Рабочая учебная программа дисциплины Математический анализ 2

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ и НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

"МАТИ" - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ

УНИВЕРСИТЕТ имени

______________________________________________________________________

Кафедра «Высшая математика»

"УТВЕРЖДАЮ"

Проректор по учебно-методической

работе — зам. председателя УМО

________________

" " __________ 20___ г.

РАБОЧАЯ УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ

Математический анализ 2

Направление подготовки: 011200.62 «Физика»

Квалификация (степень) выпускника: Бакалавр

Форма обучения: Очная

Выпускающая кафедра: Физика

Цикл дисциплин: МиЕН

Трудоемкость дисциплины (з. е.): 10

Распределение трудоемкости дисциплины по семестрам и видам учебной работы

Вид учебной работы	Семестр
3	4
Общий объем аудиторных занятий (АЗ) (всего), час. в том числе:	76	72
Лекции (ЛК)	32	32
Практические занятия (ПЗ) или семинарские занятия (СЗ)	32	32
Контроль самостоятельной работы (тестирование, коллоквиум, контрольные работы и др.) (КСР)	8	8
Общий объем самостоятельной работы (СР): час. /количество в том числе:	72	72
Выполнение курсовых работ: (КР)	44/1	44/1
Подготовка к контрольным работам (к сеансам тестирования)	12/3	12/3
Подготовка к практическим занятиям	16	16
Вид промежуточной аттестации (зачет, экзамен):	Э./36	Э./36

Содержание дисциплины «Математический анализ 2» охватывает круг вопросов, связанных с изучением следующих разделов: Числовые ряды, Функциональные ряды, Гармонический анализ, Кратные интегралы, Криволинейные и поверхност­ные интегралы и теория поля, Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей.

Эта математическая дисциплина предназначена для подготовки бакалавров. Это накладывает на нее определенные требования, заключающиеся в том, что выпускник должен получить базовое, общее, широкое высшее образование, способствующее дальнейшему развитию личности.

Математика является не только мощным средством решения прикладных задач и универсальным языком науки, но также и элементом общей культуры. Поэтому математическое образование следует рассматривать как важнейшую составляющую фундаментальной подготовки бакалавра.

Цели и задачи освоения дисциплины

Целью освоения дисциплины «Математический анализ 2» является развитие интеллекта студентов, способности к логическому и алгоритмическому мышлению; обучение основным математическим методам, необходимым для анализа и моделирования процессов и явлений, при поиске оптимальных решений задач, возникающих в процессе профессиональной деятельности.

Для достижения поставленной цели при изучении дисциплины решаются следующие задачи:

1. Создание у студентов достаточно широкой подготовки в области математики.

2. Воспитание достаточно высокой математической культуры.

3. Привитие навыков современных видов математического мышления.

4. Привитие навыков использования математических методов и основ математического моделирования в практической деятельности.

5. Привитие навыков самостоятельной работы с литературой по математике и ее приложениям.

Место дисциплины в структуре ООП ВПО

Дисциплина «Математический анализ 2» является важной частью профессиональной подготовки бакалавра по направлению 011200.62 «Физика» и относится к математическому и естественнонаучному циклу (циклу МиЕН). Изучение данной дисциплины базируется на знании школьных курсов элементарной математики и физики, а также курса «Математический анализ 1» для направления 011200.62 «Физика», читаемого в МАТИ.

Освоение курса «Математический анализ 2» лежит в основе дальнейшего обучения профессиональной деятельности для решения практических задач в различных областях.

Требования к результатам освоения дисциплины:

Изучение дисциплины направлено на формирование следующих общекультурных компетенций:

Владение культурой мышления, способности к обобщению, анализу, восприятию информации, постановке цели и выбору путей её достижения; Стремление к саморазвитию, повышению своей квалификации и мастерства к устранению пробелов в знаниях и к обучению на протяжении всей жизни; Владение основными методами, способами и средствами получения, хранения, переработки информации, приобретению навыков работы с компьютером как средством управления информацией.

Изучение дисциплины направлено на формирование следующих профессиональных компетенций:

Способность использовать основные законы естественнонаучных дисциплин в профессиональной деятельности, применение методов математического анализа и моделирования, теоретического и экспериментального исследования; Способность собирать и анализировать научно-техническую информацию, учитывать современные тенденции развития и использовать достижения отечественной и зарубежной науки, техники и технологии в профессиональной деятельности; Способность работать с информацией в глобальных компьютерных сетях; Способность проводить исследования, обрабатывать и представлять экспериментальные данные.

