Введение (стр. 8 )

Данная функция является четной относительно поэтому подстановкой воспользоваться не можем.

Функция нечетная относительно , поэтому используем подстановку тогда при при Данный интеграл примет вид:

Если функции и имеют непрерывные производные на отрезке то имеет место формула

. (2.14)

Формула (2.14) называется формулой интегрирования по частям для определенного интеграла.

Формула интегрирования по частям в определенном интеграле имеет тот же вид, что и в неопределенном интеграле, поэтому все рекомендации для интегралов, берущихся по частям, данные для неопределенных интегралов (пункт 1.4), справедливы и для определенных интегралов.

Пример 51. Вычислить интеграл

Решение. Данный интеграл относится к первой группе интегралов, берущихся по частям, поэтому тогда согласно формуле (2.14) получаем

Пример 52. Вычислить интеграл

Решение. Интеграл относится ко второй группе интегралов, берущихся по частям. Положим тогда Подставляя в формулу (2.14), получаем

Пример 53. Вычислить интеграл

Решение. Дан интеграл третьей группы интегралов, берущихся по частям:тогда

Подставим полученные результаты в формулу (2.14)

Получили алгебраическое уравнение относительно данного интеграла:

Решим это уравнение:

тогда

Задания для самостоятельного решения

Вычислить интегралы:

1. 2. 3. 4.

5. 6. 7. 8.

9. 10. 11. 12.

13. 14. 15. 16.

17. 18. 19.

20.

Ответы. 1. 2. 3. 4. 5.

6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.

13. 14. 15. 16.

17. 18. 19. 20.

2.4. Приложения определенного интеграла

Приведем без вывода основные формулы и примеры геометрических приложений определенного интеграла.

1). Вычисление площадей плоских фигур.

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой ( непрерывна), прямыми и осью вычисляется по формуле

(2.15)

Площадь фигуры, ограниченной кривой (), непрерывная, прямыми и осью равна

(2.16)

Площадь фигуры, ограниченной двумя непрерывными кривыми и () и двумя прямыми и находится по формуле

(2.17)

Если плоская фигура имеет «сложную» форму, то прямыми, параллельными оси её следует разбить на части так, чтобы можно было бы применить уже известные формулы

Здесь непрерывные и неотрицательные функции и пересекаются в точке с абциссой

(2.18)

Пример 54. Найти площадь фигуры, ошраниченной осью графиком функции прямыми и

Решение. Графиком функции является парабола, симметричная относительно оси ветви которой направлены вверх, вершина лежит в точке с координатами (0;2).

Найдем площадь фигуры по формуле (2.15)

Пример 55. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями и

Решение. Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вниз, вершина в точке (0;4), симметричная относительно оси Графиком второй функции также является парабола, ветви направлены вверх, найдем координаты вершины то есть вершина в точке (1;-1), парабола симметрична относительно прямой Построим данную фигуру, площадь которой требуется найти

Найдем абциссы точек пересечения двух графиков:

Получили, что Согласно формуле (2.17), получим

Пример 56. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

Решение. Показательная функция возрастающая, так как основание степени больше единицы (2>1). Показательная функция убывающая, так как Построим графики данных функций

Найдем абциссу точки пересечения графиков функций и

Прямой разобьем данную фигуру на две, тогда

Найдем точку пересечения графиков функций и

тогда, согласно формуле (2.17), получим

Найдем точку пересечения графиков функций и тогда, используя формулу (2.17), получим:

Таким образом, площадь данной фигуры равна

.

Пример 57. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

Решение. Построим графики данных функций: это возрастающая показательная функция, так как основание этой функции больше единицы (4>1); графиком функции является прямая, проходящая через начало координат (биссектриса первого и третьего координатных углов); прямая, параллельная оси проходящая через точку (0;4)

Найдем абциссу точки пересечения графиков функций и

Прямой разобьем данную фигуру на две, тогда