О роли логики в преподавании и изучении математики

ТГСПА им. , Тобольск

О РОЛИ ЛОГИКИ В ПРЕПОДАВАНИИ И ИЗУЧЕНИИ МАТЕМАТИКИ

Для реализации деятельностно-компетентностного подхода в процессе изучения математических дисциплин в вузе нами выявляются возможности предметно-содержательного и деятельностного компонентов для формирования профессиональной компетентности будущих учителей математики. У будущего учителя математики в процессе обучения в вузе должны быть сформированы: способность сконструировать учебную задачу и провести урок как образовательную ситуацию, умение изменить план урока в зависимости от варианта понимания и типов ошибок учеников.

Традиционные школьные программы в математическом образовании делают акцент на алгоритмические умения и навыки, причем зачастую без формальных определений, опираясь лишь на действия по образцу. На этом же основано и становление логической культуры школьника. В практике преподавания математических дисциплин наиболее общими, «сквозными» являются логические ошибки [2].

В высшей школе основное внимание при решении учебных и профессиональных задач уделяется предметным знаниям, хотя зачастую причиной ошибок является недостаточная логическая подготовка. Проблема развития логического мышления и логической подготовки является одной из наиболее важных задач теории и методики математического образования. Повышение уровня логической подготовки является одним из факторов, развивающих культуру мышления, способствующих формированию научного мировоззрения. Понимание логической структуры определений понятий, предложений теории и доказательств является необходимым условием усвоения знаний.

Преподаватель, стремящийся к повышению качества математической подготовки учащихся, видит множество ситуаций, в которых возникает возможность сказать учащимся о тех логических законах и свойствах, которые лежат в основе того или иного математического понятия, факта, теоремы, доказательства, математической теории. Чем больше будет накоплено подобных логических ситуаций, тем более эффективна будет методика преподавания.

В качестве примера можно выделить логические особенности решения уравнений и неравенств различных видов. Каждое уравнение и неравенство с одним неизвестным представляет собой одноместный предикат, заданный, чаще всего, над множеством действительных чисел. Все решения данного уравнения или неравенства являются множеством истинности соответствующего предиката. Решение уравнения или неравенства – это равносильное его преобразование. Процесс равносильных преобразований есть синтез математики и логики, когда математическое существо подвергается логическому анализу. Непонимание законов логики приводит к запутыванию в случаях и подслучаях. Придумываются различные методы, но все они вторичны. Первична же логика равносильных преобразований. Уяснив ее, можно разобраться и во всех остальных методах [3]. Например, решим неравенство, записав решение в виде последовательности равносильных предикатов:

.

Б. Д. Пайсон выделил следующие четыре уровня формализации логической структуры предметного содержания образовательной области «Математика» [5]:

– (первый уровень – уровень локального структурирования) логические элементы еще не выступают в своей роли, а понимаются исключительно и непосредственно как части речи (связки, союзы, частицы и т. п.); выделенные логические элементы не абстрагируются от предметного содержания;

– (второй уровень – уровень частичной схематизации) выделяются элементарные предложения, составляющие данную единицу содержания, и логические элементы: союзы (связки) и кванторные словосочетания;

– (третий уровень – уровень полной схематизации) достигается при полном выявлении всех логических элементов, входящих в состав единицы содержания и образующих ее логическую структуру (формализованная схема – это самый высокий уровень логического структурирования, который можно достичь, оставаясь в рамках предметного содержания);

– (четвертый уровень – самый высокий уровень выделения логической структуры единицы содержания называется формализацией) в результате формализации образуется логическая формула, полностью утратившая предметное содержание и сохранившая от исходной единицы содержания только характер логических связей.

Для полноценного усвоения математических знаний, умений и навыков учащемуся мало знать лишь содержание математического факта. Приведем примеры, которые показывают, что недостаточность логических знаний и умений является причиной отдельных ошибок и затруднений.