В результате освоения дисциплины «Математический анализ 2» обучающийся должен:

3.1. Знать:

— основные понятия и методы теории числовых и функциональных рядов, рядов Фурье, теории кратных, криволинейных и поверхност­ных интегралов, теории поля и дифференциальной геометрии кривых и поверхностей.

3.2. Уметь:

— применять математические методы, модели и законы для решения практических задач.

3.3. Владеть:

— математическим аппаратом и навыками использования современных подходов и методов математики к описанию, анализу, теоретическому и экспериментальному исследованию, моделированию природных явлений и процессов в объеме, необходимом для использования в обучении и профессиональной деятельности.

Структура и содержание разделов дисциплины (модуля)

4.1. Лекции

№ п/п	Наименование раздела дисциплины	Содержание раздела	Трудо-емкость, час
	3 семестр		32
1	Числовые ряды	Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда. Бесконечная геометрическая прогрессия и гармонический ряд. Простейшие свойства сходящихся рядов. Необходимое условие сходимости. Остаток ряда. Ряды с неотрицательными членами, критерий сходимости. Признаки сравнения. Признак сходимости Даламбера. Радикальный признак Коши. Интегральный признак сходимости. Знакопеременные ряды, ряды с комплексными членами. Абсолютная и условная сходимости. Признак Лейбница. Свойства абсолютно сходящихся рядов. Применение признаков сравнения, Даламбера и Коши к знакопеременным рядам.	8
2	Функциональные ряды	Функциональные ряды. Различные типы сходимости. Область сходимости. Равномерная сходимость. Признак Вейерштрасса. Свойства равномерно сходящихся рядов. Непрерывность суммы ряда. Интегрирование и дифференцирование рядов. Степенные ряды. Область сходимости степенного ряда. Радиус сходимости. Основные свойства степенных рядов: равномерная сходимость, непрерывность и бесконечная дифференцируемость суммы. Почленное интегрирование и дифференцирование степенных рядов. Разложение функции в степенной ряд. Единственность разложения. Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение в степенной ряд некоторых элементарных функций. Умножение и деление степенных рядов. Подстановка одного ряда в другой. Применение степенных рядов.	8
3	Гармонический анализ	Скалярное произведение функций, ортогональные системы функций, норма функции. Разложение функции по ортогональной системе. Тригонометрическая система функций на отрезке , ее ортогональность. Тригонометрический ряд. Коэффициенты Фурье. Ряд Фурье. Теорема Дирихле. Ряд Фурье на отрезке . Разложение четных и нечетных функций. Ортогональные системы и ряды Фурье на отрезках и . Примеры. Ряды Фурье в комплексной форме. Кратные ряды Фурье. Интеграл Фурье. Преобразование Фурье и его свойства.	8
4	Кратные интегралы	Определение кратного интеграла, теорема о его существовании. Свойства кратного интеграла. Геометрический смысл двойного интеграла. Вычисление двойного интеграла путем сведения его к повторному. Переход к полярным координатам в двойном интеграле. Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах. Криволинейные системы координат. Якобиан и его геометрический смысл. Замена переменных в кратных интегралах. Переход к цилиндрическим и сферическим координатам в тройном интеграле. Применение кратных интегралов к решению задач механики и геометрии (площади, объемы, масса тела, статический момент и центр тяжести, момент инерции).	8
	4 семестр		32
5	Криволинейные и поверхност­ные интегралы и теория поля	Скалярные и векторные поля. Криволинейные интегралы 1-го и 2-го рода, их свойства и вычисление. Циркуляция векторного поля. Формула Грина. Условие независимости криволинейного интеграла 2-го рода от пути интегрирования. Поверхностные интегралы 1-го и 2‑го рода. Их свойства и вычисление. Формула Гаусса–Остроградского. Дивергенция векторного поля, ее физический смысл. Формула Стокса. Ротор векторного поля, его физический смысл. Потенциальное поле, его свойства. Условие потенциальности. Соленоидальное поле, его свойства. Условие соленоидальности.	14
6	Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей	Кривые на плоскости и в пространстве. Вектор-функции. Регулярные кривые. Натуральный параметр. Соприкасающаяся плоскость и круг кривизны. Кривизна кривой. Главная нормаль и бинормаль. Формулы Френе. Кручение кривой. Сопровождающий трехгранник кривой. Натуральные уравнения кривой. Поверхности, способы их задания. Регулярные поверхности. Параметризация поверхности. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Метрические понятия на поверхности. Первая квадратичная форма поверхности. Кривизна кривых на поверхности. Геодезическая и нормальная кривизна. Теорема Менье. Вторая квадратичная форма. Вы­чис­ле­ние нормальной кривизны. Глав­ные кривизны. Гауссова кривизна и сред­няя кривизна поверхности. Классификация точек на поверхности. Индикатриса Дюпена. Формула Эйлера. Геодезические линии на поверхности.	18
Итого:	64

