В табл. 2.6.2 рассчитана величина дисконтного множителя в течение нескольких лет при тех же условиях.
Таблица 2.6.2
Срок t (годы) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
Простая ставка (1 – d t) | 0,80 | 0,60 | 0,40 | 0,20 | 0,00 |
Сложная ставка (1 – d)t | 0,80 | 0,64 | 0,51 | 0,41 | 0,33 |
Дисконтирование по сложной ставке идет замедленно, а по простой – равномерно, расхождения между дисконтными множителями, рассчитанными по одинаковым величинам простой и сложной ставки, постепенно нарастают.
2.6.2. Связь между простыми и сложными учетными ставками
Задание 1. Вексель учитывается по учетной ставке 20 сложных годовых процентов. Какова эквивалентная ей простая учетная ставка при сроках: 1 месяц, полгода, год, 2 года?
Методические указания. Используйте формулу:
Обозначения в формулах смотри в контенте по соответствующей теме.
Решение. По условию d = 0,2. В соответствии с формулой для t = 1/12 получаем:
Аналогично для t = 0,5 получаем:
Для t = 1:
Для t = 2:
Расчеты показывают характер изменения величины эквивалентной простой учетной ставки при изменении длины промежутка времени.
В задании продемонстрирован расчет эквивалентной простой учетной ставки по заданной сложной ставке. В следующем задании следует провести противоположный расчет, расчет сложной учетной ставки по заданной простой ставке.
Задание 2. Вексель учитывается по простой учетной ставке из расчета 20% годовых. Определить величину эквивалентной ей сложной учетной ставки для промежутков времени: 1 месяц, полгода, год, 2 года.
Методические указания. Воспользуйтесь формулой:
Обозначения в формулах смотри в контенте по соответствующей теме.
Решение. По условию примера d = 0,2. В соответствии с расчетной формулой, получаем для t = 1/12:
По той же формуле для t = 0,5 получаем:
Далее, для t = 1:
Наконец, для t = 2:
Проведенные расчеты демонстрируют характер изменения сложной учетной ставки при изменении длины промежутка времени.
2.6.3. Непрерывное дисконтирование и сила дисконта
Задание. Рассчитайте эквивалентную величину силы дисконта для различных величин учетной ставки.
Методические указания. Воспользуйтесь формулой:
Обозначения в формулах смотри в контенте по соответствующей теме.
Решение. В табл. 2.6.3 представлен ряд значений учетных ставок и соответствующий ряд значений силы дисконта.
Таблица 2.6.3
Учетная ставка d | 0,01 | 0,05 | 0,10 | 0,15 | 0,20 | 0,25 | 0,30 | 0,35 |
Сила дисконта β | 0,010 | 0,051 | 0,105 | 0,162 | 0,223 | 0,288 | 0,357 | 0,431 |
2.6.4. Задания для самостоятельного выполнения
Задание 1. Рассчитайте дисконтный множитель по простой и по сложной учетной ставке при одной и той же величине учетной ставки 30% годовых в пределах одного года и за пределами года.
Задание 2. Вексель учитывается по учетной ставке 18 сложных годовых процентов. Какова эквивалентная ей простая учетная ставка при сроках: 1 месяц, полгода, год, 2 года?
Задание 3. Вексель учитывается по простой учетной ставке из расчета 22% годовых. Определить величину эквивалентной ей сложной учетной ставки для промежутков времени: 1 месяц, полгода, год, 2 года.
Задание 4. Рассчитайте эквивалентную величину силы дисконта для различных величин учетной ставки: 0,4; 0,45; 0,5.
2.7. Параметры расчетов с процентными и учетными ставками
2.7.1. Расчет продолжительности срока по процентным ставкам
Задание 1. Банк принимает вклады по процентной ставке, равной 24% годовых. Какой срок вклада обеспечивает его 7-кратный рост по простой процентной ставке? по сложной процентной ставке?
Методические указания. Воспользуйтесь формулами:
Обозначения в формулах смотри в контенте по соответствующей теме.
Решение. Найдем отдельно результаты для простой и для сложной ставки.
1. Срок для простой процентной ставки определяется формулой
2. Срок для сложной процентной ставки определяется формулой
Задание 2. Номинальная ставка сложного процента составляет 24% годовых. На какой срок следует открыть вклад размером 100 тыс. руб., чтобы он вырос до величины 800 тыс. руб.? Расчет провести при номинальной годовой, уравновешенной и относительной месячных ставках и для ставки непрерывных процентов.
