ОБЩИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ
СТУДЕНТУ-ЗАОЧНИКУ
К ИЗУЧЕНИЮ КУРСА СПЕЦИАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ МАТЕМАТИКИ
Основной формой обучения студента-заочника является самостоятельная работа над учебным материалом.
Правильная организация процесса обучения является самым важным условием успешной проработки и усвоения учебного материала и, как правило, достаточна для своевременной защиты контрольных работ, а также сдачи зачетов и экзаменов. В связи с вышесказанным настоятельно советуется студентам-заочникам начинать изучение тем с проработки теоретического материала из соответствующих разделов рекомендованных учебников. При изучении теоретического материала по учебнику полезно конспектировать основные определения, формулировки теорем, формулы, уравнения и т. д.
Чтение учебника должно сопровождаться решением задач, для чего рекомендуется завести специальную тетрадь. В рекомендованных пособиях имеется большое количество подробно решенных задач, с которыми студентам необходимо ознакомиться при изучении соответствующего материала.
После изучения определенной темы по учебнику и решения достаточного количества задач рекомендуется воспроизвести по памяти определения, формулы, формулировки теорем. Хорошим подспорьем для объективной оценки степени освоения учебного материала является перечень вопросов для самопроверки, приведенный на странице 6.
Только после этого можно приступать к выполнению контрольных работ. На данном этапе полезно ознакомиться с примерными вариантами решения задач контрольной работы, приведенными в методических указаниях.
Зачет контрольной работы преподавателем осуществляется при выполнении следующих требований:
· правильном и подробном решении задач в контрольной работе,
· умении достаточно быстро и без помощи пособий решать задачи, аналогичные задачам, предложенным в контрольной работе,
· твердом знании основных формул и определений, перечисленных в вопросах для самопроверки.
Если в процессе изучения теоретического материала или при решении задач у студентов возникают вопросы, справиться с которыми самостоятельно не удается, то за помощью можно обратиться к преподавателю на консультации.
Завершающим этапом изучения отдельных частей курса математики является сдача зачетов и экзаменов в соответствии с учебным планом.
Выбор варианта контрольной работы студентом производится по двум последним цифрам номера студенческого билета в соответствии со следующей таблицей.
Предпоследняя цифра x совпадает с одной из цифр: 0, 2, 4, 6, 8 | Предпоследняя цифра x совпадает с одной из цифр: 1, 3, 5, 7, 9 |
x1 - 1-й вариант x2 - 2-й вариант x3 - 3-й вариант x4 - 4-й вариант x5 - 5-й вариант x6 - 6-й вариант x7 - 7-й вариант x8 - 8-й вариант x9 - 9-й вариант xй вариант | xй вариант xй вариант xй вариант xй вариант xй вариант xй вариант xй вариант xй вариант xй вариант xй вариант |
ПРОГРАММА КУРСА
“СПЕЦИАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ МАТЕМАТИКИ”
ДЛЯ СТУДЕНТОВ-ЗАОЧНИКОВ СПЕЦИАЛЬНОСТИ 140400 – «ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИКА И
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА»
Элементы операционного исчисления
1. Начальная функция и её изображение [ §§ 1, 2, 3], [ 3, ч. II, гл. XIX, § 1 ].
2. Свойства изображений [ §§ 3, 4, 5], [ 3, ч. II, гл. XIX, § 3, 4, 5 ].
3. Решение задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами [ §§ 9, 10, 11], [ 3, ч. II, гл. XIX, § 9,10 ].
4. Интеграл Дюамеля [ §§ 3, 4, 5], [ 3, ч. II, гл. XIX, § 3, 4, 5 ].
5. Решение систем линейных дифференциальных уравнений операционным методом [ §§ 12, 14], [ 4, гл. II, §14 ].
6. Теорема свертывания [ §§ 13], [ 3, ч. II, гл. XIX, § 13].
7. Дифференциальные уравнения механических колебаний. Дифференциальные уравнения механических цепей [ §§ 14, 15, 16, 17, 18], [ 3, ч. II, гл. XIX, § 14, 15 ].
8. Теорема запаздывания [ §§ 19], [ 3, ч. II, гл. XIX, § 19 ].
9. Дельта-функция и её изображение[ §§ 19,20], [ 3, ч. II, гл. XIX, § 20 ].
ПРАВИЛА ВЫПОЛНЕНИЯ И ОФОРМЛЕНИЯ
КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ
При выполнении контрольных работ требуется строгое соблюдение указанных ниже правил. Работы, выполненные без соблюдения этих правил, могут быть не зачтены.
