Математические основы теории систем

Министерство образования Российской Федерации

ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

УТВЕРЖДАЮ Декан АВТФ _______________ “_____” ________________ 2000 г.

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ СИСТЕМ

Рабочая программа для специальностей

210100 - “Управление и информатика в технических системах”

220400- «Программное обеспечение ВТ и автоматизированных систем»

071900 - “Информационные системы в бизнесе”

Факультет Автоматики и вычислительной техники (АВТФ)

Обеспечивающая кафедра Автоматики и компьютерных систем

Курс 2_

Семестр 4_

Учебный план набора 1999 года с изменениями _______ года

Распределение учебного времени

Лекций ----часа (ауд.)

Практические (семинарские)

занятия ----часов (ауд.)

Всего аудиторных занятий ----часов

Самостоятельная (внеаудиторная)

работа ----часов

Общая трудоемкость ----часов

Экзамен в 4 семестре

Томск 2000 г.

Предисловие

Рабочая программа составлена на основе ГОС ВПО по специальности 210100 “Управление и информатика в технических системах” и по специальности 071900 “Информационные системы в бизнесе”, утвержденного и ОС ТПУ по специальности “Управление и информатика в технических системах”.

Программа РАССМОТРЕНА и ОДОБРЕНА на заседании обеспечивающей кафедры автоматики и компьютерных систем 3 февраля 2000 г., протокол №

Разработчик

доцент кафедры АиКС __________________

Зав. кафедрой АиКС ___________________

Рабочая программа соответствует действующему учебному плану

Зав. кафедрой АиКС ___________________

Аннотация

Рабочая программа учебной дисциплины “Математические основы теории систем” предназначена для подготовки бакалавров ТПУ по специальности 210100 “Управление и информатика в технических системах” и по специальности 071900 “Информационные системы в бизнесе”.

Обязательный минимум содержания программы соответствует ГОС ВПО и включает в себя следующие разделы: математические модели сигналов логических устройств; математическое описание явлений и процессов в вероятностных системах; математическое описание динамических систем и методы исследования различных математических моделей.

Дополнительные требования ТПУ: раскрытие принципов междисциплинарного и наддисциплинарного характера изучаемой дисциплины, использование при изучении дисциплины современных информационных технологий.

Программа разработана доцентом кафедры АиКС АВТФ

Abstract

Working program of the discipline "Mathematical bases of theory of systems" is intended for preparing the bachelors of TPU on speciality 210100 "Control and informatics in technical systems" and on speciality 071900 "Information systems in the business".

Obligatory minimum of a content of the program corresponds a GOS VPO and includes the following sections: mathematical signal models of logical devices; mathematical phenomena description and processes in probabilistic systems; mathematical dynamic system description and methods of different mathematical model investigation.

Additional requirements of TPU: opening the principles of interdisciplinary and transdisciplinary nature of under study discipline, using when studying discipline of modern information technologies.

Program is designed by the assistant professor of the chair AiKS AVTF Barkovskii A N.

1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ

1.1. Целью преподавания дисциплины является приобретение студентами знаний по специальным разделам математики, используемым в решении задач управления, передачи и переработки информации, усвоение студентами основных понятий математической логики, теории вероятностей и математической статистики и приобретения практических навыков по их использованию при описании систем различного назначения, а также формирование у студентов мотивации к самообразованию за счет активации их самостоятельной деятельности.

В результате изучения данной дисциплины студент должен понимать:

- математическую лексику и терминологию;

- общие принципы математического описания систем;

- что требуемые знания и умения может реализовать в результате активной познавательной деятельности;

знать:

- математический аппарат, используемый для описания детерминированных и вероятностных сигналов, автоматов, автоматических систем и объектов управления;

уметь:

- осуществлять классификацию систем по особенностям их математических моделей;

- определять типовые временные, операторные и частотные характеристики линейных стационарных непрерывных и дискретных систем;

- применять современные информационные технологии (пакеты прикладных программ) в задачах математического описания и анализа сигналов и систем.

