Математика, 8 класс

Математика, 8 класс

Март 2014 г.

Диагностика по математике проводилась в марте 2014 года с целью определения уровня усвоения учащимися 8 классов предметного содержания курса алгебры и геометрии по программе основной школыкласс), выявления элементов содержания, вызывающих наибольшие затруднения.

Содержание и основные характеристики диагностических материалов определялись Федеральным компонентом государственного стандарта основного общего образования (Приказ МО от 5 марта 2004 г. № 000) и документом «О сертификации качества педагогических тестовых материалов» (Приказ Минобразования России от 01.01.2001 г. № 000).

Характеристика диагностических материалов

Диагностическая работа охватывала учебный материал, изученный в 7-8 классах, по следующим содержательным блокам:

·  алгебраические выражения;

·  уравнения и неравенства;

·  треугольники;

·  четырёхугольники.

Включенные в работу элементы содержания, изученные к моменту тестирования, являются необходимыми для эффективного усвоения программы в 9 классе как по алгебре, так и по геометрии.

Каждый вариант диагностической работы состоял из 8 заданий базового уровня сложности (4 задания с выбором одного правильного ответа из четырёх предложенных, 4 задания с кратким ответом) и 2 заданий повышенного уровня сложности с развернутым ответом.

Задания с выбором ответа и кратким ответом оценивались 1 баллом, задания с развернутым ответом – в 2 балла. Максимальный тестовый балл за выполнение всей работы – 12 баллов.

Шкала выставления отметок за тест в соответствии с диапазоном тестовых баллов представлена в таблице 1.

Таблица 1

Отметка по пятибалльной шкале	«2»	«3»	«4»	«5»
Диапазон тестовых баллов	Меньше 5	5–7	8–10	11–12

Диагностические тесты были одобрены представителями Ассоциации учителей математики города Москвы.

Основные результаты выполнения диагностической работы

Диагностическую работу по математике выполняли 30 803 обучающихся 8-х классов (1551 класс) из 962 общеобразовательных организаций.

Распределение учащихся по количеству полученных тестовых баллов представлено на диаграмме.

Диаграмма 1

Как видно из диаграммы, максимум в распределении учащихся по полученным баллам приходится на 6 – 8 баллов (10190 учащихся – это 33% от числа тестировавшихся). Выполнили все задания правильно, набрав 12 баллов, 2187 восьмиклассников (7%). Не выполнили ни одного задания 373 ученика (1%), справились с 1-2 заданиями 2564 учащихся (8%).

В таблице 2 показано распределение отметок, полученных учащимися 8 классов за выполнение диагностической работы по математике в марте 2014 года, и средних школьных отметок по алгебре и геометрии за последнюю промежуточную аттестацию (процент от числа учащихся (22724), для которых школами были представлены отметки).

Таблица 2

Отметка по пятибалльной шкале	«2»	«3»	«4»	«5»
Распределение отметок за выполнение диагностической работы	24%	32%	29%	16%
Доля учащихся, имеющих среднюю школьную отметку по результатам промежуточной аттестации	0	36%	46%	18%

Доля несоответствия школьных отметок и отметок за тест (расхождение не менее 2 баллов) составляет 8%.

Как видно из таблицы, 64% восьмиклассников по результатам школьной аттестации имеют оценки «4» и «5» по алгебре и геометрии. Подтвердили эти оценки при выполнении диагностической работы 45% тестировавшихся.

По сравнению с результатами выполнения диагностической работы в 2013 году в 2014 на 12% меньше учащихся с повышенным и высоким уровнем подготовки и на 7% больше учащихся, не достигших достаточного уровня овладения учебным материалом по математике (за выполнение заданий получили менее 5 баллов).

Анализ результатов выполнения диагностической работы по математике

На диаграмме 2 представлены средние результаты выполнения заданий по проверяемым темам, а в приведенной ниже таблице 3 дано сравнение с результатами диагностики в 2013 году.

