Личностное ориентирование

уроков математики.

Сообщение учителя

2006-2007 уч. Год

В преподавании очень важно добиваться от учащихся сознательного и обоснованного решения задач, побуждать школьников опираться в решении на изучаемые определения, теоремы, законы, чтобы приобретенные ими знания неразрывно связывались с практическими навыками. Понимая важность этой проблемы, многие учителя требуют от вызываемых к доске учащихся, чтобы они обосновывали решаемые задачи, а остальные слушали их. Но это требование чисто внешнее; оно далеко не всегда соответствует внутренним процессам, протекающим в сознании учащихся Поэтому многие ребята не вникают в суть обоснований, не прислушиваются к ним и решают задачи механически, несознательно, только по аналогии с предшествующими.

В своих экспериментах мы старались выявить методические подходы, побуждающие учащихся к обоснованию решаемых задач. Подходы эти сводятся не к внешним воздействиям, проявляющимся в требованиях учителя, а к созданию условий, при которых у учащихся возникают внутренние потребности в обосновании. Психологической основой эксперимента явилась закономерность, вскрываю­щая причины механического выполнения учащимися ряда действий при решении задач Эта закономерность формулируется в виде указанных ниже пунктов 1)—5) и в дальней­шем обозначается знаком (*).

(*) Если при изучении новой темы выпол­няются условия:

1) учащемуся предлагают задачи только одного типа,

2) их решения сводятся к одной и той же операции, которая может быть и довольно сложной, состоящей из ряда элементарных операций,

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

3) эту операцию (ее результат) учащемуся не надо выбирать среди других, которые возможны в сходных ситуациях,

4) данные задач не являются для учащегося непривычными,

5) он уверен в безошибочности своих действий,

то учащийся очень быстро (нередко при ре­шении второй или третьей задачи) переста­ет применять изучаемые определения, теоремы, прекращает обосновывать решения задач.

Если хотя бы одно из перечисленных усло­вий нарушается при решении какой-то задачи, то учащийся начинает обосновывать решения этой и одной-двух последующих за­дач.

Идею этой закономерности выдвинул . Он обнаружил условия 1), 4) и 5), не упоминая о двух других.

Данная закономерность и методика ее при­менения экспериментально проверялись на уроках и индивидуальных занятиях.

Методика каждого эксперимента, проводи­мого, как правило, на уроке, сводилась к со­поставлению объективных факторов в конт­растных ситуациях, свидетельствующих о вдумчивом или, наоборот, механическом, не­обоснованном решении задач только по ана­логии с предшествующими.

Эксперимент № 1 должен быть прове­рить влияние условий 1), 3) и 5) закономер­ности (*).

В эксперименте использовались упражнения на применение свойств показательной функ­ции. После объяснения этих свойств и озна­комления учащихся с образцами решения не­равенств предлагалось решить неравенства:

В группе упражнений (А) выполняются все пять условий закономерности (*): 1) упраж­нения одного типа; 2) их решение сводится к одной операции — переход к линейному нера­венству с сохранением знака исходного нера­венства; 3) эту операцию учащимся не надо выбирать среди других; 4) уже второе или третье задание этой группы становится при­вычным для учащихся; 5) поскольку в каж­дом случае решения учащихся оказываются безошибочными, у них не возникают сомнения по поводу своих действий.

Ожидалось, что уже при решении второго или третьего неравенства учащиеся не будут опираться на свойство монотонности функции. Наблюдения это подтвердили. Никто из уча­щихся по своей инициативе не ссылался на свойство монотонности функции. Если же уче­ник формулировал его, то только по требова­нию учителя.

Факт бездумного решения выявила и груп­па заданий (Б):

При решении первого из этих неравенств учащиеся допустили ошибку: «х<4», После ее анализа уверенность школьников в безошибоч­ности своих действий ослаблялась, т. е. нару­шалось условие 5) закономерности (*). Поэтому второе неравенство группы (Б) учащиеся решали более вдумчиво, проверяли себя по тексту учебника, по графикам, некоторые рас­суждали вслух.

Далее при решении второго и третьего не­равенств группы (Б) снова выполнялись все условия закономерности (*). Поэтому актив­ность мыслительной деятельности учащихся опять снижалась. Из-за этого в решении чет­вертого неравенства наблюдалась ошибка: (7х>7-2)=(х<-2). После анализа ошибки учащиеся решали последнее неравенство груп­пы (Б) намного дольше предшествующих, пе­реводили взгляд на учебник, вопросительно смотрели на учителя, не решаясь сразу запи­сать ответ.

