Лекция №6. Координаты и проекции (стр. 2 )

6.5.  Проекции и проекционные преобразования

Координаты точек пространственных объектов используют для ука­зания местоположения объектов на земной поверхности. Поверхность Земли имеет сложную форму. При составлении карт пространственное положение точек отображается в плоском (двухмерном) представлении. Для отображения положения точек поверхности на плоскости применя­ют различные математические модели поверхности, задающие различ­ные картографические проекции.

Проекция – это математическая модель, преобразующая места расположения объектов на поверхности Земли в их места расположения на двумерной поверхности. Некоторые из картографических поверхностей сохраняют точность площади, расстояния или направления.

Группа математических процедур ГИС, осуществляющая переход от одной картографической проекции к другой или от пространствен­ной системы к картографической проекции, носит название проекционных преобразований. Эта группа реализуется методами моделиро­вания, образуя единый блок. В этот блок входят и различные процедуры обработки пространственных данных для получения новых проекций на основе исходных. Эти процедуры включают и простые операции пе­ресчета координат пространственных объектов (поворота, смещения, масштабирования и т. п.), более сложные (связанные, например, с "ук­ладкой" объектов в систему опорных точек) и самую сложную подгруп­пу операций (трансформация картографических проекций).

Число проекционных преобразований в блоках моделирования ГИС различно: в системе ER Mapper их свыше 700, в ГеоГраф - около трех десятков, а в некоторых настольных системах (DeskTop GIS) их нет вообще.

Рассмотрим наиболее общие классы проекционных преобразований [2] для решения задач в ГИС.

Преобразования картографических проекций применяют для перехода от исходной (хранимой в базе данных) картографической композиции к за­даваемой пользователем. В частности, когда цифровая карта (слой), выпол­ненная в известной проекции и соответствующая ее теоретическим коор­динатам, должна быть преобразована в географические координаты либо в другую картографическую проекцию.

Достоинством моделирования в ГИС является возможность трансформирования космического (или аэро-) снимка непосредственно в картографическую проекцию, минуя построение фотограмметрической модели или традиционное фотограмметрическое трансформирование сним­ков. Эта возможность предоставляется в пакетах ГИС, в первую очередь связанных с обработкой данных дистанционного зондирования.

Выделение подгруппы преобразования проекций связано с необхо­димостью интеграции данных из различных картографических источ­ников с разнородной математической основой. Карты могут отличаться моделью Земли, примененной при создании карты; картографической проекцией; системой координат, привязанной к используемой модели Земли.

Технологически для проекционных преобразований в ГИС необхо­димо создать файл описания картографической проекции и выбрать ис­ходный файл. Из набора типов преобразований выбирают необходимое, задают требуемые параметры, и проекционное преобразование осуще­ствляется автоматически путем создания новой картографической про­екции в заданном слое и соответствующем файле.

Проекционные преобразования требуют рассмотрения различных классов проекций, применяемых для создания карт[2]. Картографичес­кие проекции классифицируют по различным признакам, например в зависимости от характера и размера искажений.

Равноугольные проекции (conformai projection) сохраняют без иска­жений углы и формы малых объектов, но в них резко деформируются длины и площади объектов. В математике такие преобразования назы­вают конформными.

Равновеликие проекции (equivalente projection) не искажают пло­щадей, но в них искажены углы и формы объектов. Первый вид проек­ций приемлем для прокладки маршрутов транспортных средств, второй - для определения площадей и землепользования.

Произвольные проекции (arbitrary projection) имеют искажения углов, площадей и длин, но эти искажения распределены по карте, например, так, что минимальные искажения имеются в центральной части и возрастают к краям. Среди произвольных проекций выделяют равнопромежуточные (equidistant projection), в которых искажения длин отсутствуют по одному из направлений: вдоль меридиана или вдоль параллели.

Конические проекции (konical projection). По характеру искажений конические проекции могут быть различными. Наибольшее распростране­ние получили равноугольные и равнопромежуточные проекции.

Образование конических проекций можно представить как проек­тирование земной поверхности на боковую поверхность конуса, опре­деленным образом ориентированного относительно земного шара (эл­липсоида) (рис. 5.1, а). В прямых конических проекциях оси земного шара и конуса совпадают. При этом конус берется или касательный, или секущий.

После проектирования боковая поверхность конуса разрезается по одной из образующих и развертывается в плоскость (рис. 5.1, б). При проектировании по методу линейной перспективы получаются перспек­тивные конические проекции, обладающие только промежуточными свойствами по характеру искажений.

