Аннотированные вопросы к госэкзамену по математике для специальности «Физика и математика» (2015 г.)

Аннотированные вопросы к госэкзамену

по математике для специальности «физика и математика» (2015 г.)

Математический анализ

1.  Понятие функции. Предел функции в точке.

Понятие функции, числовые функции числового аргумента, способы задания. Элементарные глобальные свойства функций (ограниченность, монотонность, периодичность, четность, нечетность). Предел функции в точке по Коши и по Гейне, эквивалентность этих определений, единственность предела функции в точке, локальные свойства функции, имеющей конечный предел.

2.  Последовательность, предел последовательности, свойства сходящихся последовательностей.

Последовательности, подпоследовательности, числовые последовательности, способы задания, арифметическая и геометрическая прогрессии. Предел последовательности, геометрическая интерпретация, единственность предела. Свойства сходящихся последовательностей: ограниченность, сходимость любой подпоследовательности, сохранение знака предела, арифметические операции над сходящимися последовательностями, предельный переход в неравенствах.

3.  Ограниченные множества. Существование граней ограниченного множества. Предел монотонной последовательности.

Ограниченные и неограниченные числовые множества, грани, теорема о существовании граней ограниченного непустого множества, теорема о пределе монотонной последовательности.

4.  Непрерывность функции в точке. Локальные свойства непрерывных функций.

Различные определения непрерывности функции в точке. Локальные свойства непрерывной функции (ограниченность, сохранение знака), арифметические операции над непрерывными функциями. Сложная функция и ее непрерывность.

5.  Теоремы Больцано-Коши о промежуточных значениях непрерывных на сегменте функций и их применения.

Первая теорема Больцано-Коши об обращении в нуль непрерывной на промежутке функции. Вторая теорема Больцано-Коши о промежуточных значениях непрерывной на промежутке функции, следствия (непрерывный образ промежутка есть промежуток). Применение теорем при доказательстве существования решений уравнений, обосновании метода интервалов при решении неравенств и при определении множества значений непрерывных функций.

6.  Теоремы Вейерштрасса о непрерывных на сегменте функциях.

Первая теорема Вейерштрасса об ограниченности непрерывной на сегменте функции. Вторая теорема Вейерштрасса о достижении непрерывной на сегменте функцией своих граней. Существенность условий в теоремах Вейерштрасса.

7.  Обратная функция. Теорема о существовании и непрерывности обратной функции. Обратные тригонометрические функции.

Монотонные функции и их свойства (обзорно). Понятие обратной функции, существование и непрерывность обратной функции. Определение и существование обратных тригонометрических функций, и их свойства (область определения, множество значений, непрерывность, график).

8.  Дифференцируемость функции в точке. Производная функции в точке, ее геометрический и механический смысл. Правила дифференцирования. Производные основных элементарных функций.

Понятие производной функции в точке, ее геометрический и механический смысл, уравнение касательной и нормали к графику функции в точке. Дифференцируемость функции в точке, необходимые и достаточные условия дифференцируемости функции в точке. Правила дифференцирования суммы, произведения и частного двух дифференцируемых функций, производные основных элементарных функций.

9.  Теорема Лагранжа. Условия постоянства и монотонности функции на промежутке.

Теорема Лагранжа и ее геометрический смысл. Необходимое и достаточное условие монотонности функции на промежутке, достаточное условие строгой монотонности. Применение этих утверждений при доказательстве тождеств, неравенств и при определении промежутков монотонности.

10.  Экстремумы и точки перегиба функции.

Определение локального максимума (минимума) функции, необходимое и достаточное условие существования точек экстремума. Правила нахождения наибольшего и наименьшего значения непрерывной на сегменте функции, примеры. Определение выпуклости (вогнутости) функции на промежутке, достаточное условие выпуклости дважды дифференцируемой функции, точки перегиба графика функции, необходимое и достаточное условия существования точек перегиба.

11.  Первообразная и неопределенный интеграл. Методы интегрирования функции.

Понятие первообразной функции, свойства первообразной. Понятие неопределенного интеграла и его свойства, таблица интегралов основных элементарных функций. Методы непосредственного интегрирования, интегрирование методом подстановки и по частям (демонстрировать на примерах).

12.  Определенный интеграл. Интегрируемость непрерывной функции.

Понятие определенного интеграла. Необходимое и достаточное условие интегрируемости, достаточные условия интегрируемости. Свойства определенного интеграла. Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница.

13.  Числовые ряды. Признаки сходимости. Абсолютно и условно сходящиеся ряды.

