Задания ЕГЭ по математике типа С3 высокого уровня сложности

Задания ЕГЭ по математике типа С3 высокого уровня сложности.

Задача 1

Найдите число целых значений параметра а, при которых множество решений неравенства содержит все члены некоторой возрастающей арифметической прогрессии с первым членом, равным –8, и разностью, меньше или равной 6.

Р е ш е н и е:

1) Решим сначала неравенство с параметром, приведя его к стандартной форме: с левой частью в виде квадратного трехчлена. Проверим возможность его разложения на множители с целыми коэффициентами, для чего найдем его корни:

.

В результате получаем x1 = –2, . Таким образом, квадратное неравенство можно представить в более удобном виде:

.

2) Воспользуемся обобщенным методом интервалов. Заметим, что в случае а > 1 множество решений представляет собой конечный промежуток с границами

x1 = –2 и ,

который не может содержать все члены арифметической прогрессии. Если а = 1, множество решений неравенства является лучом с началом в точке х = –2, направленным вправо, который не содержит точку х = –8. Тогда остается случай а < 1.

3) Так как нас интересуют только целые значения параметра а, то сразу рассмотрим случай а = 0, тогда очевидно х1 < х2. Для следующих отрицательных значений параметра а х2 > 0 и х1 < х2.. Таким образом, интересующее нас множество решений неравенства является объединением двух лучей:

,

которое содержит точку х = –8, являющуюся первым членом возрастающей арифметической прогрессии. По условию задачи разность прогрессии не превосходит 6, значит, начало левого луча не может отстоять от начала правого луча дальше, чем на 6, то есть должно выполняться неравенство

.

Так как а–1 < 0, то последнее неравенство можно переписать как .

4) Проверим, что для предельного случая а = –4 существует возрастающая прогрессия, удовлетворяющая условию задачи: а1 = –8, а2 = –2, а3 = 4,…, то есть третий член прогрессии попадает в начало правого луча. Для следующих значений параметра при движении от а = –4 к а = 0 начало правого луча будет двигаться слева направо, так как функция

монотонно убывает на промежутке [–4; 0]. Таким образом, для всех допустимых целых значений параметра а = –4, –3, –2, –1 и 0 найдется возрастающая арифметическая прогрессия с а1 = –8 и разностью не более 6.

О т в е т: 5.

Задача 2

Найдите целое значение параметра а (или сумму таких целых значений), при которых множество решений неравенства

содержит все члены некоторой возрастающей арифметической прогрессии с первым членом, равным –1, и разностью, меньше или равной 2.

Р е ш е н и е:

1) Решим сначала неравенство с параметром, приведя его к стандартной форме с нулевой правой частью. Проверим возможность его разложения на множители с целыми коэффициентами, для чего раскроем скобки и перегруппируем:

, в результате приводим неравенство к более удобному виду . Здесь возникают следующие случаи:

а ≤ 0 – решением является луч [5; +¥);

0 < а < 25 – решение – объединение двух промежутков:

;

а = 25 – решением является луч [–5; +¥);

а > 25 – решение – объединение двух промежутков:

.

2) Первый случай сразу отпадает, третий случай удовлетворяет условию задачи. Рассмотрим второй и четвертый случаи, которые будут удовлетворять условию задачи, если выполнены следующие дополнительные ограничения, связанные с требованием включения членов возрастающей арифметической прогрессии с вышеуказанными свойствами во множество решений неравенства:

.

Заметим, что полученный промежуток включает в себя и третий случай. Подсчитаем теперь сумму последовательных целых чисел из полученного промежутка [9, 49] 9 + 10 + … + 49 = 1189.

О т в е т: 1189.

Задача 3

Три числа, принадлежащие соответственно интервалам [0; 1], [4; 6] и [9; 12], являются первыми членами арифметической прогрессии. Найдите сумму целых значений, которые может принимать величина a2 + d2, где а – первый член, а d – разность арифметической прогрессии.

Р е ш е н и е.

1) Положим, a1 = a, a2 = a + d, a3 = a + 2d, тогда по условию задачи должна выполняться следующая система неравенств:

2) С геометрической точки зрения эта система неравенств определяет геометрическое место точек с координатами (d; a), которое образовано тремя парами параллельных прямых:

a = 0, a = 1, a = 4 – d, a = 6 – d, a = 9 – 2d, a = 12 – 2d. Нетрудно увидеть из рисунка, что это множество определяет трапецию с вершинами

A(4,5; 0), B(4; 1), C(5; 1) и D(6; 0).

3) Выражение можно рассматривать как расстояния точек этого геометрического множества от начала координат. Минимальная величина отвечает длине перпендикуляра, опущенного из начала координат на сторону АВ трапеции. Это будет длина высоты треугольника ОАЕ, опущенной из вершины О на сторону АЕ,

.

4) Чтобы найти удаленную от начала координат точку трапеции, достаточно сравнить длины отрезков OB, OC и OD с целью определения наибольшей величины. Таковым оказывается отрезок OD = 6. Таким образом, выполняется неравенство

.

Очевидно, что минимальное целое значение из этого промежутка будет равно 17, а сумма соответствующих целых значений будет равна

.

О т в е т. 530.

Задача 4 (Тренировочный вариант ЕГЭ 2008 [4])

Найдите сумму целых значений параметра a, при которых множество решений неравенства содержит все члены некоторой геометрической прогрессии с первым членом, равным 3, и знаменателем –5 < q < –1.

Р е ш е н и е:

1) Будем решать эту задачу с помощью метода координатной плоскости, взяв в качестве оси ординат множество значений параметра а, а в качестве оси абсцисс – множество значений х. С геометрической точки зрения неравенство х(х – 10) ≥ (а + 5) дает множество точек, ограниченных линиями, соответствующими случаю равенства

.

2) Найдем вид этих линий. Для этого рассмотрим два случая:

Таким образом, две вертикальные прямые и два луча с общей точкой разбивают координатную плоскость на 6 областей: A, B, C, D, E, F.

3) Расставим знаки внутри областей в смысле выполнения или невыполнения заданного неравенства х(х – 10) ≥ (а + 5) (|х – 5| – 5). Для этого выберем точку, принадлежащую области D: (1; 0), и подставим ее координаты в исходное неравенство, получим: –10 < –5, то есть неравенство не выполнено, значит, для всей области D имеет знак минус, а в соседних с D областях с общими границами B, C, F имеем знак плюс, а для оставшихся областей A и E – знак минус, так как все граничные линии соответствуют корням простой кратности.

4) По условию первый член геометрической прогрессии равен 3, с геометрической точки зрения это соответствует вертикальной прямой х = 3. Разрешенная область этой прямой представляет собой луч с точкой, лежащей на прямой а = х – 5, то есть а ≥ 2. Далее по условию задачи второй член геометрической прогрессии с отрицательным знаменателем будет отрицательным числом, то есть соответствующая точка «прыгнет» по горизонтали налево в область В, а потом, в случае третьего члена, «прыгнет» уже направо – в область F и т. д.

5) Найдем критический случай, когда точка х = 3, находящаяся на высоте а, не может «прыгнуть» дальше границы между областями А и В при «максимальном прыжке» 3q = –15 = 5 – a, который дает «критическое» значение параметра а = 20. Таким образом, область допустимых значений параметра а: [2; 20). Найдем сумму всех целых чисел, принадлежащих этому промежутку: .

О т в е т: 189.