XII Международная олимпиада «Эрудит»
Математика
2 тур
Задания
Максимальное количество баллов – 30 баллов
Максимальное количество баллов за каждую задачу можно получить, если задача решена правильно, приведено полное подробное решение там, где требуются пояснения или рассмотрение всех возможных вариантов. Если решения задачи нет, а дан только правильный ответ, то, задача будет оценена в 1 балл.
Задача № 1 (4 балла)
Будет ли результат вычисления выражения 285376 + 373285 +1999 четным числом?
Ответ: это число будет нечётным. Так как 285 в 376 степени заканчивается на 9; 373 в 285 степени – на 3, а 19 в 99 степени на 9, следовательно 9+3+9=21, заканчивается на 1, значит нечётное.
Задача № 2 (4 балла)
Постройте график функции у = 2|х – 3| + 2|х + 6| – 1. Укажите область определения и область значений данной функции.
Ответ:
у=2|х-3|+2|х-6|-1
1) если х<6, то у=-2(х-3)-2(х+6)-1
у=-2х+6-2х-12-1
у=-4х-7
2) если -6≤х≤3, то
у=-2(х-3)+2(х+6)-1
у=-2х+6+2х+12-1
у=17 – это постоянная функция, графиком является прямая, параллельная оси Ох.
3) если х>3, то
у=2(х-3)+2(х+6)-1
у=2х-6+2х+12-1
у=4х
Задача № 3 (6 баллов)
Канарейкин, Дроздов и Филинов окончили медицинский институт, но получили разные специальности. Один из них – стоматолог, другой – хирург, третий – ветеринар. Недавно хирург хотел попросить своего знакомого стоматолога вылечить ему зуб, но ему сказали, что стоматолог сейчас со своей собакой ушел к ветеринару. Известно так же, что Филинов ни когда не слышал о Дроздове. Определите, кто какую специализацию получил в институте?
Вариант №1
Канарейкин | Дроздов | Филинов | |
Стоматолог | + | - | - |
Хирург | - | + | - |
Ветеринар | - | - | + |
Вариант №2
Канарейкин | Дроздов | Филинов | |
Стоматолог | + | - | - |
Хирург | - | - | + |
Ветеринар | - | + | - |
Задача № 4 (6 баллов)
Специальная подготовка конькобежцев отличается большим объемом бега на коньках с невысокой скоростью. На очередной тренировке Иванов и Сидоров одновременно стартуют из двух диаметрально противоположных точек катка, который имеет форму круга. Они бегут в одном направлении с постоянными скоростями. Время от времени Иванов обгоняет Сидорова. Третий обгон произошел через 1 час. Через сколько минут после третьего произойдет четвертый обгон?
Ответ:
|
|
Задача № 5 (10 баллов)
При подготовке к олимпиаде по математике Павел и Виктор получили задание на дом. Причем Виктору было дано в четыре раза больше задач, чем Павлу. При проверке домашнего задания оказалось, что Павел и Виктор решили поровну задач, и процент задач, решенных Виктором, равен проценту задач, не решенных Павлом. Сколько процентов задач решил Павел?