1.2. Задачами изложения и изучения дисциплины являются:

- организация учебного процесса, обеспечивающего активную деятельность по изучению курса за счет выполнения задания под руководством преподавателя (лекции, практические занятия), самостоятельного выполнения домашних и индивидуальных заданий.

2. СОДЕРЖАНИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКОГО РАЗДЕЛА

ДИСЦИПЛИНЫ (ЛЕКЦИИ)

Введение. Роль и значение математических моделей и математических методов в теории систем

Общее понятие системы, определенное в теоретико-множественных терминах. Системы “вход-выход”. Понятие системы управления, объекта управления, управляющих и возмущающих воздействий. Классификация систем.

2.1. Математические модели сигналов логических устройств и их преобразование

Понятие автомата. Комбинационные и последовательностные автоматы. Алгебра высказываний. Булевы функции и их свойства. Алгебра Буля и ее аксиомы. Элементарные булевы функции. Полный набор логических операций. Законы и тождества булевой алгебры, равносильные формулы. Способы задания булевых функций. Основные алгебраические формы функций алгебры логики: НДФ, НКФ, СНДФ, СНКФ, МНДФ, МНКФ. Понятие конституент. Разложение функций алгебры логики по “единицам” и “нулям”. Понятия минтерма и импликанты, как составных частей алгебраического выражения функций алгебры логики.

Полные системы логических функций. Теорема Поста-Яблонского. Понятия максимальной, минимальной и смешанной полных систем функций алгебры логики. Базисы представления логических функций.

Минимизация логических функций. Метод непосредственного упрощения. Визуально-матричный метод.

2.2. Математическое описание явлений и процессов в

вероятностных системах

Случайные события, их классификация. Операции над событиями. Вероятность и частота событий. Сложение и умножение вероятностей. Формулы полной вероятности и Байеса.

Случайные величины. Законы распределения и числовые характеристики случайных величин. Нормальный закон распределения.

Системы случайных величин (случайные векторы). Законы распределения и числовые характеристики систем нескольких случайных величин.

Случайные функции и их основные характеристики. Стационарные случайные функции и их характеристики. Эргодичные случайные функции. Случайные процессы.

Статистические методы определения вероятностных характеристик случайных сигналов.

Точечное и интервальное оценивание параметров. Проверка статистических гипотез.

2.3. Математическое описание динамических систем и методы

исследования различных математических моделей

Описание динамических систем дифференциальными и конечно-разностными уравнениями. Понятие передаточной функции и описание систем с помощью соотношений для изображений по Лапласу переменных систем.

Описание динамических систем в пространстве состояний. Понятие управляемости, наблюдаемости, идентифицируемости. Решение дифференциальных уравнений состояния динамических систем. Определение переходной матрицы стационарных объектов.

Характеристики линейных динамических систем при случайных воздействиях. Прохождение случайного сигнала через линейную. динамическую систему.

3. СОДЕРЖАНИЕ ПРАКТИЧЕСКОГО РАЗДЕЛА ДИСЦИПЛИНЫ

3.2. Тематика практических занятий

3.1. Задание булевых функций с помощью таблиц истинности, с помощью матриц Карно, задание в цифровой форме 3.2. Минимизация булевых функций 3.3. Случайные события и действия над ними. 3.4. Классическая и геометрическая вероятности 3.5. Законы сложения и умножения вероятностей. Зависимые и независимые события 3.6. Законы распределения дискретных и непрерывных случайных величин 3.7. Числовые характеристики случайных величин 3.8. Контрольная работа 3.9. Системы случайных величин 3.10. Выборка, ее обработка. Вычисление оценок параметров 3.11. Интервальное оценивание 3.12. Проверка статистических гипотез 3.13. Передаточные функции и частотные характеристики линейных непрерывных систем 3.14. Определение переходной матрицы линейных систем 3.15. Разностные уравнения и передаточные функции линейных дискретных систем 3.16. Математическое описание многомерных линейных систем. Решение систем линейных дифференциальных уравнений 3.17. Преобразование случайных сигналов линейными системами 3.18. Итоговое занятие

