Таким образом, сложная ставка составляет всего 6,25%, вполне приемлемую величину. По этой сложной ставке 24 доллара тогда, 350 лет тому назад, соответствуют 40 миллиардам долларов сейчас.
Графики роста по этим двум ставкам преставлены на рис. 2.3.1. Обе линии начинаются и заканчиваются вместе: начинаются на высоте 24 и заканчиваются на высоте 40 млрд.
Прямая линия соответствует росту по простой ставке. Каждый год она поднимается на одну и ту же величину, равную годовым процентным деньгам. Эта величина превышает 114 млн долларов:
Годовой прирост, выраженный в процентах к величине, достигнутой в предыдущем году, т. е. процентный годовой прирост, является величиной переменной. Он изменяется от громадной величины 476190476% в начале срока,
114285714,22 / 24 = 4761904,76,
до весьма малой величины, менее трех десятых процента, в конце срока,
114285714,22 / (40000000000 − 114285714,22) = 0,00287.
Кривая на рис. 2.3.1 соответствует росту по сложной ставке. Ежегодный процентный прирост не изменяется и составляет 6,25% от уже достигнутой величины. Однако, выраженный в деньгах, такой прирост изменяется чрезвычайно сильно, от 1,50 долларов в начале срока до более чем двух миллиардов (точнее, 2354605551,10) долларов в конце срока.
Рис. 2.3.1. Рост по простой и сложной ставке
2.3.4. Непрерывный рост суммы и сила роста
Задание 1. Проведите расчет силы роста в зависимости от величины процентной ставки.
Методические указания. Воспользуйтесь формулой:
Обозначения в формулах смотри в контенте по соответствующей теме.
Решение. В табл. 2.3.4 дан ряд значений процентной ставки и соответствующей ей величины силы роста.
Таблица 2.3.4
Ставка процента | 0,01 | 0,05 | 0,10 | 0,15 | 0,20 | 0,25 | 0,30 | 0,35 |
Сила роста | 0,010 | 0,049 | 0,095 | 0,140 | 0,182 | 0,223 | 0,262 | 0,300 |
Табличные расчеты показывают, что при малых значениях процентная ставка практически совпадает с силой роста, однако с увеличением ставки расхождения между их численными значениями нарастают. При этом ставка процента по своему численному значению всегда оказывается больше силы роста.
Задание 2. Требуется рассчитать рост вклада в размере 100 тыс. руб. за 1,5 года по формуле сложных процентов с использованием 30%-ной годовой ставки и по формуле с использованием соответствующей величины силы роста.
Методические указания. Используйте таблицу, рассчитанную в предыдущем задании.
Решение. Согласно расчетам, приведенным в табл. 2.3.4, величине i = 0,35 соответствует α = 0,3.
По формуле сложных процентов:
По формуле с использованием силы роста:
2.3.5. Задания для самостоятельноговыполнения
Задание 1. Рассчитайте значения коэффициента нарастания по кварталам в течение одного года для простых и сложных процентных начислений при ставке 20% годовых. Что можно сказать о соотношении между этими коэффициентами в пределах одного года и за пределами года?
Задание 2. Рассчитайте значения коэффициента нарастания по полугодиям в течение одного года для простых и сложных процентных начислений при ставке 30% годовых. Что можно сказать о соотношении между этими коэффициентами в пределах одного года и за пределами года?
Задание 3. Рассчитайте значения коэффициента нарастания по месяцам в течение одного года для простых и сложных процентных начислений при ставке 30% годовых. Что можно сказать о соотношении между этими коэффициентами в пределах одного года и за пределами года?
Задание 4. Рссчитайте сроки утраивания по простой и по сложной ставке для различных вариантов величины ставки.
Задание 5. Рссчитайте сроки возрастания вклада в четыре раза по простой и по сложной ставке для различных вариантов величины ставки.
Задание 6. Кредит предоставляется на условиях 15% годовых по сложной процентной ставке. Какова эквивалентная ставка простых процентов при сроках: 1 месяц, полгода, год, 2 года?