4.2. Лабораторный практикум – нет

№ п/п	Наименование раздела дисциплины	Наименование лабораторных работ	Трудо-емкость, час
1
2
3
Итого:

4.3. Практические занятия

№ п/п	Наименование раздела дисциплины	Наименование практических занятий	Трудо- емкость, час
	3 семестр		32
1	Числовые ряды	Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Признаки сравнения.	2
2	Числовые ряды	Признак Даламбера и радикальный признак Коши.	2
3	Числовые ряды	Интегральный признак Коши. Исследование сходимости рядов с положительными членами.	2
4	Числовые ряды	Исследование сходимости с применением признака Лейбница. Абсолютная и условная сходимость числовых рядов.	2
5	Функциональные ряды	Исследование функциональных рядов на сходимость. Равномерная сходимость. Интегрирование и дифференцирование функциональных рядов.	2
6	Функциональные ряды	Исследование сходимости и равномерной сходимости степенных рядов.	2
7	Функциональные ряды	Разложение функций в ряд Тейлора.	2
8	Функциональные ряды	Применение степенных рядов в приближенных вычислениях.	2
9	Гармонический анализ	Разложение функций в ряды Фурье.	4
10	Гармонический анализ	Интеграл Фурье.	2
11	Кратные интегралы	Вычисление двойных интегралов сведением к повторным (в декартовых координатах).	2
12	Кратные интегралы	Вычисление двойных интегралов переходом к полярным координатам.	2
13	Кратные интегралы	Вычисление тройных интегралов сведением к повторным (в декартовых координатах).	2
14	Кратные интегралы	Вычисление тройных интегралов переходом к цилиндрическим и сферическим координатам.	2
15	Кратные интегралы	Приложение кратных интегралов к задачам геометрии и механики.	2
	4 семестр		32
16	Криволинейные и поверхност­ные интегралы и теория поля	Вычисление криволинейных интегралов 1-го рода.	2
17	Криволинейные и поверхност­ные интегралы и теория поля	Вычисление криволинейных интегралов 2-го рода. Формула Грина.	4
18	Криволинейные и поверхност­ные интегралы и теория поля	Вычисление поверхностных интегралов 1-го и 2-го рода.	2
19	Криволинейные и поверхност­ные интегралы и теория поля	Теорема Гаусса–Острогра­дского и её применение. Вычисление дивергенции векторного поля.	2
20	Криволинейные и поверхност­ные интегралы и теория поля	Теорема Стокса и её применение. Вычисление ротора векторного поля.	2
21	Криволинейные и поверхност­ные интегралы и теория поля	Потенциальные и соленоидальные векторные поля.	2
22	Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей	Кривые на плоскости и в пространст­ве. Регулярные кривые.	4
23	Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей	Длина дуги кривой. Натуральный параметр.	2
24	Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей	Кривизна кривой. Кручение кривой. Формулы Френе.	2
25	Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей	Сопровождающий трехгранник пространственной кривой.	2
26	Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей	Поверхности, способы их задания.	2
27	Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей	Кривизна кривых на поверхности.	4
28	Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей	Классификация точек на поверхности.	2
Итого:	64

4.4. Контроль самостоятельной работы

№ п/п	Наименование раздела дисциплины (модуля)	Форма контроля	Трудо-емкость, час
	3 семестр		8
1	Числовые ряды	Контрольная работа (или тестирование) «Числовые ряды».	2
2	Функциональные ряды	Контрольная работа (или тестирование) «Функциональные ряды».	2
3	Гармонический анализ	Контрольная работа (или тестирование) «Разложение функций в ряды Фурье».	2
4	Кратные интегралы	Защита КР 1.	2
	4 семестр		8
5	Криволинейные и поверхност­ные интегралы и теория поля	Контрольная работа (или тестирование) «Вычисление криволинейных интегралов».	2
6	Криволинейные и поверхност­ные интегралы и теория поля	Контрольная работа (или тестирование) «Вычисление поверхностных интегралов».	2
7	Криволинейные и поверхност­ные интегралы и теория поля	Защита КР 2.	2
8	Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей	Контрольная работа (или тестирование) «Дифференциальная геометрия».	2
Итого:	16

