XII Международная олимпиада «Эрудит»
Математика
2 тур
Задания
Максимальное количество баллов – 30 баллов
8 класс
Задача № 1 (4 балла)
Будет ли результат вычисления выражения 285376 + 373285 +1999 четным числом?
Решение:
Число 285376 - будет число нечётное, т. к. последняя цифра 5 при умножении на 5 (сколько раз бы это не происходило) всегда результат последней цифры единиц будет 5.
Число 373285- будет число нечётное из тех же соображений: при умножении 3 на 3 последняя цифра единиц будет нечётная.
Число 1999 – будет после возведения в степень числом нечётным, так как 9 перемножаются нечётное число раз (9*9).
Все три слагаемых будут числа нечётные. А сумма трёх нечётных чисел даёт нечётный результат.
Ответ: нет, результат вычисления выражения 285376 + 373285 +1999 не будет четным числом.
Задача № 2 (4 балла)
Постройте график функции у = 2|х – 3| + 2|х + 6| – 1. Укажите область определения и область значений данной функции.
Решение:
Выражения, стоящие под знаком модуля обращаются в ноль в точках 3 и -6. Рассмотрим данную функцию на числовых промежутках (-∞; -6), [-6;3], (3;+ ∞)
При х= -6 , y=17
При х= 3 , y=17
Это и будут точки перегиба
При х €[-6;3], y=17.
При х €(-∞;-6), y>17
При х €(3; ;+ ∞), y>17
При х=4, y=21
При х= – 7 , y=21
Задача № 3 (6 баллов)
Канарейкин, Дроздов и Филинов окончили медицинский институт, но получили разные специальности. Один из них – стоматолог, другой – хирург, третий – ветеринар. Недавно хирург хотел попросить своего знакомого стоматолога вылечить ему зуб, но ему сказали, что стоматолог сейчас со своей собакой ушел к ветеринару. Известно так же, что Филинов ни когда не слышал о Дроздове. Определите, кто какую специализацию получил в институте?
Канарейкин | Дроздов | Филинов | |
стоматолог | + | - | - |
хирург | - | + | - |
ветеринар | - | - | + |
Решение:
Хирург и стоматолог знакомы, стоматолог ушёл к ветеринару, если и не были знакомы, то познакомятся, следовательно, стоматолог знаком с обоими. Он не может быть ни Филиновым, ни Дроздовым, следовательно, стоматолог Канарейкин.
Известно так же, что Филинов ни когда не слышал о Дроздове. Хирург узнал о ветеринаре, когда искал стоматолога, следовательно, только ветеринар не мог слышать о хирурге, соответственно Филинов – ветеринар, а Дроздов – хирург.
Ответ: стоматолог Канарейкин, хирург Дроздов, ветеринар – Филинов.
Задача № 4 (6 баллов)
Специальная подготовка конькобежцев отличается большим объемом бега на коньках с невысокой скоростью. На очередной тренировке Иванов и Сидоров одновременно стартуют из двух диаметрально противоположных точек катка, который имеет форму круга. Они бегут в одном направлении с постоянными скоростями. Время от времени Иванов обгоняет Сидорова. Третий обгон произошел через 1 час. Через сколько минут после третьего произойдет четвертый обгон?
Решение: сменим точку отсчета. Пусть Сидоров стоял неподвижно, но при этом постоянная скорость Иванова становится меньше на скорость Сидорова. Так как произошло три обгона, следует, что Иванов должен проехать «мимо» Сидорова три раза, то есть половину круга и ещё два круга. 1 час=60 мин. 60:2,5=24 (мин) – уходит на один обгон.
Ответ: Через 24 минуты после третьего произойдет четвертый обгон.
Задача № 5 (10 баллов)
При подготовке к олимпиаде по математике Павел и Виктор получили задание на дом. Причем Виктору было дано в четыре раза больше задач, чем Павлу. При проверке домашнего задания оказалось, что Павел и Виктор решили поровну задач, и процент задач, решенных Виктором, равен проценту задач, не решенных Павлом. Сколько процентов задач решил Павел?
Решение:
Пусть Павлу задали на дом Х задач, тогда Виктору задали 4*Х. И Павел и Виктор не могли решить задач больше, чем Х, т. к. Виктору задали Х задач, если бы он решил все Х - это было бы 100% для Виктора, что противоречит условию задачи.
Пусть задачи решённые Павлом составляют 1 часть в процентном отношении, тогда задачи, решённые Виктором составляют в процентном отношении 4 части.
Всего 5 частей.
1) 100%:5=20% - решил Виктор
2) 20*4=80% - решил Павел
3) 100% - 80%=20% - задач не решил Павел ч. т.д.
Ответ: 80% процентов задач решил Павел.
Было нелегко, за что и спасибо! |
