где - индукция магнитного поля, - скорость, - давление, - температура, - число Гартмана, - число Рэлея, - число Прандтля, - безразмерная частота вращения поля, - магнитное число Прандтля, - значение индукции магнитного поля на бесконечности, - кинематическая вязкость, - ускорение свободного падения, - коэффициент теплового расширения, - коэффициент температуропроводности, - магнитная проницаемость.

Границы слоя предполагались идеально теплопроводными и неэлектропроводными; большая часть расчетов выполнена для случая свободных недеформируемых границ. В этом случае граничные условия имеют следующий вид:

Здесь - индукция магнитного поля за пределами слоя; - вертикальная компонента тока.

Рассматриваемая задача допускает решение, соответствующее механическому равновесию:

Здесь - безразмерный параметр, определяющий глубину проникновения магнитного поля в жидкость (безразмерная глубина проникновения есть ).

Для исследования линейной устойчивости равновесия система линеаризованных уравнений малых возмущений равновесия решалась численно с использованием метода Рунге-Кутта 4-го порядка точности. Вычисления проводились для случаев однородного магнитного поля (), вращающегося с конечной частотой, и неоднородного быстро вращающегося магнитного поля.

Для случая однородного магнитного поля, вращающегося с конечной частотой, найдены только синхронные решения с частотой, кратной , субгармонических решений, с частотой , не найдено. На рис. 1 изображены зависимости минимального критического значения числа Рэлея от числа Гартмана для числа Прандтля, равного и нескольких фиксированных значений частоты вращения поля. Как видно, с ростом числа Гартмана минимальное критическое число Рэлея увеличивается, другими словами, вращающееся магнитное поле приводит к повышению порога устойчивости механического равновесия. При малых числах Гартмана нейтральные кривые, соответствующие разным частотам вращения поля, практически совпадают, но с увеличением каждая кривая испытывает излом при некотором значении числа Гартмана, зависящем от частоты, при этом рост минимального критического числа Рэлея с увеличением числа Гартмана замедляется. Критическое значение числа Гартмана, при котором происходит излом, увеличивается с ростом частоты вращения и стремится к бесконечности при .

На рис. 2 представлены зависимости волнового числа наиболее опасных возмущений от числа Гартмана для и тех же, что и на рис. 1, значений . Как видно, при всех частотах вращения поля зависимости немонотонны: при числах Гартмана, меньших некоторого значения , волновое число наиболее опасных возмущений уменьшается с ростом числа Гартмана, при - сначала возрастает, а затем выходит на постоянное значение. С увеличением частоты вращения поля минимум кривой смещается в сторону больших значений числа Гартмана, рост при становится более резким: в случае при наблюдается скачкообразное повышение значения до асимптотического значения, соответствующего большим значениям числа Гартмана. При зависимость становится монотонной. Скачкообразное изменение при увеличении числа Гартмана связано, с тем, что в определенном диапазоне значений числа Гартмана, зависящем от частоты, нейтральные кривые имеют два минимума, причем значение , соответствующее длинноволновому минимуму, практически не зависит от , в то время как коротковолновый минимум при увеличении частоты сдвигается в область больших .


Рис.1. Зависимости минимального критического числа Рэлея от числа Гартмана для , (кривые соответственно)

Рис.2. Зависимости волнового числа наиболее опасных возмущений от числа Гартмана для , (кривые соответственно)

Для случая однородного быстро вращающегося магнитного поля рассмотрены также нелинейные режимы конвекции. Выполнен слабо-нелинейный анализ в приближении больших чисел Прандтля, в результате получена система амплитудных уравнений:

Анализ этой системы уравнений показал, что при малых надкритичностях (малых значениях ) устойчивыми могут быть только валы. Установлено также, что при неустойчивость Экхауза более опасна, чем неустойчивость по отношению к возмущениям в виде валов, ортогональных к основной системе валов. Так же, как и в отсутствие поля, наблюдается зигзагообразная неустойчивость.

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4