Пример 1. Решая неравенство , учащиеся получают два неравенства x > 2 и x < -1 и иногда делают ошибочный вывод, что исходное неравенство не имеет решений. Ошибка объясняется непониманием логической связи между двумя последними неравенствами. Указанная связь является дизъюнктивной, а не конъюнктивной, что приводит к рассмотрению объединения соответствующих множеств, а не к их пересечению.

Пример 2. Рассмотрим формулировку теоремы: «В равнобедренном треугольнике углы при основании равны». Для того чтобы выделить «дано» и «доказать», следует переформулировать и представить новую формулировку в импликативной форме: «если треугольник равнобедренный, то в нем углы при основании равны». Теперь явно видно, что дано и что требуется доказать, легче различать взаимно обратные утверждения, говорить о необходимых и достаточных условиях.

Пример 3. Построим отрицание утверждения . Данное утверждение означает (это ясно из геометрических соображений), т. е. имеет конъюктивную структуру: . Применяя закон отрицания конъюнкции (), получим отрицание исходного утверждения: . Кроме того, очевидно, что также является отрицанием утверждения . Таким образом, можно объяснить, почему условие того, что , формулируется с помощью союза «и», а в «очень похожем» условии используется союз «или».

Пример 4. Выясним, является ли возрастающей функция

.

Учащиеся часто дают неправильный ответ на этот вопрос, обращая внимание на то, что график этой функции всюду, за исключением единственной точки x = 2, является графиком прямой y = 3x + 6. Полезно предложить определение возрастающей функции в полной логико-математической записи: – и подобрать контрпример: при получаем, что , но не больше. Ответ на вопрос будет отрицательным: функция не является возрастающей.

Умение находить примеры, иллюстрирующие понятия или доказывающие утверждение, либо контрпримеры, опровергающие предложения, являются важным качеством критического мышления. Работа учащихся с примерами и контрпримерами существенно повышает показатели гибкости, оригинальности и быстроты мышления. Перечислим основные функции примеров и контрпримеров в обучении математике: иллюстрирующая и конкретизирующая; доказательная или опровергающая; конструктивная; обучения самоконтролю; предупреждения ошибок и ложных аналогий; речевой самостоятельности [1].

Знание основ логики поможет будущему учителю математики отличать логически строгие доказательства от нестрогих, создаст основу для решения вопроса об уровне строгости преподавания школьного курса математики в конкретных условиях учебного процесса. Конечно, не следует ограничиваться заботой только о формальной логической строгости при построении математического курса. Необходимо уделять внимание разъяснению понятий, в том числе и на интуитивном уровне, рассмотрению иллюстрирующих примеров, решению задач на применение изученных методов. По мнению математика и педагога «Преподавание математики должно быть по возможности простым, ясным, естественным и базироваться на разумном уровне строгости» [4, с. 67]. Вопрос о взаимоотношении логики и интуиции наиболее важен при выборе уровня строгости преподавания в процессе обучения конкретному разделу математики.

Литература

1. Далингер, мышление учащихся и его развитие средствами примеров и контпримеров по математике: учебно-методическое пособие / . – Омск: Изд-во ГОУ ОмГПУ, 2009. – 33 с.

2. Евсюкова, коррекционной работы в процессе обучения будущего учителя математики элементам логики и теории множеств в педвузе: Автореф. дис. … канд. пед. наук: / Е. В. Евсюкова. – Омск, 2007. – 21 с.

3. Игошин, логика как педагогика математики / В. И. Игошин. – Саратов: Издательский центр «Наука», 2009. – 360 с.

4. Кудрявцев, о современной математике и ее изучении / Л. Д. Кудрявцев. – М.: Наука,1977. – 112 с.

5. Пайсон, Б. Д. О некоторых методических аспектах выделения логической структуры предметного математического содержания // Б. Д. Пайсон // Вестник Томского гос. пед. ун-та. – 2006. – № 3. (Сер. «Народное образование. Педагогика»). – С. 5 – 8.