Олимпиада НГУЭУ по математике 2012-2013

1.  Доказать, что если для квадратных матриц А и В выполнено АВ=Е, то А и В – невырожденные матрицы и .

2.  Доказать, что для произвольных квадратных матриц второго порядка выполнено следующее: (- определитель матрицы А).

3.  Доказать, что уравнение имеет ровно один действительный корень.

4.  Построить график функции .

5.  - правильный куб с ребром 1. Точка К делит отрезок пополам, точка L делит ребро в отношении 1:2, считая от вершины , точка М делит ребро в отношении 1:3, считая от вершины А. Найти объем тетраэдра BKLM.

6.  Две блохи Кристина и Сережа прыгают навстречу друг другу. У Сережи каждый следующий прыжок короче предыдущего в три раза, а у Кристины – в четыре. Доказать, что они никогда не встретятся, если исходное расстояние между ними было 100 метров, а первый прыжок у каждой блохи составлял 1 метр. Найдите максимальное расстояние между Кристиной и Сережей, которое они никогда не смогут преодолеть.

7.  Известно, что числа связаны соотношением . Доказать, что .

8.  Дан треугольник ABC. Доказать, что

_________________________________________________________________________

Олимпиада НГУЭУ по математике 2012-2013

1.  Доказать, что если для квадратных матриц А и В выполнено АВ=Е, то А и В – невырожденные матрицы и .

2.  Доказать, что для произвольных квадратных матриц второго порядка выполнено следующее: (- определитель матрицы А).

3.  Доказать, что уравнение имеет ровно один действительный корень.

4.  Построить график функции .

5.  - правильный куб с ребром 1. Точка К делит отрезок пополам, точка L делит ребро в отношении 1:2, считая от вершины , точка М делит ребро в отношении 1:3, считая от вершины А. Найти объем тетраэдра BKLM.

6.  Две блохи Кристина и Сережа прыгают навстречу друг другу. У Сережи каждый следующий прыжок короче предыдущего в три раза, а у Кристины – в четыре. Доказать, что они никогда не встретятся, если исходное расстояние между ними было 100 метров, а первый прыжок у каждой блохи составлял 1 метр. Найдите максимальное расстояние между Кристиной и Сережей, которое они никогда не смогут преодолеть.

7.  Известно, что числа связаны соотношением . Доказать, что .

8.  Дан треугольник ABC. Доказать, что