Диаграмма 2

Таблица 3

Код	Контролируемый элемент содержания	Средний % выполнения
2014	2013
21.01.01	Числовые подстановки в буквенные выражения	71	46
21.10.02	Сокращение дробей без предварительного разложения на множители числителя и знаменателя	88	89
21.11.01	Сложение и вычитание алгебраических дробей с одинаковым знаменателем	65	70
21.12.01	Рациональные выражения и их преобразования	35	61
21.13.01	Квадратный корень из произведения и дроби	85	83
21.13.05	Преобразование выражений, содержащих квадратные корни	74	45
22.17.04	Решение задач составлением полных квадратных уравнений	50
42.11.01	Теорема Пифагора	67	56
43.01.02	Свойства и признаки параллелограмма	36	45
48.01.04	Геометрия. Теоретический материал. Обобщениеклассы)	52
	Среднее	58%	64%

Анализ данных, приведенных в таблице по критериям, принятым в практике педагогических измерений, позволяет утверждать, что восьмиклассники в целом овладели умениями (средний процент выполнения заданий по разделу не менее 65%):

·  выполнять числовые подстановки в буквенные выражения;

·  складывать и вычитать алгебраические дроби с одинаковым знаменателем;

·  выполнять сокращение алгебраических дробей, без предварительного разложения на множители числителя и знаменателя;

·  вычислять квадратный корень из произведения и дроби;

·  выполнять преобразование выражений, содержащих квадратные корни;

·  применять теорему Пифагора при решении простейших задач на нахождение сторон треугольников.

На следующей диаграмме 3 представлена структура знаний трех групп учащихся, успевающих по математике на «3», «4», «5».

Диаграмма 3

Как видно из диаграммы, учащиеся, успевающие в школе на «3» справились с заданиями (выполнение не ниже 65%) только по двум темам:

·  сокращение дробей без предварительного разложения на множители числителя и знаменателя;

·  квадратный корень из произведения и дроби.

Восьмиклассники, успевающие по алгебре и геометрии на «4» (или на «4» и «3»), справились на достаточном уровне (выше 65%) более чем с половиной заданий. А 18% учащихся с отличным уровнем знаний в основном овладели всеми проверяемыми умениями.

Ниже приведены примеры заданий по темам, являющимся проблемными в основном для учеников, успевающих по математике на «3».

Примеры проблемных заданий

Умение выполнять числовые подстановки в буквенные выражения проверяется во всех диагностических работах. По сравнению с результатами прошлого года в 2014 году восьмиклассники заметно успешнее справились с подобными заданиями (уровень выполнения заданий выше в среднем на 25%).

Пример 1

Найдите значение выражения при .

Ответ запишите в виде десятичной дроби.

Правильный ответ:1,25, получили 67% учащихся, 8% - не дали никакого ответа, а 25% - допустили различные ошибки при вычислениях, в том числе 6% ошиблись со знаком (записали в ответе «-1,25»). Среди учащихся, успевающих по математике на «3», только около половины тестировавшихся, выполняя это задание, получили правильный ответ.

Задания на сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями выполнены восьмиклассниками в среднем на 65%, а в 2013 году на 70%. И это при том, что в два варианта были включены задания из комплекта тестов прошлого года, а справились с ними практически на том же уровне.

Пример 2

Выполните вычитание: .

1)

(32%)

2)

2 (59% - правильный ответ)

3)

(5%)

4)

(4%)

По результатам прошлого года правильный ответ для этого задания указали 62% тестировавшихся.

Анализ результатов показывает, что решать задачи составлением полных квадратных уравнений умеют около половины восьмиклассников. При этом порядка 15% учащихся не дают никакого ответа Успешнее восьмиклассники решают задачи с практическим условием: расстановка рядами стульев (58%), рассадка рядами кустов (60%). Решение двух других задач (пример 3 и 4) вызвало трудности у большего количества учащихся.

Пример 3

Произведение двух натуральных чисел равно 85. Одно из них на 12

больше другого. Чему равна сумма этих чисел?

Правильный ответ: 22, получили 52% учеников, 16% - не дали никакого ответа.

С подобным заданием в другом варианте справилось только 29% восьмиклассников (см. следующий пример).

Пример 4

Произведение двух последовательных натуральных чисел на 6 больше

удвоенного меньшего числа. Найдите сумму этих натуральных чисел.

Правильный ответ: 7

На это задание не дали никакого ответа 30% учащихся.

13% (что составляет порядка тысячи учащихся) получили в ответе четные числа, т. е. эти восьмиклассники не понимают, что сумма двух последовательных чисел является нечетным числом.

Ошибка 10% тестировавшихся, записавших в ответе число «13», была допущена при составлении уравнения: вместо удвоенного произведения (2х) они возвели меньшее число в квадрат, т. е. решали уравнение: (х+1)х=х2 +6.

