Определенный интеграл (стр. 2 )

Из рисунка 6 видно, что пределами интегрирования являются абсциссы точек пересечения этих кривых. Найдем их. Для этого решим систему уравнений.

в результате получим .

Так как при , то искомая площадь S равна

Задача № 2. Вычислить площадь, ограниченную кривой .

Решение: Построим по данному уравнению кривую. Это будет кардиоида (рис.7.)

Так как область симметрична относительно луча , то по формуле (9) будем иметь:

При вращении криволинейной трапеции вокруг оси Ох (рис.8) получается тело вращения,

объем которого выражается интегралом

 

. (10)

Если криволинейная трапеция 0 ≤ х ≤ х(у) c ≤ y ≤ d вращается вокруг оси Оу (рис.9),

то объем тела вращения выражается интегралом

(11)

Задача № 3. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями:

, , , .

Решение: Построим фигуру, ограниченную указанными линиями (рис.10).

- верхняя половина эллипса,

где a=3, b=2 – полуоси эллипса;

х = -2, х = 1 – прямые, параллельные оси Оу;

у = 0 – уравнение оси Ох.

5.3.1. Если плоская кривая АВ задана уравнением , где f (x) – непрерывная на [a,b] функция, то длина дуги выражается формулой

 

(12)

Тогда площадь поверхности, образованной вращением этой дуги АВ вокруг оси Ох вычисляется по формуле:

(13)

Если поверхность получается вращением дуги АВ, заданной уравнением вокруг оси Оу, то применяется формула:

 

(14)

5.3.2. Если кривая АВ задана параметрическими уравнениями x= x (t), y= y (t), то длина дуги выражается формулой

 

(15)

5.3.3. При вычислении длины дуги в случае, когда кривая АВ задана в полярных координатах уравнением ρ = ρ (φ), тогда формула принимает вид:

 

(16)

Задача № 4 Вычислить длину дуги полукубической параболы , заключенной между точками А (2,-1) и В (5,-8).

Решение: Выразим из уравнения кривой у:

.

Функция у (х) определена для x ≥ 1. Поскольку данные точки лежат в четвертой четверти, то

.

Отсюда

.

Подставляя в формулу (12) , хА = 2, хВ = 5, получим

Задача № 5 Найти площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Ох дуги параболы , заключенной между ее вершиной и точкой пересечения с прямой 2х = 3.

Решение: Построим линии в системе координат хОу (рис.14).

Искомая площадь поверхности образована вращением дуги АВ параболы вокруг оси ох. Из уравнения находим . Поскольку дуга АВ лежит в первой четверти, то

, , .

Подставляя у и у' в формулу (13), при хА = 0, получим

5.4. Статические моменты. Центр тяжести

Для плоской фигуры, ограниченной кривыми

,

и прямыми

х = а, x=b (a ≤ x ≤ b),

и предполагая, что по этой фигуре равномерно распределена масса так, что её поверхностная плотность ρ постоянна и для простоты положим её равной единице (ρ = 1), тогда масса фигуры будет измеряться её площадью.

Тогда статические моменты относительно координатных осей Ох и Оу выражаются формулами

 

; (17)

 

. (18)

Центр тяжести плоской фигуры имеет координаты

 

, , (19)

где S - площадь фигуры.

Задача № 6. Найти центр тяжести фигуры, ограниченной эллипсом и окружностью и расположенной в первом квадранте.

Решение: Построим фигуру, ограниченную указанными линиями (рис.15).

Вычислим сначала статические моменты. Из уравнений окружности и эллипса имеем

, ,

Площадь четверти круга радиуса R = 3 равна , а площадь четверти эллипса с полуосями а = 3 и b = 2 вычислим по формуле (6):

Поэтому площадь рассматриваемой фигуры равна

.

Таким образом,

; .

Задание № 1

Вычислить определенные интегралы:

1.01. 1.09.

1.02. 1.10.

1.03. 1.11.

1.04. 1.12.

1.05. 1.13.

1.06. 1.14.

1.07. 1.15.

1.08. 1.16.

1.17. 1.24.

1.18. 1.25.

1.19. 1.26.

1.20. 1.27.

1.21. 1.28.

1.22. 1.29.

1.23. 1.30.

Задание № 2

Вычислить определенные интегралы:

2.01. 2.09.