Задачи по дисциплине: “Дискретная математика”

НГТУ

Задачи

по дисциплине: “Дискретная математика”

Выполнил: студент:

Гр. 06-В-2

Проверила:

Н. Новгород

2007

СОЧЕТАНИЯ:

Без повторений

Задача 1: Сколькими способами можно разбить 10 человек на две баскетбольные команды по 5 человек в каждой?

Решение: Первую команду можно выбрать способами. Этот выбор полностью определяет вторую команду. Однако при таком подсчете каждая пара команд А и В учитывается дважды: один раз, когда в качестве первой команды выбирается команда А, и второй, - когда в качестве первой команды выбирается команда В. Таким образом, ответ: .

Задача 2: В шахматном кружке занимаются 2 девочки и 7 мальчиков. Для участия в соревновании необходимо составить команду из четырех человек, в которую обязательно должна входить хотя бы одна девочка. Сколькими способами это можно сделать?

Решение: В команду входит либо одна девочка, либо две. Разберем оба случая. Если в команде две девочки, то двух мальчиков к ним можно добавить способами. Если же в команду входит только одна девочка (ее можно выбрать двумя способами), то команду можно дополнить тремя мальчиками различными способами. , Таким образом, общее число возможных команд равно.

Задача 3: У одного школьника есть 6 книг по математике, а у другого - 8. Сколькими способами они могут обменять три книги одного на три книги другого?

Решение: Первый школьник может выбрать 3 книги для обмена способами, второй - способами. , . Таким образом, число возможных обменов равно.

С повторениями

Задача 4: Поезду, в котором находится пассажиров, предстоит сделать остановок.

Сколькими способами могут выйти пассажиры на этих остановках, если учитывается лишь количество пассажиров, вышедших на каждой остановке?

Решение: .

Задача 5: Сколько 7-значных чисел, в которых

a) каждая цифра больше предыдущей?

b) каждая цифра не меньше предыдущей?

Решение:

а) ;

б) ;

РАЗМЕЩЕНИЯ

Без повторений

Задача 1: Сколько способов выдать 3 различных карнавальных нарядов кому-нибудь из 15 школьников (один наряд - один школьник).

Решение: .

Задача 2: Сколькими способами можно сделать трехцветный флаг с горизонтальными полосами одинаковой ширины, если имеется материя шести различных цветов?

Решение: .

С повторениями

Задача 3: Поезду, в котором находится пассажиров, предстоит сделать остановок.

Сколькими способами могут выйти пассажиры на этих остановках?

Решение: .

Задача 4: Каждую клетку квадратной таблицы 2х2 можно покрасить в черный или белый цвет. Сколько существует различных раскрасок этой таблицы?

Решение: .

Задача 5: Сколькими способами можно заполнить одну карточку в лотерее ``Спортпрогноз''? (В этой лотерее нужно предсказать итог тринадцати спортивных матчей. Итог каждого матча - победа одной из команд либо ничья; счет роли не играет).

Решение: .

ПЕРЕСТАНОВКИ

Задача 1: Сколько способов расставить человек в ряд?

Решение: .

Задача 2: Сколько способов рассадить 5 мужчин и 5 женщин за круглым столом так, чтобы мужчины и женщины чередовались?

Решение: Способов рассадки мужчин , и способов рассадки женщин . Таким образом, ответ: .

Задача 3: Сколько способов разбить 15 мужчин и 15 женщин на пары для танцев?

Решение: .

Задача 4: Есть 50 разных конфет. Сколькими способами можно раздать их по одной 50 первокурсникам?

Решение:

Задача 5: Поезд состоит из трёх различных багажных вагонов (без номеров), четырёх плацкартных (с номерами от 1 до 4) и двух купейных (с номерами 5 и 6).

а) Сколькими способами можно сформировать состав, который начинается с вагона номер 1, а заканчивается вагоном номер 6?

б) Сколькими способами можно сформировать состав, в котором сначала идут все плацкартные вагоны, потом все купейные, а в конце - все багажные?

Решение:

а) Всего вагонов 9, но 2 из них уже стоят на своих местах и не участвуют в перестановке, поэтому ответ:;

б)