1. Каждая контрольная работа выполняется в тетради в клетку чернилами любого цвета, кроме красного. Необходимо оставлять поля шириной 3 - 4 см для замечаний рецензента.
2. На обложке тетради должны быть ясно написаны фамилия и инициалы студента, группа, шифр, номер контрольной работы, название дисциплины и адрес студента. В конце работы ставится дата ее выполнения и подпись.
3. В работу включаются все задачи, указанные в задании, строго по положенному варианту.
4. Решения задач располагаются в порядке возрастания их номеров, указанных в задании, сохраняя номера задач.
5. Условия задач приводятся полностью. Решения излагаются подробно и аккуратно, объясняются все действия по ходу решения и делаются необходимые чертежи.
6. После получения прорецензированной работы, как незачтенной, так и зачтенной, исправляются отмеченные рецензентом ошибки и выполняются все рекомендации рецензента.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ
1. Что такое начальная функция?
2. Что называется изображением функции?
3. Сформулируйте теорему единственности изображения.
4. Сформулируйте свойство линейности изображения.
5. Сформулируйте теоремы запаздывания и подобия.
6. Сформулируйте теорему смещения.
7. Напишите формулы дифференцирования изображения и дифференцирования оригинала.
8. Выпишете вспомогательное уравнение для заданного дифференциального уравнения.
9. Сформулируйте теорему разложения изображения.
10. Сформулируйте теорему опережения.
11. Что такое свертка двух функций?
12. Как найти изображение свертки
13. Что такое интеграл Дюамеля?
14. Напишите уравнение колебаний материальной точки массы m и соответствующее ему вспомогательное уравнение.
15. Напишите уравнение для определения тока I и соответствующее ему вспомогательное уравнение.
РЕКОМЕНДУЕМЫЕ ЗАДАЧИ
ДЛЯ ПОДГОТОВКИ
К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ
К задачам № 1: [ 4 ] №№ 000-394, 396-408.
К задачам № 2: [4] №№ 000-418.
К задачам № 3 [4] №№ 000-433, 462-466.
К задачам № 4: [ 4 ] №№ 000-504.
К задачам № 5: [4] №№ 000-540.
К задачам № 6: [4] №№ 000-638.
К задачам № 7: [4] №№ 000-620.
К задачам № 8: [4] №№ 000-604.
ЗАДАЧИ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ
Контрольная работа. “Элементы операционного исчисления”
Задача № 1
Найти изображение функции
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
Задача № 2
Найти изображение функции 
. Вычислить значение 
при 
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
Задача № 3
Найти изображение функции .
1.
11. 
2. 
12. 
3. 
13. 
4. 
14. 
5. 
15. 
6. 
16. 
7. 
17. 
8. 
18. 
9. 
19. 
10. 
20. 
Задача № 4
Найти оригинал функции
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
Задача № 5
Решить задачу Коши
1. 
.
2.
.
3. 
.
4. 
.
5. 
.
6. 
.
7. 
.
8.
.
9. 
.
10. 
.
11. 
.
12. 
.
13. 
.
14. 
.
15. 
.
16. 
.
17. 
.
18. 
.
19. 
.
20. 
.
Задача № 6
Операционным методом решить задачу Коши для системы линейных дифференциальных уравнений
1. 
.
2. 
.
3. 
.
4. 
.
5. 
.
6. 
.
7. 
.
8. 
.
9. 
.
10. 
.
11. 
.
12. 
.
13. 
.
14. 
15. 
16. 
17. 
,
18. 
,
19. 
,
20. 
,
Задача № 7
С помощью формулы Дюамеля найти решения уравнений, удовлетворяющие начальным условиям 
1. 
.
2. 
.
3. 
.
4. 
.
5. 
.
6. 
.
7. 
.
8. 
.
9. 
.
10. 
.
11. 
.
12. 
.
13. 
.
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
Задача № 8
К сопротивлению 
, обладающему индуктивностью 
, приложена ЭДС 
. Начальный ток равен нулю. Найти 
.