Задание 7. Вклад положен в банк на условиях нарастания по 30 простых процентов в год. Определить эквивалентную ставку сложных процентов при сроках: 1 месяц, полгода, год, 2 года.
Задание 8. Проведите расчет силы роста в зависимости от величины процентной ставки: 0,4; 0,5; 0,6.
Задание 9. Требуется рассчитать рост вклада в размере 150 тыс. руб. за 2,5 года по формуле сложных процентов с использованием 20%-ной годовой ставки и по формуле с использованием соответствующей величины силы роста.
2.4. Дисконтирование по сложной ставке
2.4.1. Дисконтирование по сложной ставке процента
Задание 1. Какую сумму следует сейчас положить на счет на условиях нарастания в соответствии с формулой сложных процентов по ставке 20% годовых, чтобы через 5 лет получить 100 тыс. рублей? Чтобы через 20 лет получить 100 тыс. рублей?
Определите величину дисконта.
Методические указания. Используйте формулу дисконтирования по сложной процентной ставке:
и формулу дисконта:
D = S – P.
Обозначения в формулах смотри в контенте по соответствующей теме.
Решение. В нашем примере
S = 100; i = 0,2.
Для t = 5:
Для t = 20:
Таким образом, на 5 лет достаточно положитьруб., а на 20 лет гораздо меньшую сумму – 2 608 руб. Каждая из этих сумм через указанное время превратится в руб. Дисконтирующий множитель в первом случае равен 0,40188, а во втором случае 0,020608. Дисконт в первом случае равен:
В примере рассмотрен случай с целым числом периодов начисления. В том случае, когда количество периодов не является целочисленным, используют тот из подходов, который соответствует способу начисления процентов. В зависимости от того, предполагается ли при начислении использовать уравновешенную или относительную ставку, тот же вид ставки применяется и при дисконтировании.
Задание 2. Определите результаты дисконтирования одной и той же суммы 100 тыс. руб. по простой и по сложной процентной ставке 30% годовых за полугодие и за три года.
Методические указания. Используйте формулы дисконтирования по простой и по сложной процентной ставке:
Обозначения в формулах смотри в контенте по соответствующей теме.
Решение. За полугодие дисконтирование по простой ставке дает величину:
Дисконтирование по сложной ставке за тот же срок дает большую величину:
За трехлетний срок дисконтирование по простой ставке приводит к величине:
За тот же период дисконтирование по сложной ставке приводит к заметно меньшей величине:
2.4.2. Сложная учетная ставка
Задание. Долговое обязательство на сумму 100 тыс. рублей учитывается по сложной учетной ставке 20% годовых за полтора года до наступления срока его погашения. Определить текущую стоимость этого обязательства и величину дисконта.
Методические указания. Воспользуйтесь формулами:
Обозначения в формулах смотри в контенте по соответствующей теме.
Решение. В данном примере:
S = 100; d = 0,2; t = 1,5.
Требуется найти: P и D = S – P,
Текущая стоимость обязательства равнаруб., дисконт составляетруб.
2.4.3. Задания для самостоятельного выполнения
Задание 1. Какую сумму следует сейчас положить на счет на условиях нарастания в соответствии с формулой сложных процентов по ставке 22% годовых, чтобы через 4 года получить 100 тыс. рублей? Определите величину дисконта.
Задание 2. Какую сумму следует сейчас положить на счет на условиях нарастания в соответствии с формулой сложных процентов по ставке 22% годовых, чтобы через 20 лет получить 100 тыс. рублей?
Определите величину дисконта.
Задание 3. Определите результаты дисконтирования одной и той же суммы 200 тыс. руб. по простой и по сложной процентной ставке 25% годовых за полугодие и за два года.
Задание 4. Долговое обязательство на сумму 150 тыс. рублей учитывается по сложной учетной ставке 25% годовых за 2,5 года до наступления срока его погашения. Определить текущую стоимость этого обязательства и величину дисконта.
Задание 5. Какую величину необходимо положить в банк под 15% годовых, чтобы через 3 года получить руб. Расчеты провести по сложной и простой процентной ставке.