Другой метод образования конических проекций - аналитический. В его основу положены уравнения проекций, вытекающие из их опреде­ления и формулы общей теории искажений. В конических проекциях имеются две постоянные проекции ее и с. Постоянная а равняется синусу широты стандартной параллели или, что то же самое, синусу угла при вершине конуса.

В зависимости от размеров изображаемой территории в конических проекциях принимаются одна или две параллели, вдоль которых сохра­няются длины без искажений. Одна параллель (касательная) принима­ется при небольшом протяжении по широте; две параллели (секущие) – при большом протяжении для уменьшения уклонений масштабов от еди­ницы. В литературе их называют стандартными параллелями.

Коническая проекция данной группы вполне определяется, если за­даны постоянные проекции или любые величины, с ними связанные. Это могут быть широты стандартных или крайних параллелей. В после­днем случае, например, может быть дополнено условие, чтобы масшта­бы на крайних параллелях и на параллели с наименьшим масштабом были равны по абсолютной величине.

Азимутальные проекции (azimuthal projection). В них параллели (альмукантараты) изображаются концентрическими окружностями, а меридианы (вертикалы) - пучком прямых, исходящих из центра (рис. 5.2, а).

 

 

Углы между меридианами проекции равны соответствующим раз­ностям долгот. Промежутки между параллелями определяются при­нятым характером изображения (равноугольным или другим) или спо­собом проектирования точек земной поверхности на картинную плос­кость.

Нормальная сетка азимутальных проекций ортогональна. Их мож­но рассматривать как частный случай конических проекций, в кото­рых a=1 (альфа=1).

Применяются прямые, косые и поперечные азимутальные проекции, что определяется широтой центральной точки проекции, выбор кото­рой зависит от расположения территории. Меридианы и параллели в косых и поперечных проекциях изображаются кривыми линиями, за исключением среднего меридиана, на котором находится центральная точка проекции. В поперечных проекциях прямой изображается также экватор: он является второй осью симметрии.

В зависимости от искажений азимутальные проекции подразделя­ются на равноугольные, равновеликие и с промежуточными свойства­ми. В проекции масштаб длин может сохраняться в точке или вдоль од­ной из параллелей (вдоль альмукантарата). В первом случае предпола­гается касательная картинная плоскость, во втором - секущая. В пря­мых проекциях формулы даются для поверхности эллипсоида или шара (в зависимости от масштаба карт), в косых и поперечных - только для поверхности шара (рис.5.2, б).

Цилиндрические проекции (cylindrical projection). В прямых ци­линдрических проекциях параллели и меридианы изображаются двумя семействами параллельных прямых линий, перпендикулярных друг дру­гу. Таким образом задается прямоугольная сетка цилиндрических про­екций (рис. 5.3, а).

Промежутки между параллелями пропорциональны разностям дол­гот. Промежутки между меридианами определяются принятым характе­ром изображения или способом проектирования точек земной поверх­ности на боковую поверхность цилиндра. Из определения проекций следует, что их сетка меридианов и параллелей ортогональна. Цилинд­рические проекции можно рассматривать как частный случай коничес­ких при (х=0 (вершина конуса в бесконечности).

По свойствам изображения проекции могут быть равноугольными, равновеликими и произвольными. Применяются прямые, косые и попе­речные цилиндрические проекции в зависимости от расположения изоб­ражаемой области. В косых и поперечных проекциях меридианы и параллели изображаются различными кривыми, но средний меридиан проекции, на котором располагается полюс косой системы, всегда прямой.

Существуют разные способы образования цилиндрических проек­ций. Наглядным представляется проектирование земной поверхности на боковую поверхность цилиндра (рис. 5.3, а), которая затем разверты­вается на плоскости [2] (рис.5.3, б). Цилиндр может быть касательным к земному шару или секущим его. В первом случае длины сохраняются по экватору, во втором - по двум стандартным параллелям, симметрич­ным относительно экватора.

Цилиндрические проекции применяются при составлении карт мелких и крупных масштабов - от общегеографических до специаль­ных. Так, например, аэронавигационные маршрутные полетные карты чаще всего составляются в косых и поперечных цилиндрических равно­угольных проекциях (на шаре).

В прямых цилиндрических проекциях одинаково изображаются одни и те же участки земной поверхности вдоль линии разреза - по восточ­ной и западной рамкам карты (дублируемые участки карты) и обеспечи­вается удобство чтения по широтным поясам (например, на картах рас­тительности, осадков) или по меридианальным зонам (например, на кар­тах часовых поясов).