Понятие числового ряда, n-ой частичной суммы, сходимость и расходимость ряда, критерий Коши о сходимости ряда, необходимое условие сходимости. Положительные ряды, теоремы сравнения, признаки Даламбера, Коши, интегральный признак (обзорно). Абсолютная и условная сходимость, свойства абсолютно и условно сходящихся рядов.

14.  Формула и ряд Тейлора. Разложение основных элементарных функций в ряд Тейлора.

Формула Тейлора (без доказательства), ряд Тейлора, необходимое условие разложимости функции в ряд Тейлора, достаточное условие разложимости. Разложение элементарных функций ex, cos x, sin x, ln(1+x), arctg x в ряд Тейлора, биномиальный ряд. Применение теории степенных рядов в приближенных вычислениях.

15.  Показательная функция и ее свойства.

Определение степени действительного числа с рациональным, иррациональным показателем. Свойства степени положительного действительного числа с действительным показателем (обзорно). Определение показательной функции в действительной области, свойства (область определения, множество значений, монотонность, непрерывность, дифференцируемость).

16.  Тригонометрические функции и их свойства.

Определение функции синуса и косинуса в действительной области, свойства (область определения, ограниченность, периодичность, четность, нечетность, непрерывность, множество значений, графики). Определение функций tg x, ctg x и их свойства (обзорно). Разложение функций sin x и cos x в ряд Маклорена.

17.  Логарифмическая функция и ее свойства.

Определение логарифмической функции в действительной области, свойства (область определения, множество значений, монотонность, непрерывность, логарифм от произведения, частного и степени).

18.  Степенная функция и ее свойства.

Определение степенной функции с натуральным показателем, свойства (область определения, непрерывность, множество значений, дифференцируемость, графики). Определение степенной функции с рациональным показателем и ее свойства. Определение степенной функции с действительным показателем, свойства (область определения, непрерывность, множество значений, дифференцируемость).

Дифференциальные уравнения

1.  Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешимые в явном виде.

Дифференциальные уравнения вида . Дифференциальные уравнения с разделяющимися перемен Бернулли и Риккати. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах.

2.  Принцип сжатых отображений и его применение при доказательстве теоремы о существовании и единственности решения начальной задачи для дифференциального уравнения.

Теорема Банаха о существовании и единственности неподвижной точки оператора сжатия в полном метрическом пространстве. Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка. Доказательство теоремы Пикара о единственности и существовании решения начальной задачи Коши для уравнения на основании принципа сжатых отображений.

3.  Линейные однородные дифференциальные уравнения (ЛОДУ) второго порядка с постоянными коэффициентами.

ЛОДУ с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение, соответствующее ЛОДУ. Структура решений ЛОДУ с постоянными коэффициентами, если характеристическое уравнение имеет разные действительные корни, кратные корни, комплексно сопряженные корни.

4.  Линейные неоднородные дифференциальные уравнения (ЛНДУ) второго порядка.

Теорема о структуре общего решения ЛНДУ. Нахождение общего решения ЛНДУ методом вариации произвольных постоянных. Построение частных решений ЛНДУ с постоянными коэффициентами по виду правой части уравнения.

5.  Математические модели свободных колебаний.

Математические модели колебательных систем (вывод д. у. колебаний подвешенного на пружине тела около положения равновесия, анализ полученных д. у). Построение общего решения уравнения свободных колебаний системы, физическое истолкование полученных решений.

6.  Математические модели вынужденных колебаний. Резонанс.

Математические модели колебательных систем (вывод д. у. вынужденных колебаний подвешенного на пружине тела около положения равновесия, анализ полученных д. у). Построение общего решения уравнения вынужденных колебаний, явление резонанса.

Алгебра

1.  Векторные пространства.

Определение векторного пространства, примеры бесконечномерного и конечномерного пространств. Базис и размерность конечномерного пространства (доказательство существования базиса и равенства числа элементов одного базиса пространства числу элементов другого базиса). Координаты векторов и их свойства. Изоморфизм векторных пространств.

2.  Методы решений систем линейных уравнений. Критерий совместности системы линейных уравнений.

Решение, равносильность систем линейных уравнений (СЛУ). Критерий Кронекера-Капелли о совместности СЛУ. Методы решений СЛУ (метод последовательного исключения переменных - метод Гаусса), метод Крамера (с помощью определителей), матричный метод (с помощью обратной матрицы).

3.  Многочлены над полем. Наибольший общий делитель двух многочленов и алгоритм Евклида.

Определение НОД двух многочленов. Определение деления с остатком в кольце многочленов и алгоритм Евклида. Существование и единственность НОД двух многочленов (с доказательством).

4.  Основные алгебраические структуры (группа, кольцо, поле).