Методические указания. Воспользуйтесь формулами:
Обозначения в формулах смотри в контенте по соответствующей теме.
Решение. Согласно условиям примера,
Р = 100, S = 800, i = 0,24.
В соответствии с формулой определяем необходимую продолжительность срока для исходной годовой процентной ставки:
Таким образом, продолжительность срока составляет 9,667 лет.
Вычислим этот срок на основе уравновешенной месячной ставки. Величина этой ставки определяется формулой
Продолжительность срока, рассчитанная на основе этой месячной ставки, составит следующую величину:
Мы получили тот же результат (расхождение на 1 в последнем знаке связано с погрешностью округлений при вычислениях).
Определим теперь продолжительность срока на основе относительной ставки. Величина этой ставки i?мес определяется формулой
Продолжительность срока, рассчитанная на основе относительной ставки, равна следующей величине:
Продолжительность срока составляет по этой ставке 8,75 лет, что на 11 месяцев меньше срока по предыдущим расчетам.
Вкладчику выгоднее, чтобы расчеты с ним велись по относительной ставке процента. Банку, напротив, выгоднее расчеты с вкладчиком по уравновешенной ставке. Вопрос о способе расчета должен быть оговорен заранее.
Естественная согласованность расчетов возникает при использовании уравновешенной ставки.
Рассчитаем продолжительность срока по формуле, основанной на использовании силы роста. Величина силы роста определяется соотношением:
Отсюда
Результат расчета совпадает с тем, который был получен для исходной и для уравновешенной ставки.
2.7.2. Расчет продолжительности срока по учетным ставкам
Задание. Сложная учетная годовая ставка равна 20%. За какое время до истечения срока векселя на 500 тыс. руб. следует его учесть, чтобы получить по нему 350 тыс. руб.? Расчет провести для различных видов ставок.
Методические указания. Воспользуйтесь формулами:
Обозначения в формулах смотри в контенте по соответствующей теме.
Решение. В соответствии с условием,
Р = 350, S = 500, d = 0,2.
Срок дисконтирования по исходной годовой учетной ставке определяем по формуле
Для получения по векселю 350 тыс. руб. его следует учесть за 1,598 лет до указанного в векселе срока.
Эту же величину можно вычислить на основе уравновешенной месячной учетной ставки. Величина этой ставки определяется по формуле
Срок дисконтирования по такой месячной ставке рассчитывается следующим образом:
Мы получили то же время, что и при предыдущем способе расчета.
Вычислим теперь этот срок на основе относительной месячной учетной ставки. Величина такой ставки d' определяется выражением
d' = d/12 = 0,01667.
Расчет проводим по формуле
Мы видим, что срок дисконтирования вырос. Отсюда следует, что ту же сумму 350 тыс. руб. можно получить при учете данного векселя за большее время до истечения его срока. Держателю векселя выгоднее, чтобы дисконтирование шло по относительной учетной ставке, чем по номинальной или уравновешенной учетной ставке.
Рассмотрим теперь расчет времени с использованием силы дисконта. Сила дисконта b определяется формулой
Отсюда получаем:
Мы получили прежний результат, как и следовало ожидать.
2.7.3. Расчет величины процентной ставки
Задание 1. При какой величине годовой процентной ставки срок удвоения вклада составляет 8 лет? Ответ следует найти для простой и для сложной процентной ставки.
Методические указания. Воспользуйтесь формулами расчета простой и сложной ставки.
Решение.
1. Простая процентная ставка определяется формулой
т. е. величина простой процентной ставки составляет 12,5% годовых.
2. Сложная процентная ставка определяется формулой
т. е. величина сложной процентной ставки составляет приблизительно 9% годовых.
Задание 2. Какова должна быть процентная ставка для того, чтобы сумма задолженности удвоилась за 3 года? Провести расчеты для начисления годовой ставки, различных способов начисления месячной ставки и для непрерывной процентной ставки.
Методические указания. Воспользуйтесь формулами расчета процентных ставок.
Решение. В нашем примере:
S/P = 2; t = 3; m =12.
В соответствии с формулами находим процентные ставки. Годовая ставка i при годовом начислении процентов:
Годовая ставка в процентном выражении равна 26%. Уравновешенная месячная ставка i' определяется формулой
Уравновешенная месячная ставка в процентном выражении есть 1,944%. Если величину 
возвести в 12-ю степень, то получится 1,26. Таким образом, 
, расчеты по годовой и месячной ставке согласованы друг с другом.
