Определенный интеграл (стр. 1 )

Определенный интеграл

Методические указания и контрольные
задания по высшей математике

Методические указания предназначены для студентов всех специальностей при изучении раздела «Определенный интеграл» курса высшей математики. В методических указаниях приводятся необходимые формулы, подробно разбираются решения типовых задач, даны задачи для самостоятельного решения.

Составители:

1. Понятие определенного интеграла

Пусть на отрезке [a,b] определена непрерывная функция y=f(x):

 

Определение. Определенным интегралом от функции , заданной на промежутке [a,b], называется число, получаемое следующим образом:

1)  промежуток [a,b] разбивается на n элементарных промежутков точками xi так, что ;

2)  внутри каждого элементарного промежутка выбирается произвольная точка , , в каждой из которых вычисляется значение функции;

3)  значения функции умножаются на длины соответствующих промежутков ;

4)  все полученные произведения суммируются

Полученная сумма называется интегральной суммой для функции f(x) на отрезке [a,b];

5) вычисляется предел полученной суммы

Если этот предел существует и не зависит от выбора xi и ξi, то он называется определенным интегралом и обозначается

,

где f (x) – подынтегральная функция,

x - переменная интегрирования,

a и b – границы изменения переменной х, a ≤ x ≤ b,

a – нижний предел интегрирования,

b – верхний предел интегрирования.

Таким образом

 

(1)

2. Задачи, приводящие к определенному
интегралу

К операции интегрирования функции на отрезке приводят задачи различного характера.

1. Задача о вычислении работы

Пусть под действием силы F материальная точка движется по прямой от точки x1=a до точки x2=b. Вычислим работу, производимую этой силой на заданном промежутке.

Если сила есть функция координаты х, т. е. F=F(x), непрерывная на [a,b], то разбив отрезок на n произвольных частей и выбрав в каждом частичном отрезке произвольную точку ξi, будем считать F(x) в пределах этого отрезка постоянной и равной F(ξi). Вычислим элементарную работу . Сумма даст нам приближенное значение работы силы F на промежутке [a,b].

Если предел этой суммы существует и не зависит от выбора точек xi и ξi, то

2. Задача о вычислении площади криволинейной трапеции

Пусть на плоскости хОу дана фигура, ограниченная отрезком [a,b] оси Ох, прямыми x=a, x=b и графиком непрерывной и неотрицательной функции y=f (x) на [a,b]. Такую фигуру называют криволинейной трапецией.

Вычислим площадь этой криволинейной трапеции. Разобьем промежуток [a,b] на n элементарных про-межутков, тогда площадь прямоугольника, построенного на , равна, где . А приближенное значение площади S под кривой равно суммарной площади этих прямоугольников

.

Точное значение площади получим, вычислив

.

Таким образом:

 

(2)

3. Вычисление определенного интеграла

3.1.Формула Ньютона-Лейбница

Если известна первообразная F(x) для функции f(x), то определенный интеграл от f(x) на отрезке [a,b] можно вычислить по формуле Ньютона-Лейбница:

(3)

Пример № 1. Вычислить .

3.2.Формула интегрирования по частям

 

, (4)

где u(x) и v(x) – непрерывные функции переменной х на отрезке [a,b].

Пример № 2. Вычислить .

Так как подынтегральная функция представлена в виде произведения степенной функции и тригонометрической , то полагая

, ,

получим

.

Применяя формулу (4), будем иметь:

, (5)

где f (x) - непрерывная функция, ,

x=φ(t) - монотонная функция, имеющая непрерывную производную, , где φ(α) =а и .

Пример № 3. Вычислить .

Пусть , тогда и

Найдём новые пределы интегрирования. Так как ,то при х=0 будем иметь t=1, а при х=3 получим t=2. Следовательно,

4. Несобственные интегралы

4.1. Интегралы с бесконечными пределами

Если функция f (x) определена и непрерывна на промежутке [a, ∞), то по определению:

.

Если существует конечный предел, то интеграл называют сходящимся, если предел бесконечный или не существует, то - расходящимся.

Аналогично

,

тогда

.

4.2. Интегралы от неограниченных функций

Пусть функция у = f(x) определена и непрерывна во все точках промежутка [a,b], за исключением точки , в окрестности которой она не ограничена:

(см. рис.3.)

По определению:

, при c = b,

, при с = а,

, при a < c < b.

Если пределы, стоящие в правых частях этих формул существуют и конечны, то соответствующие интегралы называют сходящимися, в противном случае – расходящимися.

Пример № 4. Вычислить .

Это несобственный интеграл с бесконечным верхним пределом интегрирования. Функция непрерывна на .

Предел существует, значит несобственный интеграл сходится.

Пример № 5. Вычислить .

Подынтегральная функция имеет разрыв при х=2, поэтому

Предел бесконечный, значит несобственный интеграл расходится.

5. Приложения определенного интеграла

5.1.1. Площадь криволинейной трапеции (рис.2), ограниченной сверху графиком непрерывной функции находится по формуле

 

(6)

5.1.2. Площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху кривой, заданной параметрическими уравнениями

, ,

вычисляется по формуле

 

. (7)

5.1.3. Площадь плоской фигуры, ограниченной прямыми x= a, x=b, двумя кривыми у1 = ун(х), y2 = yв(х) при всех значениях

вычисляется по формуле

 

. (8)

В отдельных случаях границы могут быть в точках пересечения кривых. Тогда а и b равны абсциссам точек пересечения указанных кривых.

5.1.4. Площадь криволинейного сектора, ограниченного лучами φ=α, φ = β и кривой ρ = ρ(φ)

вычисляется по формуле

(9)

Задача № 1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями и .

Решение: Построим кривые (рис.6.).