интеграл

2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

3. Найти объем тела, полученного вращением плоской фигуры, ограниченной линиями вокруг оси

4. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость

Вариант 4.

1. . Найти интеграл

2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

3. Найти объем тела, полученного вращением плоской фигуры, ограниченной линиями вокруг оси

4. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость

Вариант 5.

1. Найти интеграл

2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

3. Найти объем тела, полученного вращением плоской фигуры, ограниченной линиями вокруг оси

4. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость

Вариант 6.

1. Найти интеграл

2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

3. Найти объем тела, полученного вращением плоской фигуры, ограниченной линиями вокруг оси

4. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость

Вариант 7.

1. Найти интеграл

2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

3. Найти объем тела, полученного вращением плоской фигуры, ограниченной линиями вокруг оси

4. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость

Вариант 8.

1.Найти интеграл

2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

3. Найти объем тела, полученного вращением плоской фигуры, ограниченной линиями вокруг оси

4. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость

Вариант 9.

1.Найти интеграл

2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

3. Найти объем тела, полученного вращением плоской фигуры, ограниченной линиями вокруг оси

4. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость

Вариант 10.

1.Найти интеграл

2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

3. Найти объем тела, полученного вращением плоской фигуры, ограниченной линиями вокруг оси

4. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость