Тема 2. Сложные процентные и учетные ставки (стр. 1 )

Тема 2. Сложные процентные и учетные ставки

Тема 2. Сложные процентные и учетные ставки

2.1. Сложные процентные ставки

2.1.1. Рост суммы при нецелом числе периодов времени

Задание. Денежная сумма 100 тыс. руб. положена на счет на условиях начисления сложных процентов по ставке 5% в месяц. Через шесть с половиной месяцев вкладчик решил закрыть счет. Какая сумма причитается вкладчику? Проведите расчет разными способами: по формуле сложных процентов, по смешанной формуле, по формуле, не учитывающей дробную часть периода.

Методические указания. Воспользуйтесь формулами:

где [t] – целая часть периода t, а {t} – дробная часть того же периода.

Обозначения в формулах смотри в контенте по соответствующей теме.

Решение. При расчете по первому способу, по чистой формуле сложных процентов, получаем:

При расчете по второму способу, по смешанной формуле, получаем:

что на 41 руб. больше, чем при первом способе.

Наименьшая сумма получается при способе расчета, когда дробная часть периода отбрасывается. При этом

Использование разных способов расчета приводит к различным результатам. Вкладчику при оформлении договора необходимо уточнить, как проводятся расчеты в данной финансовой организации.

2.1.2. Сложная переменная ставка и средние геометрические величины

Задание 1. Пусть промежуток t1 составляет 1,5 года, промежуток t2 – 1 год и промежуток t3 – 2,5 года. Общий срок вклада T равен 5 годам. Соответствующие годовые процентные ставки:

i1 = 40%;  i2 = 60%;  i3 = 20%.

Определть среднюю процентную ставку i.

Методические указания. Воспользуйтесь формулой средней сложной ставки:

Обозначения в формулах смотри в контенте по соответствующей теме.

Решение. Найдем доли промежутков времени:

t1 = 1,5/5=0,3,  t2 = 1/5=0,2,  t3 = 2,5/5=0,5.

Определим среднюю сложную процентную ставку i:

Средняя ставка составляет 33% годовых (1,33−1=0,33=33%).

Если бы промежутки были одинаковой длительности, то средний коэффициент роста оказался бы равен среднему геометрическому отдельных коэффициентов:

Средняя ставка в этом случае составила бы 39% годовых.

Задание 2. Пусть по условиям договора первый год наращения суммы идет по ставке 5% в месяц, затем еще полгода по ставке 4% в месяц, а потом еще полгода по ставке 3% в месяц. Определить, до какой суммы за два года вырастет первоначальный вклад размера 100 тыс. руб.

Методические указания. Воспользуйтесь формулой роста по сложной переменной ставке:

Обозначения в формулах смотри в контенте по соответствующей теме.

Решение.

Задание 3. Средствами Excel сформируйте расчетную таблицу для определения роста вклада по сложной переменной процентной ставке и расчета величины средней ставки. Постройте соответствующие графики.

Методические указания. Возьмите за основу предыдущее задание. Следует, однако, построить расчетную таблицу, ориентированную не только на конкретные, но и на произвольные исходные данные. Важно отметить, что не только длины периодов времени, но и число таких периодов может быть не известно заранее.

Решение. Результаты расчета представлены в табл. 2.1.1.

Таблица 2.1.1

Эта таблица аналогична приведенной раньше табл. 1.1.1, построенной для расчетов с простой процентной ставкой. Ее можно получить из табл. 1.1.1 соответствующей перестройкой.

В ячейки строк 1, 2, 4, 6, 8, 10, 12 и 14 введены заголовки. Ячейки строк 3 и 5, а также ячейка А7 содержат исходные данные для расчета. Числа в этих ячейках отмечены жирным шрифтом.

Остальные ячейки содержат расчетные формулы. Они приведены в таблице 2.1.2.

Таблица 2.1.2

Укажем порядок ввода формул в таблицу Excel, при котором последовательность расчета становится особенно простой и естественной.

1. В ячейку В2 вводим формулу

=СУММ(5:5)

для расчета общего срока вклада. Суммируется вся строка 5, содержащая не только заданные в примере сроки, но и пустые ячейки, в которые такие сроки могут быть впоследствии дополнительно введены.

2. Вводятся формулы расчета долей сроков в строку 9. Для этого выделяется вся строка 9, после этого строится формула

=А5/$B7.

Ввод завершается нажатием сочетания клавиш Ctrl+Enter (ввод в диапазон). Таким образом, доли сроков оказываются рассчитанными не только для имеющихся сроков из строки 5, но и для пустых ячеек этой строки, в которых такие сроки могут в будущем появиться. Пока эти ячейки пустые, их доли времени при расчете автоматически оказываются равными 0.

3. Вводятся формулы расчета роста вклада в строку 13. Для этого следует выделить всю строку 13, перейти по клавише Enter в ячейку В13, сформировать формулу

=А13*(1+В3)^В5

и ввести ее во всю строку 13 нажатием клавиш Ctrl+Enter. Затем в ячейку А13 ввести формулу

=А7.

4. Вводятся формулы для расчета сомножителей в строку 15. Для этого следует выделить всю строку 15, сформировать формулу

=(1+А3)^A9

и ввести ее в выделенную строку 15, нажав клавиши Ctrl+Enter.

5. В ячейку С7 вводится формула расчета средней ставки

=ПРОИЗВЕД(15:15) – 1.

6. В ячейку D7 вводится формула расчета итоговой величины вклада

7. =А7*(1+C7)^B7.