5.  Самостоятельная работа

№ п/п	Наименование раздела дисциплины	Вид работы	Трудоемкость, часы
	3 семестр		72
1	Числовые ряды	Подготовка к практическим занятиям. Подготовка к контрольной работе (или тестированию) «Числовые ряды».	8
2	Функциональные ряды	Подготовка к практическим занятиям. Подготовка к контрольной работе (или тестированию) «Функциональные ряды».	8
3	Гармонический анализ	Подготовка к практическим занятиям. Подготовка к контрольной работе (или тестированию) «Разложение функций в ряды Фурье».	8
4	Кратные интегралы	Подготовка к практическим занятиям. Выполнение КР 1.	48
	4 семестр		72
5	Криволинейные и поверхност­ные интегралы и теория поля	Подготовка к практическим занятиям. Подготовка к контрольным работам (к сеансам тестирования) «Вычисление криволинейных интегралов» и «Вычисление поверхностных интегралов». Выполнение КР 2.	60
6	Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей	Подготовка к практическим занятиям. Подготовка к контрольной работе (или тестированию) «Дифференциальная геометрия».	12
Итого:	144

Примерные тематики курсовых работ

В каждом семестре предполагается выполнение одной курсовой работы. Курсовые работы должны способствовать овладению студентами навыками самостоятельной работы и реализации индивидуального творческого мышления по основным темам курса математики. Каждая курсовая работа содержит теоретические упражнения и расчетную часть (задачи). Теоретические упражнения являются общими для всех студентов, задачи для каждого студента группы индивидуальные.

Контроль за выполнением курсовой работы проводится в два этапа.

1). Предварительная проверка правильности письменного решения теоретических упражнений и задач;

2). Защита курсовой работы (возможна в двух вариантах, устном или письменном).

3 СЕМЕСТР

КР 1. Кратные интегралы.

Цель задания — освоение студентами методики применения кратных интегралов к решению физических, механических, инженерных и др. прикладных задач.

4 СЕМЕСТР

КР 2. Векторный анализ.

Цель задания — освоение студентами методики применения криволинейных и поверхностных интегралов и векторного анализа к решению физических, механических, инженерных и др. прикладных задач.

6.  Образовательные технологии

В рамках освоения дисциплины «Математический анализ 2» с целью формирования и развития профессиональных навыков обучающихся используются следующие образовательные технологии при реализации различных видов учебной работы:

1.  Чтение лекций по курсу «Математический анализ 2».

2.  Проведение практических занятий, контрольных работ, курсовых работ. Цель таких занятий – закрепить знания теоретических основ математики и привить навыки работы с математическими методами для нахождения численного решения поставленных задач.

3.  Для самостоятельной работы студентам раздаются индивидуальные многовариантные задания, которые включают задачи по всем изучаемым разделам математики. Студент должен не только знать основные понятия, определения и формулы, но и уметь их применять для решения конкретных задач с привлечением данных из справочной литературы. Решение задач позволяет глубже понимать теоретические положения курса.

4.  Теоретические знания по математике контролируются на экзамене. Практические знания контролируются на контрольных работах и на защите курсовой работы.

5.  Существует доступ к лекциям в электронном виде (их можно скачать с сайта).

6.  При выполнении студентами курсовых работ на этапе самостоятельной работы можно активно применять программный комплекс дистанционного образования и электронные учебные пособия.

7.  Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины и учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов

Задание 1.

1. Найти массу пластинки плотности заданной неравенствами

2. Найти объем тела, ограниченного поверхностями

3. Найти центр тяжести однородного полушара

4. Найти массу кривой с линейной плотностью

5. Вычислить работу векторного поля вдоль линии от точки А(0,0) до точки В(1,1).

6. Вычислить циркуляцию векторного поля по контуру Г, состоящему из частей кривых (направление обхода положительное).

7. Найти массу поверхности с поверхностной плотностью

8. Найти поток векторного поля через часть плоскости ограниченную координатными плоскостями (нормаль к плоскости Р образует острый угол с осью Oz).

9. Найти циркуляцию векторного поля вдоль контура лежащего в плоскости z = 0, в положительном направлении относительно орта k.

10. Вычислить поток векторного поля через замкнутую поверхность в направлении внешней нормали.