- 2 часа - 2 часа - 2 часа - 2 часа - 2 часа - 2 часа - 2 часа - 2 часа - 2 часа - 2 часа - 2 часа - 2 часа - 2 часа - 2 часа - 2 часа - 2 часа - 2 часа - 2 часа

4. ПРОГРАММА САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ ПОЗНАВАТЕЛЬНОЙ

ДЕЯТЕЛЬНОСТИ

Самостоятельная деятельность студента рассматривается как вид учебной деятельности, позволяющего целенаправленно формировать и развивать его самостоятельность как личностное качество.

Самостоятельная работа организована в следующих формах.

- проработка лекций и подготовка к практическим занятиям - 15 часов

- выполнение домашних заданий по практическим занятиям - 20 часов

- выполнение индивидуального задания № 1 “Способы зада-

ния и минимизации булевых функций” - 4 часа

- выполнение индивидуального задания № 2 “Статистичес-

кая обработка результатов наблюдений нормально распре-

деленной случайной величины - 6 часов

5. ТЕКУЩИЙ И ИТОГОВЫЙ КОНТРОЛЬ РЕЗУЛЬТАТОВ

ИЗУЧЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ

5.1. В дисциплине используются следующие виды контроля:

- промежуточный контроль самостоятельной работы студента по выполнению домашних заданий и подготовке к практическим занятиям, контроль эффективности работы на занятиях;

- контроль выполнения индивидуальных домашних заданий (ИДЗ) .

По результатам проведенных контролей формируется допуск студента к итоговому контролю - экзамену.

5.2. Рейтинг-лист.

РЕЙТИНГ-ЛИСТ

Макс. балл отлично хорошо удовлетв.

- 1000 - - 700-840 -

Число недель Лекции Практич. Итого

- 18 - 54 часа -36 часов -90 часов

			Контроль
Название модуля	Макс. балл	Название блока	Промеж. (пр. занят)	Самостоят. работа
1.Дискретное преобразование Лапласа	75	1.Решетчатые функции 2.Дискретное преобра- зование Лапласа. Основные теоремы. 3.Применение ДПЛ	60 б.	Выполнение домашних заданий
2. Элементы алгебры логики	185	1.Формы задания и опи- сания булевых функций. 2.Минимизация буле- вых функций	40 б.	ИДЗ по алгебре логики - 120 баллов
3. Основы теории ве - роятностей и математичес-кой статисти- ки	595	1.События. Вероятность событий. Теоремы тео- рии вероятностей 2.Случайные величины Законы распределения случайных величин 3.Числовые характе- ристики. 4.Статистическая обра- ботка результатов наблюдений. 5.Точечное и интерваль- ное оценивание парамет- ров. 6. Статистическая про- верка гипотез.	200 б.	Выполнение домашних заданий. Контрольная работа по теории веро- ятностей - 100 баллов. ИДЗ по ста- тистике - до 200 баллов

Общая сумма баллов складывается:

1. Посещение лекций - 5 баллов

2. Работа на практическом занятии и выполнение

домашнего задания - до 20 баллов

3. Выполнение первого ИДЗ - до 120 баллов

4. Выполнение контрольной работы - до 100 баллов

5. Выполнение второго ИДЗ - до 200 баллов

6. Экзамен: отлбаллов

хорбаллов

удбаллов

ПАМЯТКА СТУДЕНТУ

по рейтинг-системе по дисциплине

Математические основы теории систем”

(лекции - 54 часа, практич. занятия - 36 часов)

гр. 8А61, 8А62.

Максимальная сумма баллов по дисциплине (1000 баллов) складывается из:

1. Посещение лекций - 5 баллов (всего - до 130 баллов).

2. Работа на практических занятиях и выполнение домашних заданий - до 20 баллов ( всего - до 200 баллов);

3. Выполнение первого ИДЗ - до 120 баллов;

второго ИДЗ - до 200 баллов.