На этом формирование расчетной таблицы заканчивается.

Дальше можно обратиться к Мастеру диаграмм и построить графики, отражающие рост вклада по сложной переменной ставке и по средней ставке. Такие графики представлены на рис. 2.1.1.

Рис. 2.1.1. Рост вклада по сложной переменной и по средней ставке

2.1.3. Расчет темпов инфляции

Задание. В табл. 2.1.3 представлены цепные темпы инфляции в экономике России за 1994 год (в числовом формате).

Таблица 2.1.3

Месяц	янв.	февр.	март	апр.	май	июнь	июль	авг.	сент.	окт.	нояб.	дек.
Цепной темп	0,210	0,100	0,089	0,097	0,081	0,050	0,050	0,046	0,077	0,150	0,140	0,164

Рассчитайте основные характеристики инфляции по этим данным.

Методические указания. Темп инфляции характеризует процентный прирост уровня цен. Индекс инфляции показывает, во сколько раз изменился уровень цен за анализируемый период. Индекс и темп за один и тот же период времени связаны соотношением:

I = 1 + h.

Темпы показывают инфляционный прирост уровня цен на конец данного месяца по отношению к концу предыдущего месяца. Для определения прироста уровня цен по отношению к фиксированной базе – началу года (или концу предыдущего года) следует преобразовать цепные темпы в базовые.

Обозначения в формулах смотри в контенте по соответствующей теме.

Решение. Сначала переведем цепные темпы в цепные индексы. Цепные индексы (в числовом формате) представлены в табл. 2.1.4.

Таблица 2.1.4

Месяц	янв.	февр.	март	апр.	май	июнь	июль	авг.	сент.	окт.	нояб.	дек.
Цепной индекс	1,210	1,100	1,089	1,097	1,081	1,050	1,050	1,046	1,077	1,150	1,140	1,164

Последовательным умножением цепные индексы переводятся в базовые. Например, апрельский базовый индекс – это результат перемножения январского, февральского, мартовского и апрельского цепных индексов. Базовые индексы даны в табл. 2.1.5.

Таблица 2.1.5

Месяц	янв.	февр.	март	апр.	май	июнь	июль	авг.	сент.	окт.	нояб.	дек.
Базов. индекс	1,210	1,331	1,449	1,590	1,719	1,805	1,895	1,982	2,135	2,455	2,799	3,258

Теперь базовые индексы инфляции можно преобразовать в базовые темпы инфляции. Для этого следует вычесть из индекса 1 и, если требуется, перевести темпы в процентный формат. Результаты представлены в следующей табл. 2.1.6.

Таблица 2.1.6

Месяц	янв.	февр.	март	апр.	май	июнь	июль	авг.	сент.	окт.	нояб.	дек.
Базов. темп	0,210	0,331	0,449	0,590	0,719	0,805	0,895	0,982	1,135	1,455	1,799	2,258

Средний индекс инфляции определяется корнем 12-й степени из произведения цепных индексов, т. е. из базового декабрьского индекса:

Таким образом, средний темп инфляции составляет 0,103, или 10,3%, в месяц.

Аналогичным образом можно сосчитать средний индекс и средний темп инфляции в отдельных интервалах времени, например, в отдельных кварталах.

В первом квартале месячный средний индекс равен:

Средний месячный темп инфляции в первом квартале равен 0,132, или 13,2%.

Во втором квартале средний месячный индекс равен:

Средний месячный темп инфляции во втором квартале равен 0,076, или 7,6%.

В третьем квартале средний индекс равен:

Средний месячный темп инфляции в третьем квартале равен 0,058, или 5,8%.

В четвертом квартале средний индекс равен:

Средний месячный темп инфляции в первом квартале равен 0,151, или 15,1%.

Можно провести расчет средней месячной величины индекса, полученной по средним квартальным:

Он, естественно, приводит опять к уже известной средней месячной величине индекса за год.

2.1.4. Задания для самостоятельного выполнения

Задание 1. Денежная сумма 150 тыс. руб. положена на счет на условиях начисления сложных процентов по ставке 4% в месяц. Через семь с половиной месяцев вкладчик решил закрыть счет. Какая сумма причитается вкладчику? Проведите расчет разными способами: по формуле сложных процентов, по смешанной формуле, по формуле, не учитывающей дробную часть периода.

Задание 2. Пусть промежуток t1 составляет 2,5 года, промежуток t2 – 1 год и промежуток t3 – 3,5 года. Общий срок вклада T равен 7 годам. Соответствующие годовые процентные ставки:

i1 = 45%;  i2 = 50%;  i3 = 25%.

Определть среднюю процентную ставку i.

Задание 3. По условиям договора первый год наращения суммы идет по ставке 8% в месяц, затем еще полгода по ставке 6% в месяц, а потом еще полгода по ставке 4% в месяц. Определить, до какой суммы за два года вырастет первоначальный вклад размера 200 тыс. руб.

Задание 4. В таблице представлены цепные темпы за 1 год (в числовом формате):

Месяц	янв.	февр.	март	апр.	май	июнь	июль	авг.	сент.	окт.	нояб.	дек.
Цепной темп	0,150	0,100	0,079	0,087	0,085	0,080	0,075	0,050	0,078	0,090	0,095	0,100

Рассчитайте основные характеристики инфляции по этим данным.

2.2. Годовые, квартальные, месячные ставки процента

2.2.1. Уравновешенные ставки процента