Совсем иначе работали учащиеся, когда с самого начала изучения темы чередовались неравенства, у которых основания степеней были то больше, то меньше единицы. В этом случае учащимся с самого начала и все вре­мя приходилось выбирать операцию: менять знак неравенства на противоположный или сохранять его при переходе к линейному. А это можно сделать, только опираясь на свойство монотонности функции. Значит, наруше­ние условия 3) закономерности (*), т. е. соз­дание необходимости выбора операции, при­водит к активизации мыслительной деятельно­сти учащихся.

Эксперимент № 2 проверял влияние условий 1), 3)—5) закономерности (*).

После изучения теоремы о прямой, перпен­дикулярной диаметру окружности, учащимся предлагали следующие задачи:

а) Диаметр АВ окружности перпендикуля­рен прямой МК (рис. 1,а), точка В принадлежит прямой МК. Сколько общих точек имеют прямая МК и окружность?

б) Отрезок МР — диаметр окружности (рис. 1,6). Угол КМР прямой. Является ли прямая КМ касательной к окружности?

в) Прямая АВ перпендикулярна диаметру окружности КС. Будет ли прямая АВ каса­тельной к этой окружности?

В этой серии не выполняется условие 4) за­кономерности (*): условия задач непривычны для учащихся в силу различного расположе­ния фигур и вариаций в словесных формули­ровках. Поэтому при решении каждой задачи ребята ссылались на теорему, переводили взгляд на ее формулировку, если еще не пом­нили ее. Но структура данной системы упраж­нений такова, что при решении задач а) и б) учащийся может получить верный ответ, не проверяя выполнимость одного из условий тео­ремы (прямая проходит через коней диамет­ра). Значит, по закономерности (*) осозна­ние этого условия ослабляется. Если это так, то учащийся может допустить ошибку в зада­че в). Действительно, при ее решений в одной из серий индивидуальных занятий 15 учащих­ся из 18 заявили, что АВ— касательная к ок­ружности и показали это на рис. 1,е.

Для того чтобы показать эту ошибку и убе­дить учащихся в неправомерности их вывода, учитель продемонстрировал рис. 2, чем поко­лебал уверенность учащихся в безошибочно­сти их действий. Так нарушилось условие 5) закономерности (*), т. е. учащиеся временно расстались с излишней самоуверенностью. Учитель предложил еше одну задачу: «Угол ВАЕ прямой, отрезок АВ— диаметр окружно­сти (рис. 3). Сколько общих точек имеют пря­мая АЕ и окружность?» Эта задача совершен­но сходна с задачей б). Но на ее решение ре­бята затратили больше времени, чем на каж­дую из предшествующих; неоднократно пере­водили взгляд с чертежа на условие и на фор­мулировку теоремы, вспоминали определение касательной к окружности.

Не ослабевала активность и у тех учащих­ся, которые не допустили ошибку в задаче в). Это можно объяснить тем, что в задачах все время варьирует одно из данных: прямая про­ходит (не проходит) через конец диаметра. Таким образом нарушается условие 3) зако­номерности (*): учащимся каждый раз при­ходится выбирать результат «операции:». Сле­довательно, создается ситуация, при которой ребята не могут обойтись без тщательной про­верки выполнимости всех условий теоремы.

Итак, эксперимент подтвердил, что, подби­рая систему упражнений так, чтобы наруша­лись условия I), 3)—5) закономерности (*), можно заметно активизировать мыслительную деятельность учащихся. При этом выявилась особая роль задач, заведомо провоцирующих учащихся на ошибки, так называемых прово­цирующих упражнений. Ошибка и сопровож­дающий ее анализ не только активизируют мыслительную деятельность при решении нес­кольких последующих задач, но и в значитель­ной мере усиливают интерес и внимание уча­щихся.

Эксперимент № 3. Его цель — путем не' посредственных наблюдений за работой уча­щихся проверить влияние условий 1) и 3) за­кономерности '(*).