Рис. 1
Вариант № |
|
|
|
|
1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
2 | 1 | 1/2 | 2 | 2 |
3 | 2 |
| 3 | 2 |
4 |
| 1 | 1 | 1 |
5 | 2 | 2 | 2 | 1 |
6 | 3 | 1 | 3 | 3 |
7 |
| 1 | 4 | 1 |
8 | 2 |
| 1 | 2 |
9 | 3 | 3 | 3 | 1 |
10 | 2 | 1 | 5 | 2 |
11 | 3 |
| 2 | 3 |
12 | 1 | 1 | 4 | 1 |
13 | 4 | 4 | 1 | 1 |
14 | 4 | 1 | 4 | 4 |
15 | 4 | 2 | 2 | 2 |
16 | 2 | 2 | 1 | 1 |
17 | 4 |
| 4 | 4 |
18 | 3 | 1 | 5 | 3 |
19 | 5 | 5 | 2 | 1 |
20 | 3 | 3 | 3 | 1 |
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ
Определение. Преобразованием Лапласа функции действительного переменного 
называется функция комплексного переменного F(р), определяемая формулой
(1)
Перечислим все свойства (теоремы) операционного исчисления.
1. A f(t) + В g(t) ¸ А F(р) + В G(р) (теорема линейности).
2. f(lt) ¸ 
(l > 0) (теорема подобия).
3. eat f(t) ¸ F(p - a) (теорема смещения в изображении).
4. f(t - t) ¸ e-pt F(p) (t > 0) (теорема запаздывания).
5. Если
то 
(теорема о дифференцировании по параметру).
6.
(теорема дифференцирования оригинала),
7. 
(теорема интегрирования оригинала).
8. 
(теорема дифференцирования изображения).
9. 
(теорема умножения изображений),
(интеграл Дюамеля).
Пример 1. Найти оригиналы для следующих изображений: 1) 
2) 
3) 
4)
5) 
Решение. При решении будем использовать таблицу 1.
1) из соотношения 12 имеем 
2) из соотношения 13 имеем 
3) из соотношения 3 имеем 
4) из теоремы линейности и соотношения 6 получим 
5) по теореме запаздывания получим
Пример 2. Найти изображение оригинала
.
Решение. Обозначим 
. По теореме о дифференцировании оригинала имеем
Но 
.
С одной стороны 
.
С другой стороны,
,
откуда
Пример 3. Найти изображение функции
Решение. Имеем 
. По теореме об интегрировании оригинала
.
Пример 4. Найти изображение функции 
Решение. 
. Тогда
.
Пример 5. Найти изображение функции
Решение. Имеем 
. По теореме смещения
.
Пример 6. Найти изображение функции
Решение. - это свертка двух функций 
и 
. По теореме умножения
.
Пример 7. Найти изображение оригинала
Решение. По таблице изображений 
. По теореме о дифференцировании изображения имеем: 
По теореме об интегрировании оригинала
.
Пример 8. Найти оригинал, соответствующий изображению
.
Решение. Так как 
и
,
,
, 
, то на основании формулы Дюамеля имеем
Пример 9. Найти изображение функции
.
Решение: Имеем 
Используем теорему смещения, получим:
Пример 10. Найти изображение функции
Решение. Данная функция описывает единичный импульс (см. рис. 2), который можно рассматривать как разность двух оригиналов: единичной функции 
и обобщенной единичной функции 
.
Поэтому
.
Пример 11. Найти изображение функции
Решение. Функция-оригинал изображена на рис. 3. Запишем ее одним аналитическим выражением, используя функции Хевисайда и 
:
т. е.
.
|
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
.
Изображение функции 
будет равно
.
Замечания.
1. Изображение периодического оригинала с периодом, равным 
, есть 
.
2. Свойство опережения
применяется значительно реже.
Пример 12. Найти общее решение уравнения
.
Решение. По таблице изображений находим
.
Полагая 
, имеем
где числа 
и 
играют роль произвольных постоянных. Изображающее уравнение имеет вид
.
Отсюда
.
Преобразуем первое слагаемое для 
и найдем по таблице соответствующий ему оригинал
Для второго слагаемого имеем
Для отыскания оригинала последнего слагаемого разложим его на простейшие дроби
.
Система уравнений для определения коэффициентов разложения имеет вид
Откуда находим 
, 
, 
. Следовательно,
.
Собирая оригиналы всех слагаемых, находим решение уравнения
.
Положим 
, 
, получим
Пример 13. Решить дифференциальное уравнение
, .
Решение. Составляем вспомогательное уравнение
, 
.
И решаем его операционным методом:
, 
.
Разлагаем 
на простейшие дроби
.
Получаем систему уравнений, определяющую коэффициенты разложения
Подставим найденные коэффициенты в выражение и перейдем к оригиналам
.
Решение заданного уравнения найдем по формуле Дюамеля:
(2)
с учетом того, что 
. Имеем
,
.