Косые цилиндрические проекции при широте полюса косой сис­темы, близкой к полярным широтам, имеют географическую сетку, дающую представление о сферичности земного шара. С уменьшени­ем широты полюса кривизна параллелей увеличивается, а их протя­жение уменьшается, поэтому уменьшаются и искажения (эффект сфе­ричности).

В прямых проекциях полюс показывается прямой линией, по дли­не, равной экватору, но в некоторых из них (проекции Меркатора, Уэтча) полюс изобразить невозможно. Полюс представляется точкой в косых и поперечных проекциях. При ширине полосы до 4,5° можно использовать касательный цилиндр, при увеличении ширины поло­сы следует применять секущий цилиндр, т. е. вводить редукционный коэффициент.

Поликонические проекции (policonic projection). В них паралле­ли изображаются дугами эксцентрических окружностей с центрами на среднем (прямолинейном) меридиане или его продолжении, а меридиа­ны - кривыми, симметричными относительно среднего меридиана (рис. 5.4).

 

Рис. 5.4. Поликоническая проекция

 

Частным случаем поликонических проекций являются собственно поликонические проекции, для которых принимаются дополнительные условия, и круговые проекции с меридианами в виде дуг эксцентричес­ких окружностей.

К поликоническим проекциям в широком понимании относятся про­екция Таича (определялась аналитически) и проекции Гинзбурга (полу­чены численными методами).

Видоизмененная простая полнконнческая проекция. Она при­меняется как многогранная. Земная поверхность, принимаемая за по­верхность эллипсоида вращения, делится линиями меридианов и парал­лелей на трапеции.

При рассмотрении данной проекции учтем особенности ее приме­нения при создании карты масштаба 1:1

Трапеции изображаются на отдельных листах в одной и той же про­екции (для карты масштаба 1:1 в видоизмененной простой поликонической).

Листы международной карты мира масштаба 1:1 имеют определенные размеры сторон трапеций: по меридианам -4°, по парал­лелям - 6°; на широте от 60 до 76° листы сдваивают, они имеют размеры по параллелям 12°; выше 76° листы счетверяют, их протяжение по па­раллелям - 24°.

Применение проекции как многогранной определяет необходимость введения номенклатуры - системы обозначения отдельных листов.

Для карты масштаба 1:1 установлено обозначение трапеций по широтным поясам в направлении от экватора к полюсам буквами латинского алфавита (А, В, С, D и т. д.) и по колоннам - арабскими циф­рами (1, 2, 3, 4 и т. д.), которые считают от меридиана с долготой 180° (по Гринвичу) против часовой стрелки.

Номенклатура сдвоенных и счетверенных листов карты складыва­ется из обозначений широтного пояса и соответственно двух или четы­рех колонн.

Отметим особенности видоизмененной простой поликониче'кой проекции и распределение искажений б пределах отдельных листов карты масштаба 1:1

Меридианы изображаются прямыми линиями. Длина двух мериди­анов, отстоящих от среднего на ±2° по долготе (на ±4° на сдвоенных листах и на ±8° на счетверенных), искажений не имеет.

Крайние параллели каждого листа (северная и южная) являются ду­гами окружностей, центры этих параллелей находятся на среднем мери­диане, длина их не искажается.

Для построения внутренних параллелей используют способ Хинкса, т. е. проводят эти параллели через точки, полученные путем деления всех меридианов на четыре равные части.

Картографическая сетка строится через 1 ° по широте и по долготе, на сдвоенных листах - по долготе через 2°, на счетверенных - через 4°. Таким образом, все листы карты масштаба 1:1 имеют пять па­раллелей и семь меридианов.

Криволинейные меридианы простой поликонической проекции заменяются в видоизмененной поликонической проекции прямыми, соединяющими соответствующие точки крайних параллелей, поэто­му масштабы на внутренних параллелях будут меньше единицы.

Минимальный масштаб получают на средней параллели каждого листа карты. Для карты масштаба 1 : 1 искажение длины сред­ней параллели каждого листа Vn-0,06%.

Масштабы по меридианам и параллелям для этой карты могут быть приняты за экстремальные (а и Ь), так как сетка проекции практически ортогональна. На каждом листе имеются четыре точки, в которых от­сутствуют искажения всех видов; эти точки находятся на пересечении крайних параллелей листа с меридианами, удаленными от среднего на 2° к западу и востоку.