Определение, примеры групп, колец, полей (на множестве чисел, классов вычетов, на множествах матриц и подстановок). Понятия подгруппы, подкольца, критерии подгруппы и подкольца (с доказательством). Определение и примеры гомоморфизма и изоморфизма групп, колец, полей.

5.  Разложение многочлена над полем в произведение неприводимых множителей и его единственность.

Определение неприводимых многочленов над произвольным полем. Теорема о существовании и единственности разложения многочлена в произведение неприводимых над полем Р многочленов (с доказательством), пример.

6.  Симметрические многочлены. Формулы Виета.

Определение симметрического многочлена, основная теорема о симметрических многочленах. Алгоритм получения представления симметрического многочлена через элементарные симметрические многочлены. Формулы Виета (с доказательством).

7.  Сопряженность мнимых корней многочлена с действительными коэффициентами. Неприводимые над полем действительных чисел и над полем комплексных чисел многочлены.

Теорема сопряженности комплексных, но не действительных корней многочлена (с доказательством). Неприводимые над полем действительных чисел и над полем комплексных чисел многочлены. Разложение многочлена с действительными коэффициентами над полем комплексных чисел и над полем действительных чисел (пример).

8.  Комплексные числа. Действия над комплексными числами.

Формы представлений комплексных чисел. Перевод комплексного числа из алгебраической в тригонометрическую форму записи, пример. Действия над комплексными числами в разных формах представлений.

9.  Матрицы. Действия над матрицами. Ранг матрицы.

Операции над матрицами. Ранг матрицы. Определение обратной матрицы. Существование и единственность обратной матрицы для квадратной невырожденной матрицы (с доказательством). Способы нахождения обратной матрицы.

10.  Определитель квадратной матрицы. Свойства определителей. Разложение определителя по строке или столбцу.

Определитель квадратной матрицы (случаи: 2-го, 3-го и n-го порядков). Свойства определителей. Теорема о разложении определителя по строке (столбцу).

11.  Полная и приведенная система вычетов. Теоремы Эйлера и Ферма.

Определение и примеры полной и приведенной системы вычетов. Теоремы Эйлера и Ферма. Примеры применения теоремы Эйлера.

12.  Простые числа. Бесконечность множества простых чисел. Каноническое разложение составного числа и его единственность.

Определение простых и составных чисел в кольце целых чисел. Теорема Евклида о бесконечности множества простых чисел (с доказательством). Основная теорема арифметики: каждое натуральное число представляется в виде произведения простых чисел, причем, разложение натурального числа в произведении простых чисел однозначно с точностью до порядка сомножителей (с доказательством).

Геометрия

1.  Трехмерное евклидово пространство по школьному учебнику геометрии. Общая характеристика систем аксиом.

Суть аксиоматического метода, смысл понятий аксиома, определение, теорема, доказательство теорем. Требования, предъявляемые к системам аксиом. Общая характеристика системы аксиом евклидовой геометрии по школьному учебнику геометрии (примеры определений и доказательств теорем в системе аксиом школьного учебника геометрии).

2.  Метод координат на плоскости. Прямые и линии второго порядка.

Понятия алгебраической линии, ее порядка, прямая как линия первого порядка. Примеры линий второго порядка, взаимное расположение прямой и линии второго порядка на плоскости. Асимптотическое направление и асимптота, касательная, диаметры линии второго порядка.

3.  Метод координат в пространстве. Плоскости и прямые в пространстве.

Суть метода координат в пространстве. Исследование взаимного расположения двух плоскостей, прямой и плоскости как пример использования метода координат в пространстве. Взаимное расположение двух прямых в пространстве.

4.  Скалярное и векторное произведения векторов. Вычисление в координатной форме в ортонормированном базисе.

Угол между векторами, определение скалярного произведения двух векторов, обращение скалярного произведения векторов в ноль. Скалярное произведение в координатной форме, свойства скалярного произведения векторов. Определение векторного произведения двух векторов, геометрический смысл модуля векторного произведения векторов, формула для вычисления векторного произведения векторов в координатной форме, свойства векторного произведения (применение произведений векторов к решению задач).

5.  Смешанное произведение векторов. Вычисление в координатной форме. Применение векторов к решению задач.

Определение и свойства смешанного произведения трех векторов. Геометрический смысл модуля смешанного произведения. Вычисление смешанного произведения векторов в координатной форме (применение к решению задач).

6.  Движения плоскости. Основная теорема. Свойства движений. Группа движений. Применение движений.

Определение движений, примеры, формулировка и доказательство основной теоремы. Виды движений. Свойства движений, группа движений и ее подгруппы, понятие равенства фигур. Место преобразований в структуре решения задач, признак применимости движений к решению задач, последовательность действий по использованию метода преобразований к решению задач (примеры).