11. Найти дивергенцию и ротор векторного поля если

12. Проверить, является ли векторное поле

потенциальным. В случае положительного ответа найти его потенциал и, предполагая, что в начале координат и = 0.

8.  Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины «Математический анализ 2»

8.1. Основная литература:

1. , Никольский уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. М., Высшая школа, 2007.

2. , , Данко математика в упражнениях и задачах. В 2-х частях. Ч. 2. М., Оникс, 2012.

3. Пискунов и интегральное исчисления. В 2-х томах. Т. 1, 2. М., Интеграл-Пресс, 2010.

4. Рашевский дифференциальной геометрии. М., ЛКИ, 2008.

5. Сборник задач по математике для втузов. В 4-х частях. Ч. 3. Под ред. и . М., Физматлит, 2009.

8.2. Дополнительная литература:

1. Берман задач по курсу мате­ма­тического анализа. М., Нау­ка, 2009.

2. Выск анализ. В 3-х частях. Ч. 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. Учебное пособие. М., МАТИ, Каф. "Высш. мат.", 2011, 1–85.

3. Кузнецов заданий по высшей математике. Типовые расчеты. СПб., Лань, 2008.

4. Мышкис по высшей математике. СПб., Лань, 2009.

5. Мышкис для технических ВУЗов. Специальные курсы. СПб., Лань, 2009.

6. , Выск , криволинейные и поверхностные интегралы. Теория поля. Методические указания и варианты курсовых заданий. М., МАТИ, 2007, 1‑54.

7. Фихтенгольц дифференциального и интегрального исчисления. В 3-х томах. Т. 2–3. СПб., Лань, 2009.

8.3. Программное обеспечение и Интернет-ресурсы:

http://www. rstu. ru/ – сайт кафедры «Высшая математика».

http://mati. ru/education/fakult5/kafedra4/site – сайт кафедры «Прикладная математика и информационные технологии».

http://www. rstu. ru/programs/ – программы кафедры «Высшая математика» для студентов всех направлений «МАТИ – РГТУ им. ».

http://www. rstu. ru/metods/ – конспекты лекций по математике, варианты курсовых и контрольных заданий, составленные коллективом кафедры «Высшая математика».

http://www2.mati. ru/library. html – библиотека МАТИ.

http://www. mathnet. ru/ – Общероссийский математический портал.

http://window. edu. ru/ – Информационная система «Единое окно доступа к образовательным ресурсам».

http://eqworld. ipmnet. ru/indexr. htm – Международный научно-образовательный сайт EqWorld.

9.  Материально-техническое обеспечение форм учебной работы по дисциплине «Математический анализ 2»

Кафедра «Высшая математика» МАТИ, реализующая образовательную программу по дисциплине «Математический анализ 2», располагает материально-технической базой, обеспечивающей проведение всех видов учебных занятий: лекционных, практических и научно-исследовательской работы обучающихся, предусмотренных учебным планом ВУЗа и соответствующей санитарным и противопожарным правилам и нормам.

Перечень материально-технического обеспечения, необходимого для реализации образовательной программы по дисциплине «Математический анализ 2» включает в себя:

а) лекционные и практические занятия проводятся на базе общеинститутского аудиторного фонда;

б) кафедра «Высшая математика» обладает компьютерной лабораторией, имеются методические и программные комплексы для получения знаний и приобретения навыков по всем видам подготовки и научно-исследовательской работы. Все компьютеры имеют выход в Интернет.

При использовании электронных изданий (см. п 8) – все методические разработки кафедры – каждый обучающийся во время аудиторных занятий и самостоятельной подготовки обеспечен рабочим местом в компьютерной лаборатории кафедры «Высшая математика» МАТИ с выходом в Интернет в соответствии с объемом изучаемых дисциплин. Одновременный доступ к сети Интернет имеет 100% студентов.

Рабочая учебная программа по дисциплине "Математический анализ 2” составлена в соответствии с требованиями Федерального Государственного образовательного стандарта ВПО с учетом рекомендаций ПрООП ВПО для направления 011200.62 "Физика".

Автор (проф., д. ф.-м. н.) ___________________ ()

Заведующий кафедрой ___________________ ()

Рабочая учебная программа рассмотрена на заседании учебно-методического совета университета протокол № ____ от “ “ ________ 20___ г. и признана соответствующей требованиям Федерального Государственного образовательного стандарта и учебного плана для направления 011200.62 "Физика".

Председатель УМС ______________