Пример 14. Решить дифференциальное уравнение
, .
Решение. Составляем вспомогательное уравнение
, .
И решаем его операционным методом:
, .
Разлагаем на простейшие дроби
.
Получаем систему уравнений, определяющую коэффициенты разложения
Подставим найденные коэффициенты в выражение и перейдем к оригиналам
.
Решение заданного уравнения найдем по формуле Дюамеля (2) с учетом того, что . Имеем
,
.
Пример 15. Записать при помощи интеграла Дюамеля решение уравнения 
при нулевых начальных условиях.
Решение. Начнем, как и раньше, с уравнения 
. Его операторное уравнение имеет решение 
и 
.
Поэтому 
Пример 16. Рассмотрим включение синусоидальной ЭДС 
в контур, состоящий из индуктивности и сопротивления (рис. 1). Начальный ток равен нулю. Найти .
Решение. До момента включения ЭДС ток 
в цепи отсутствовал. Напряжение в цепи, вызванное включением ЭДС состоит из суммы напряжения на индуктивности 
и напряжения на сопротивлении 
.
Приравняв сумму напряжений в цепи электродвижущей силе получаем дифференциальное уравнение для тока в цепи
, 
.
Построим уравнение для изображений
.
из которого находим изображение тока в цепи 
.
Для нахождения оригинала разложим дробно-рациональную функцию в правой части последнего равенства на сумму простейших дробей, используя метод неопределенных коэффициентов. Имеем,
.
Система уравнений, определяющая числа A, B, C имеет вид
Решая эту систему уравнений, получим коэффициенты разложения
, 
, 
.
Изображение тока теперь принимает вид
.
Перейдем по таблице изображений к оригиналам. Получим
.
Пример 17. Найти решение уравнения 
удовлетворяющее условиям 
Решение. Найдем элементарное решение уравнения
Выполнив преобразования Лапласа, получим
Используя таблицу изображений, получим 
Для отыскания нужного решения найдем частное решение 
:
.
Искомое частное решение имеет вид
Пример 18. Найти решение системы дифференциальных уравнений
при начальных условиях 
Решение. Если считать, что 
и 
, то по теореме дифференцирования оригинала 
и 
(для краткости записи мы не пишем аргументы функций). Система операторных уравнений примет вид
или, после преобразования,
В результате мы получили систему алгебраических линейных уравнений относительно неизвестных изображений и 
Решая эту систему, находим
и, возвращаясь к оригиналам, 
Таблица 1
№ | Оригинал | Изображение |
1 | 1 |
|
2 |
|
|
3 |
|
|
4 |
|
|
5 |
|
|
6 |
|
|
7 |
|
|
8 |
|
|
9 |
|
|
10 |
|
|
11 |
|
|
12 |
|
|
13 |
|
|
14 |
|
|
15 |
|
|
16 |
|
|
17 |
|
|
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Берман задач по курсу математического анализа/ . – М.: Наука, 1977.
2. Шипачев математика/ . - М.: Наука, 2000.
3. Пискунов и интегральное исчисления: учебник для втузов/ . − М.: Наука, 1985. Т. 2.
4. Краснов исчисление. Теория устойчивости/ , , . − М.: Либроком, 2009.
5. Кузнецов заданий по высшей математике/ . М.: Высш. шк., 19с.
СОДЕРЖАНИЕ
Общие рекомендации студенту-заочнику к изучению курса «Специальные главы математики»………......................................1
Программа курса «Специальные главы математики» для студентов-заочников специальности 140400 – «Электроэнергетика и электротехника».……..................................................……..3
Правила выполнения и оформления контрольных
работ.……………………………………................………………..3
Вопросы для самопроверки к контрольной работе….……............................................................................................4
Рекомендуемые задачи для подготовки к выполнению контрольной работы.................. ……………….....................................5
Задачи для контрольных заданий………..............................6
Примеры решения задач к контрольной работе……….....17
Библиографический список……………………..................35
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
к контрольной работе
по «Специальным главам математики»
для студентов специальности
140400 – «Электроэнергетика и электротехника»
заочной формы обучения
Составители:
В авторской редакции
Компьютерный набор
Подписано в печать.
Формат 60x84/16. Бумага для множительных аппаратов.
Усл. печ. л. , . Уч.- изд. л. . Тираж 50 экз. “С”
Зак. №
ФГБОУ ВПО « Воронежский государственный технический
университет»
394026 Воронеж, Московский просп., 14