Умение выполнять преобразование рациональных выражений проверялось заданиями с развернутым ответом.

Пример 5

Выполните действия: .

Приведите подробное решение.

Эксперты, оценивали выполнение этого задания в соответствии со следующими критериями.

Элементы содержания верного ответа (допускаются иные формулировки, не искажающие смысл ответа)
1.  2.
Указания к оцениванию	Баллы
Верны оба элемента ответа	2
Первый элемент верен, но допущена ошибка во втором ИЛИ Допущена ошибка в первом элементе, но с учётом её второе действие выполнено верно	1
В остальных случаях	0

Выполнение задания составило 33%: получили за решение 2 балла – 30% восьмиклассников, 1 балл – 6%.

25% допустили ошибки (две и более), выполняя преобразования, а 39% не приступали к решению.

Выполнение этого же задания (по форме оно было с выбором ответа) составило в 2013 году 56%. Такой показатель также свидетельствовал о недостаточном уровне освоения умения выполнять действия с рациональными выражениями.

Достаточный уровень выполнения заданий с геометрическим содержанием был получен только для заданий на применение теоремы Пифагора (67%). При этом 13% учащихся не дали никакого ответа на эти задания, а учащиеся, успевающих в школе на «3», справились с этими заданиями на уровне 42% выполнения.

Неумение большинства учащихся решать геометрические задачи является следствием плохого усвоения теоретического материала по геометрии. Второй год в тесты включаются задания с выбором ответа на определение верных утверждений, касающихся свойств и признаков параллелограмма и равенства треугольников. Справляются с этими заданиями только около половины тестировавшихся восьмиклассников.

Пример 6 (2013 год)

Верны ли следующие утверждения?

А. Если в выпуклом четырёхугольнике противоположные стороны попарно равны, то он является параллелограммом.

Б. В параллелограмме диагонали являются биссектрисами его углов.

1)	верно только А - (45% - правильный ответ)
2)	верно только Б - (24%)
3)	верны оба утверждения - (17%)
4)	оба утверждения неверны - (14%)

Пример 7 (2014 год)

Какие из утверждений верны?

А. Если три угла одного треугольника соответственно равны трём углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Б. В любом параллелограмме диагонали являются биссектрисами его углов.

1)

только А –(19%)

2)

только Б – (21%)

3)

и А, и Б – (11%)

4)

ни А, ни Б –(49% - правильный ответ)

Задачи на свойства и признаки параллелограмма решили в среднем 36% учащихся.

Пример 8

В параллелограмме ABCD (см. рисунок)

DC = BK, ÐKAD = 26°. Найдите величину угла В.

Приведите подробное решение с пояснениями.

Выполнение задания составило 35%:

2 балла за решение получили 27% учащихся,

1 балл – 16%, 0 баллов – 15%,

42% – не приступали к решению.

Оценивалось выполнение задания в соответствии с приведенными ниже критериями.

Элементы содержания верного ответа (допускаются иные формулировки, не искажающие смысл ответа)
1.  ÐВКА = ÐКАD = 26° как (внутренние) накрест лежащие для параллельных прямых ВС и AD и секущей АК. 2.  ВК = CD по условию, но CD = АВ по свойству противоположных сторон параллелограмма, следовательно, треугольник АВК – равнобедренный, значит ÐВ = 180° – 52°=128°.
Указания к оцениванию	Баллы
Верны оба элемента ответа	2
Приведены равные элементы, но частично или полностью отсутствуют теоретические обоснования, получен верный ответ ИЛИ допущена вычислительная ошибка при достаточных обоснованиях	1
В остальных случаях	0

Сравнительный анализ результатов тестирования

Независимая диагностика знаний учащихся основной школы по математике проводится ежегодно в различных классах. В таблице 4 представлены сведения о диагностических работах по математике в 8 классе за три года.