Наблюдения проводились при решении задач на нахождение дроби от данного числа (тип А) и числа по данной величине его дро­би (тип Б). В классах I группы вводились сначала задачи только типа А и лишь через несколько уроков — типа Б. Затем эти зада­чи учащиеся решали вперемежку. В классах II группы задачи типа А и Б были введены одновременно и все время чередовались. Та­ким образом, в I группе выполнялись все ус­ловия закономерности (*). Это привело к то­му, что учащиеся не обосновывали решения задач, а навыки, возникшие при таком меха­ническом решении, оказались формальны и бесполезны. В дальнейшем, когда задачи ти­пов А и Б начали чередоваться, учащиеся их не различали.

Во II группе учащиеся работали иначе. Сна­чала на решение задач у них уходило больше времени, чем в I группе, они медленнее пере­ходили к свернутым рассуждениям, сами, без напоминания учителя, обращались к прави­лам, выбирая и применяя то из них, которое относилось к решаемой задаче. В дальней­шем, при переходе к свернутым рассуждени­ям, в этих классах путаницы не наблюдалось. Если же кто-либо ошибался при выборе дей­ствия, то множество поднятых рук свидетель­ствовало о том, что остальные учащиеся сле­дят за ответом, вдумываются в него.

В этом эксперименте была созданы предпо­сылки для нарушения условий I) и 3) зако­номерности (*) —учащиеся решали вперемеж­ку задачи двух типов, им надо было выби­рать операцию из двух возможных в сходных ситуациях. Это привело к активизации мыс­лительной деятельности учащихся. Они уже не могли обойтись без обоснования и аргумен­тированных ссылок. Все это снижало веро­ятность возникновения формальных навыков.

Приведенные данные подтверждались и во время индивидуальных занятий, когда в спо­койной а непринужденной обстановке удава­лось лучше проследить за мыслительной дея­тельностью учащихся.

Эксперимент № 4 посвящался провер­ке действенности единственного условия 2J закономерности (*).

Старшеклассникам были предложены уп­ражнения типа «Выполните действие (сложи­те дроби, найдите производную, извлеките ко­рень)», которые состояли из двух групп (А) и (Б)

Учащихся просили указать, в каком случае они вспоминали соответствующие теоремы.

Упражнения групп (А) и (Б) чередовались,

поэтому учащимся по контрасту легче было контролировать особенности процессов, проте­кающих в их сознании. Подавляющее боль­шинство старшеклассников отметили, что при выполнении упражнений группы (Б) они вспо­минали соответствующие теоремы в сокращен­ном виде, а имея дело с заданиями группы (А), они подобных процессов в своем созна­нии не замечали. Эти различия согласуются с закономерностью (*).

Действительно, задания группы (А) сводят­ся в основном к одной операции, поэтому а прошлом подобные тренировочные упражне­ния, в соответствии с условием 2), не побуж­дали учащихся ссылаться па необходимые тео­ремы. При свертывании рассуждений такие ссылки тем более исчезли из процессов созна­ния. В группе (Б) условие 2) закономерности (*) нарушено: упражнения требуют не одной (пусть и сложной) операции, а целой иерар­хии операций, основанных на определенных теоремах и правилах. Поэтому учащиеся чаще ссылаются на нужный теоретический матери­ал, и эти ссылки сохраняются при последую­щем свертывании рассуждений.

Выводы. Мы показали, что нарушение любого из условий закономерности (*) побуж­дает учащихся активизировать свою умствен­ную деятельность. Условие 1) предупреждает об опасности однотипных упражнений. Но совсем отказаться от однотипности заданий практически невозможно, поскольку иначе у многих школьников будут с большим трудом формироваться необходимые умения и навы­ки. Можно рекомендовать учителю чередовать однотипные упражнения с такими, в которых условия варьируют и поэтому начинают ка­заться многим учащимся в какой-то мере не­привычными, т. е. нарушается условие 4). Во многих случаях целесообразно подбирать од­нотипные упражнения двух видов, чередуя их и тем самым ослабляя условие 3). В таких случаях учащимся придется осуществлять вы­бор операции. Особенно тщательно надо соз­давать проблему выбора операции в тех слу­чаях, когда упражнение сводится к одной опе­рации, т. е. когда необходимо ослабить влия­ние условия 2).

Учителю можно также порекомендовать включать в систему заданий провоцирующие упражнения, наталкивающие учащихся на ошибку. Анализ ошибки ослабляет излишнюю самоуверенность школьников, т. е. нарушает условие 5), и последующую работу ребята делают внимательнее.