4. Выполнение контрольной работы - до 100 баллов.

4. Экзамен: отлбаллов

хорбаллов

удбаллов

Итоговую оценку студент получает по количеству баллов, набранных в семестре и на экзамене.

К экзамену допускаются студенты, набравшие в семестре не менее 450 баллов.

За пропуск занятия выставляется ноль баллов.

Промежуточные итоги подводятся на 9 , 17 неделях семестра.

5.3 Образцы контролирующих материалов.

5.3.1 Контрольные вопросы.

1 Логические операции: сложение ( дизъюнкция ),умножение ( конъюнкция ),

импликация, инверсия, эквивалентность.

2 Понятие булевой функции. Способы задания булевых функций.

3 Алгебраические формы булевых функций : нормальная дизъюнктивная форма

( НДФ ), нормальная конъюнктивная форма ( НКФ ).

4 Разложение функций алгебры логики по " единицам " и " нулям ".

СНДФ и СНКФ

5 Минимизация булевых функций. Метод непосредственного упрощения.

6 Случайные события и действия над ними.

7 Алгебра событий. Аксиоматическое определение вероятности ( аксиомы теории вероятностей ).

8 Следствия из аксиом теории вероятностей : вероятность противоположного

события; вероятность суммы совместных событий.

9 Классическое вероятностное пространство. Классическое определение

вероятности.

10 Геометрическая вероятность.

11 Условная вероятность. Независимость событий. Вероятность произведения событий.

12 Формула полной вероятности. Формула Байеса.

13 Понятие случайной величины. Интегральный закон распределения случайной

величины : функция распределения и ее свойства.

14 Ряд распределения дискретной случайной величины. Биномиальное и Пуассоновское распределения.

15 Плотность распределения вероятностей и ее свойства. Равномерное, показательное, нормальное распределения

16 Многомерные случайные величины (случайные векторы ). Многомерная

функция распределения случайного вектора.

17 Независимость случайных величин. Плотность распределения и ряд распределения системы двух независимых случайных величин.

18 Математическое ожидание и его свойства.

19 Дисперсия и ее свойства.

20 Понятие случайного процесса. Описание случайного процесса

21 Числовые характеристики ( по ансамблю ) случайного процесса: математическое ожидание, дисперсия, корреляционная функция.

22 Понятие стационарного случайного процесса ( в узком и широком смысле ).

23 Эргодичность и временные средние.

24 Спектр мощности случайного процесса.

25 Точечные оценки параметров распределения. Несмещенность и состоятельность оценки.

26 Метод максимального правдоподобия.

27 Метод моментов как метод точечной оценки параметров.

28 Интервальное оценивание параметров.

29 Построение доверительного интервала для математического ожидания

нормально распределенной случайной величины.

30 Интервальное оценивание дисперсии нормально распределенной случайной

величины.

31 Критерий согласия хи-квадрат Пирсона для проверки гипотезы о характере

закона распределения генеральной совокупности.

32 Критерий согласия Колмогорова.

5.3.2. Образцы вариантов индивидуальных заданий.

ИДЗ №1.

(Курс МОТС, раздел «Элементы алгебры логики»).

Вариант №1.

1. Доказать равносильность формул:

a) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) .

2. Задана булева функция

.

Требуется:

а) представить функцию в табличной форме

(приняв естественный порядок

расположения наборов);

б) построить матрицу Карно;

в) записать ;

г) для заданной функции записать СДНФ

и СКНФ;

д) найти минимальную дизъюнктивную

нормальную форму (МДНФ).

ИДЗ №2

(Курс МОТС, раздел «Математическая статистика»)

Задана выборка объема n=60 .

1. Вычисление выборочных характеристик:

а) выборочное среднее

; (1)

б) выборочная дисперсия

; (2)

в) построить статистический ряд распределения, разбив предварительно всю выборку на восемь интервалов. Результаты вычисления свести в таблицу.