2.5. Годовые, квартальные, месячные учетные ставки
2.5.1. Уравновешенные учетные ставки
Задание 1. Годовая учетная ставка равна 20%. Найти уравновешенную полугодовую, квартальную, месячную и дневную учетную ставку.
Методические указания. Воспользуйтесь формулами перевода сложных учетных ставок для разных периодов времени.
Решение.
Таким образом, в процентном выражении уравновешенные учетные ставки принимают следующие значения: полугодовая 10,56%, квартальная 5,42%, месячная 1,84%, дневная 0,06%.
Задание 2. Учетная ставка за период 2,5 месяца установлена в размере 5%. Найти эквивалентную ей ставку за период 6 месяцев.
Методические указания. Воспользуйтесь формулой:
.
Обозначения в формулах смотри в контенте по соответствующей теме.
Решение. Введем обозначения:
t = 2,5; d = 0,05; t' = 6.
Требуется найти d'.
В соответствии с формулой
получаем:
Отсюда:
В процентном выражении учетная ставка за шестимесячный период составляет 11,58%.
2.5.2. Относительные учетные ставки
Задание. Для 20%-ной годовой учетной ставки рассчитать относительные учетные ставки для разных периодов времени и с их помощью определить величину дисконтного множителя за 6-месячный период времени.
Методические указания. Используйте формульные расчеты в соответствии с формулами относительных учетных ставок.
Решение. Согласно условию, d = 0,2.
Отсюда:
В соответствии со значениями относительных учетных ставок вычисляем величину дисконтного множителя на полугодовой период:
Полученные результаты численно различаются. Если договаривающиеся стороны не готовы пренебречь такими различиями, то в договоре должна быть указана формула расчета.
Отметим, что для этой же номинальной годовой учетной ставки были рассчитаны уравновешивающие ставки для различных периодов времени. Все они дают одну и ту же точную величину дисконтного множителя, равную 0,8944 и отличающуюся от всех вариантов, полученных с помощью относительных ставок.
2.5.3. Задания для самостоятельного выполнения
Задание 1. Годовая учетная ставка равна 30%. Найти уравновешенную полугодовую, квартальную, месячную и дневную учетную ставку.
Задание 2. Учетная ставка за период 3,5 месяца установлена в размере 7%. Найти эквивалентную ей ставку за период 6 месяцев.
Задание 3. Учетная ставка за период 3 месяца установлена в размере 5%. Найти эквивалентную ей ставку за период 4 месяца.
Задание 4. Для 18%-ной годовой учетной ставки рассчитать относительные учетные ставки для разных периодов времени и с их помощью определить величину дисконтного множителя за 4-месячный период времени.
Задание 5. Для 15%-ной годовой учетной ставки рассчитать относительные учетные ставки для разных периодов времени и с их помощью определить величину дисконтного множителя за 8-месячный период времени.
2.6. Дисконтирование по простым и сложным учетным ставкам
2.6.1. Характеристики дисконтирования по простым и сложным учетным ставкам
Задание. Рассчитайте дисконтный множитель по простой и по сложной учетной ставке при одной и той же величине учетной ставки 20% годовых в пределах одного года и за пределами года.
Методические указания. Для расчетов воспользуйтесь выражениями:
Обозначения в формулах смотри в контенте по соответствующей теме.
Решение. В табл. 2.6.1 представлена величина дисконтного множителя в течение одного года при учете с простой и сложной ставкой при величине ставки, равной 20% годовых.
Таблица 2.6.1
Срок t (квартал) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
Простая ставка (1 – d t) | 1,0000 | 0,9500 | 0,9000 | 0,8500 | 0,8000 |
Сложная ставка (1 – d)t | 1,0000 | 0,9457 | 0,8944 | 0,8459 | 0,8000 |
На концах периода дисконтные множители, рассчитанные разными способами, совпадают. Внутри периода они расходятся, причем множители по простой ставке выше множителя по сложной. Наибольшее расхождение (около 5,6%) приходится на середину периода (2 квартал).
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 |