Таблица 4

	2014 год (март)	2013 год (февраль)	2010 год (апрель)
Структура тестов	10 заданий: 7 заданий по алгебре, 3 – по геометрии; 4 задания с выбором ответа, 4 с кратким ответом и 2 задания с развернутым ответом. Максимальный балл - 12	12 заданий: 9 по алгебре, 3 по геометрии; 6 заданий с выбором ответа и 6 с кратким ответом. Максимальный балл - 12	15 заданий: 12 по алгебре и 3 по геометрии; 12 заданий с выбором ответа и 3 с кратким ответом. Максимальный балл – 15.
Участники	30803 учащихся из 962 ОО (1551 класса)	21245 учащихся из 698 ОУ (1077 классов)	2548 учащихся из 124 ОУ (124 класса)
Средний процент выполнения заданий теста	58%	64%	61%
Уровень подготовки учащихся по результатам тестирования
Отличный и хороший	45%	57%	48%
Неудовлетворительный	24%	17%	18%

Как видно из таблицы включение в тесты заданий с развернутым ответом привело к снижению процента выполнения заданий на 6% по сравнению с 2013 годом и к увеличению процента учащихся, не справившихся с работой (на 7%).

Анализ результатов отдельных школ и классов, участвовавших в тестировании по математике, показывает увеличение доли восьмых классов с низким уровнем подготовки учащихся (40% учащихся и более выполнили работу на «2»): с 16% в 2013 году до 23% в 2014 году.

Таблица 5

Доля классов с низким уровнем подготовки учащихся по математике

2010 год	2013 год	2014 год
17%	16%	23%

Описание уровня подготовки учащихся, получивших различные отметки

на тестировании (2014 год)

Категории участников тестирования	Описание уровня подготовки по математике категорий участников тестирования
Отметка «5» (11 – 12 баллов). Учащихся в этой категории – 16%. Средний процент выполнения заданий 95 %.	Учащиеся продемонстрировали владение всеми контролируемыми элементами содержания на достаточно высоком уровне (выполнение заданий от 84 до 99%).
Отметка «4» (8 – 10 баллов). Учащихся в этой категории – 29 %. Средний процент выполнения заданий 75 %.	Тестируемые данной группы продемонстрировали владение всеми контролируемыми элементами содержания. С заданиями повышенного уровня сложности (задания с развернутым ответом) справилось около половины тестировавшихся этой группы: ·  рациональные выражения и их преобразования (54%); ·  решение задач на свойства и признаки параллелограмма (56%). Недостаточно (60%) освоенным является для данной группы учащихся теоретический материал по геометрии: признаки равенства треугольников, свойства и признаки параллелограмма.
Отметка «3» (5 – 7 баллов). Учащихся в этой категории – 32%. Средний процент выполнения заданий 51 %.	Учащиеся с удовлетворительным уровнем подготовки показали достаточный уровень (выполнение выше 65%) знаний при выполнении базовых заданий, проверявших следующие элементы математической подготовки: ·  числовые подстановки в буквенные выражения (73%); ·  сокращение дробей без предварительного разложения на множители числителя и знамена%); ·  квадратный корень из произведения и дроби (91%); ·  преобразование выражений, содержащих квадратные корни (76%); ·  решение задач с применением теоремы Пифагора (67%). ·  решение линейных уравнений (72%).
Отметка «2» (меньше 5 баллов). Процент учащихся в этой категории –24%. Средний процент выполнения заданий 22 %.	Большинство учащихся (67%) справились только с заданием на сокращение дробей без предварительного разложения на множители числителя и знаменателя. Остальные элементы содержания этой группой учеников не освоены.

Выводы

76% учащихся 8-х классов по результатам итоговой диагностики овладели базовыми знаниями и умениями по алгебре и геометрии. Увеличилась по сравнению с прошлым годом на 7% доля учащихся с неудовлетворительным уровнем подготовки. 9% учащихся смогли выполнить в диагностической работе не более двух заданий (среди них есть учащиеся, которые получили за работу 0 баллов).

Половина восьмиклассников

·  не умеют решать задачи составлением полных квадратных уравнений;

·  не знают признаков равенства треугольников, а также свойств и признаков параллелограмма.

Только около трети учащихся выполнили задания с развернутым ответом на преобразование рациональных выражений и на решение геометрических задач (свойства и признаки параллелограмма). Столько же учащихся не приступили к решению этих заданий.

Учащиеся, успевающие в школе по алгебре и геометрии на «3» (36%), овладели знаниями только по двум темам:

·  сокращение дробей без предварительного разложения на множители числителя и знаменателя;

·  квадратный корень из произведения и дроби.

Улучшились по сравнению с прошлым годом показатели выполнения заданий по следующим темам:

·  числовые подстановки в буквенные выражения;

·  преобразование выражений, содержащие квадратные корни;

·  теорема Пифагора.