Ответы по математике 10 класс

ОТВЕТЫ по математике 10 класс

1)  Решить уравнение в целых числах.

2)  точек на плоскости расположены так, что любой треугольник с вершинами в этих точках имеет площадь не больше 1. Доказать, что все эти точки можно поместить в треугольник площади 4.

РЕШЕНИЕ:

Рассмотрим треугольник максимальной площади с вершинами в данных точках. Пусть это будет треугольник ABC. Через точки A, B, C проведем прямые lA, lB, lC, параллельные сторонам BC, CA, AB соответственно. Обозначим треугольник, образованный прямыми lA, lB, lC через A1B1C1. Площадь этого треугольника в 4 раза больше площади треугольника ABC, следовательно она не превосходит 4. Покажем, что каждая данная точка находится в треугольнике A1B1C1. Предположим противное. Тогда существует точка D из данного множества, находящаяся с некоторой вершиной треугольника A1B1C1 по разные стороны относительно стороны, противолежащей этой вершине. Пусть, например C1 и D находятся по разные стороны относительно стороныB1A1. Тогда расстояние от точки D до AB больше, чем расстояние от точки C до AB. Следовательно площадь треугольника ABD больше площади треугольника ABC, что противоречит выбору треугольника ABC

3)  Десять машин выпускают одинаковые резиновые мячи массой по 10 г каждый. Одна из машин испортилась и смогла выпускать мячи массой по 5 г. Как найти испортившуюся машину с помощью одного взвешивания мячей?

РЕШЕНИЕ:

Возьмем от первой машины один мяч, от второй – два, от третьей – три и т. д., от десятой – десять. Найдем их общую массу. Это взвешивание будет единственным. Если бы все мячи были массой по 10г, то весы показали бы 10 × (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10) = 550г.
Если первая машина допускает брак, то общая масса станет меньше на 5г, если вторая, то на 10г, и т. д., если десятая, на 50г. Таким образом, по массе 55 мячей можно узнать, какая машина испортилась.

4)  Решить в натуральных числах:

5)  Разложить на множители:

6)  В арифметической прогрессии, состоящей из четырех целых чисел, наибольший член равен сумме квадратов остальных трех членов. Найти члены этой арифметической прогрессии.

7)  Решить уравнение:

8)  Доказать (без таблицы):

.

9)  Сколькими способами можно расставить на шахматной доске 8 ладей так, чтобы ни одна из них не могла бить другую?

РЕШЕНИЕ:

Ладья на первой горизонтали может занимать 8 разных положений. Если это положение фиксировано, то ладья на второй горизонтали может занимать уже только 7 положений. Аналогично для ладьи на третьей горизонтали остается 6 вариантов и т. д. Итого 8·7·6·5·4·3·2 = 8! способов.

10)  Докажите, что при любых отличных от нуля числах a, b , c хотя бы одно из квадратных уравнений

имеет корень.

Идиатуллина Ирина, 10 а класс, МБОУ СОШ №7 г. Туймазы