Рассмотрим теперь относительную месячную ставку. Она рассчитывается по той же формуле, что и уравновешенная, т. е. для относительной, как и для уравновешенной:
i' = 0,01944.
Рассмотрим теперь относительную месячную ставку. К ее расчету можно подойти двумя способами.
По первому способу расчета, когда месячная ставка i' определяется на основе годовой ставки i, имеем:
По второму способу расчета, когда месячная ставка i' определяется непосредственно, а уже потом по ней вычисляется годовая, имеем:
Формула расчета и численный результат совпадают с формулой и результатом для уравновешенной ставки и отличаются от того, что было получено для относительной ставки первым способом. Годовая ставка i, рассчитанная по такой относительной ставке, будет равна следующей величине:
Это отличается от величины 0,26, полученной первым способом.
Таким образом, при расчетах с использованием относительной ставки следует заранее оговорить способ расчета. Для уравновешенных ставок это не требуется.
Найдем теперь силу роста в условиях примера по формуле:
Эту же величину можно получить и другим способом. Поскольку мы уже определили годовую ставку i = 0,26, то можно воспользоваться другой формулой:
Результаты расчетов совпадают.
2.7.4. Расчет величины учетной ставки
Задание. Вексель учитывается за два года до срока уплаты. Какова должна быть величина сложной учетной ставки, чтобы владелец векселя получил 60% от его суммы? Провести расчет для разных вариантов учетных ставок.
Методические указания. Воспользуйтесь формулами расчета учетных ставок.
Решение. По условию примера,
P / S = 0,6; t = 2.
Годовая учетная ставка d рассчитывается в соответствии с формулой
Таким образом, сложная годовая учетная ставка, выраженная в процентах, равна 22,54%.
Уравновешенная месячная учетная ставка d' рассчитывается через полученную годовую ставку d по формуле
Эту же ставку можно вычислить непосредственно по исходным данным:
Для относительной ставки разные способы расчета дают различные результаты. В соответствии с первым способом, d' определяется по годовой ставке d:
Согласно второму способу, d' рассчитывается непосредственно и равно уже вычисленному значению 0,021. По этой ставке определяется теперь годовая ставка d в соответствии с формулой
Эта величина отличается от той величины годовой ставки, которая была получена в начале решения примера.
Таким образом, если имеют дело с относительной ставкой, то должен быть оговорен способ ее расчета.
Наконец, для непрерывной учетной ставки получаем:
2.7.5. Задания для самостоятельного выполнения
Задание 1. Банк принимает вклады по процентной ставке, равной 14% годовых. Какой срок вклада обеспечивает его 6-кратный рост по простой процентной ставке?
Задание 2. Банк принимает вклады по процентной ставке, равной 14% годовых. Какой срок вклада обеспечивает его 6-кратный рост по сложной процентной ставке?
Задание 3. Номинальная ставка сложного процента составляет 14% годовых. На какой срок следует открыть вклад размером 120 тыс. руб., чтобы он вырос до величины 900 тыс. руб.? Расчет провести при номинальной годовой и уравновешенной ставках и для ставки непрерывных процентов.
Задание 4. Номинальная ставка сложного процента составляет 14% годовых. На какой срок следует открыть вклад размером 120 тыс. руб., чтобы он вырос до величины 900 тыс. руб.? Расчет провести при номинальной годовой и относительной месячных ставках.
Задание 5. Сложная учетная годовая ставка равна 17%. За какое время до истечения срока векселя на 400 тыс. руб. следует его учесть, чтобы получить по нему 300 тыс. руб.? Расчет провести для различных видов ставок.
Задание 6. При какой величине годовой процентной ставки срок удвоения вклада составляет 5 лет? Ответ следует найти для простой и для сложной процентной ставки.
Задание 7. При какой величине годовой процентной ставки срок утраивания величины вклада составляет 6 лет? Ответ следует найти для простой и для сложной процентной ставки.
Задание 8. Какова должна быть процентная ставка для того, чтобы сумма задолженности выросла в четыре за 5 лет? Провести расчеты для начисления годовой ставки, различных способов начисления месячной ставки и для непрерывной процентной ставки.
Задание 9. Вексель учитывается за три года до срока уплаты. Какова должна быть величина сложной учетной ставки, чтобы владелец векселя получил 50% от его суммы? Провести расчет для разных вариантов учетных ставок.
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 |