Таблица 1

Интервалы			…………….
Середина Интервала			…………….
Абсолютная Частота			………………
Относительная Частота			………………

где - число элементов выборки, попавших в i-тый интервал

г) построить эмпирическую функцию распределение по формуле :

; (3)

где - число , меньше X.

2. Произвести интервальное оценивание параметров нормального распределения.

1.  Построение доверительного интервала для математического ожидания:

а) по заданной доверительной вероятности = 0.95 по таблицам t-распределения Стьюдента c (n-1) степенью свободы интерполяцией находится величина , удовлетворяющая условию:

;

б) определяется первый доверительный интервал для

математического ожидания по формуле:

;

где и найдены по формулам (1) и (2) выборочные

среднее и дисперсия;

в) по заданной доверительной вероятности =0.95 по

таблицам функции

обратной интерполяцией находится значение , для которого

;

г) строится второй доверительный интервал для математического ожидания по формуле:

2.  Построение доверительного интервала для дисперсии

а) по заданной доверительной вероятности =0.9 находятся вероятности выхода за левый и правый концы доверительного интервала ( и ) . (рис.1

x

а

б) ,

в) строится доверительный интервал для дисперсии по формуле:

.

3. Проверка гипотезы нормальности распределения генеральной совокупности с помощью критерия Пирсона.

Вычисленные в п.1 выборочные и принимаются в качестве параметров предполагаемого нормального закона распределения, т. е. плотность вероятности имеет вид:

(4)

1) Вычислить теоретические вероятности попадания

нормально распределенной случайной величины с параметрами , по формуле:

, i = 1,2,…,8 (5)

где определена формулой (4), а интервалы

(i = 1,2,…,8) определены в табл. 1.

Примечание. Если имеется табулированная функция

или ,

то вероятность попадания случайной величины, распределенной по нормальному закону с параметрами ,,

в интервал (,) вычисляются по формуле

2) Вычислить статистику -критерия Пирсона по формуле:

(6)

Эта статистика асимптотически распределена по закону (хи-квадрат) с пятью степенями свободы.

Выбирается критическая область критерия как область больших отклонений, т. е. выбирается такое «критическое» значение , что при нашей гипотезе вероятность события

очень мала и равна =0.05. Величина определяется по таблице - распределения с пятью степенями свободы

Если подсчитанное по формуле значение окажется больше порога , найденного по таблице, то гипотеза о принадлежности заданной выборки к нормально распределенной генеральной совокупности не принимается.

4. Построение гистограммы.

Для этого на полученных в п.1 интервалах как на основаниях строят прямоугольники, причем высота каждого i-го прямоугольника равна

, i = 1,2,…,8 , d-длина интервала.

5. Построение кривой предполагаемой плотности вероятности.

С этой целью на том же графике, что и гистограмма, строится кривая, заданная формулой (4). Сравнение построенной кривой с гистограммой может дать «визуальное» представление о справедливости выдвинутой гипотезы о нормальности распределения генеральной совокупности.

6. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ

ПО ДИСЦИПЛИНЕ

Перечень рекомендуемой литературы

6.1. Основная литература

6.1. Математические основы теории автоматического регулирования /Под ред. , т.1, 2. - М.: Высшая школа, 1977.

6.2. Коршунов основы кибернетики. - М.: Энергия, 1987.

6.3. Горбатов дискретной математики. - М.: Высшая школа, 1986.

6.4. Пространство состояний в теории управления. - М.: Наука, 1970.

6.2. Дополнительная литература

6.5. Вентцель вероятностей. - М.: Наука, 1999.

6.6. Гнеденко теории вероятностей. - М.: Наука, 1987.

6.7. Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных функций /Под ред. . - М.: Наука, 1970.

6.8. , Собакин устройства и их применение в автоматике. Учебное пособие. - Томск: Ротапринт ТПИ, 1982.

6.9. и др. Сборник задач по курсам “Теоретические основы кибернетики” и “Математические основы теории автоматического управления”. - Томск: Ротапринт ТПИ, 1975.