7.  Гомотетии и подобия плоскости. Теорема о представлении подобий в виде композиции гомотетии и движения плоскости. Группа подобий. Применение подобий к решению задач.

Определение подобия (примеры), гомотетия и ее свойства. Теорема о представлении подобия как композиции гомотетии и движения, свойства подобий. Теорема о неподвижных точках подобия, группа подобий и ее подгруппы (применение подобий к решению задач).

8.  Аффинные преобразования плоскости. Основная теорема. Свойства. Группа аффинных преобразований. Применение аффинных преобразований.

Определение аффинных преобразований плоскости (примеры), задание аффинных преобразований парой реперов. Свойства аффинных преобразований. Аналитическое задание аффинных преобразований, группа аффинных преобразований и ее подгруппы, «Эрлангенская программа» (применение аффинных преобразований к решению задач).

9.  Параллельное проектирование и его свойства. Изображение плоских и пространственных фигур.

Понятие изображения фигур при проектировании, требования, предъявляемые к изображениям фигур. Параллельное проектирование и его свойства, изображение плоских фигур в параллельной проекции. Теорема об аффинной эквивалентности фигуры и ее изображении, изображения треугольника, параллелограмма, трапеции, n-угольника, окружности. Метрически определенные изображения. Теорема Польке-Шварца. Изображения тетраэдра, параллелепипеда, призмы, пирамиды, цилиндра, конуса и шара. Полные изображения. Примеры решения позиционных задач.

10.  Система аксиом Вейля трехмерного евклидова пространства. Связь системы аксиом Вейля с аксиомами школьного курса геометрии.

Общая характеристика системы аксиом Вейля, непротиворечивость, независимость и полнота системы аксиом Вейля (примеры определений и доказательств теорем в системе аксиом Вейля). Понятие эквивалентности двух систем аксиом, эквивалентность системы аксиом Вейля и системы аксиом школьного курса геометрии.

11.  Измерение площади многоугольника в евклидовой геометрии. Теоремы существования и единственности измерения площади многоугольника.

Понятие многоугольника и его площади в евклидовой геометрии. Теорема существования и теорема единственности. Равновеликость и равносоставленность многоугольников и их использование при выводе формул площадей многоугольников.

12.  Геометрия Лобачевского. Интересные факты геометрии плоскости Лобачевского.

Исторические сведения о возникновении геометрии Лобачевского. Система аксиом геометрии Лобачевского. Непротиворечивость и полнота системы аксиом (примеры доказательств некоторых теорем плоскости Лобачевского).

Рекомендуемая литература

Математический анализ и дифференциальные уравнения

1. Фихтенгольц математического анализа. − М.: Лань, 2009, т. т. 1,2.

2. Д, Курс математического анализа. − М.: Дрофа, 2006, т. 1.

3., , Сендов анализ. − М.; Проспект, 2006.

4., Г, Основы математического анализа. − М.: Физматлит, 2009.

5.  Понтрягин уравнения и их приложения. – Едиториал УРСС, 2011.

6.Степанов дифференциальных уравнений. −М.: Комкнига. 2006.

7.  Филиппов задач по дифференциальным уравнениям. − М: ЛКИ, 2011.

8.  Сабитов , дифференциальные и интегральные уравнения − М.: Высш. шк., 2005.

9.  Вагапов дифференциальные уравнения: Учеб. пособие для вузов. − Стерлитамак: Стерлитамак. гос. пед. акад., 2007.

Алгебра

1.  Вахитова пространства и линейные отображения. Стерлитамак: Изд-во СГПИ, 20с.

2.  Вахитова сравнений и ее приложения. Стерлитамак: СГПИ, 2000 – 414с.

3.  Геворкян математика. Линейная алгебра и аналитическая геометрия: учебное пособие для студентов вузов. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007. – 204с.

4.  Кострикин алгебра и геометрия: учебное пособие / , . – СПб.: Лань, 20с.

5.  Курош высшей алгебры: учебник для студенческих вузов / – СПб.: Лань, 200с.

6.  Ляпин высшей алгебры: учебник / – СПб.: Лань,2009. – 367с.

7.  Окунев алгебра: учебник / – СПб.: Лань, 2009. – 335с.

8.  Фаддеев по алгебре: учебное пособие для студенческих вузов / – СПб.: Лань, 2007. – 415с.

Составители:

Зав. кафедрой МА,

д. п.н., проф.

Зав. кафедрой АГи МОМ,

д. ф.-м. н, проф.

доцент кафедры МА,

к. ф.-м. н.