Разработка урока математики в ССУЗе

Разработка урока математики в ССУЗе.

Урок разработан преподавателем математики

ГБОУ СПО «КМТКМП»

Модернизация образования предусматривает опережающее развитие начального и среднего профессионального образования, предполагающее не только наращивание масштабов, но и коренное улучшение качества подготовки специалистов. При этом большое внимание уделяется качеству математического образования. Переход на новые учебные планы сократил, количество аудиторных занятий по математике, а содержательная часть дисциплины не уменьшилась. И так как за последние годы уровень знаний по математике студентов ССУЗов значительно снизился, то большинство учащихся испытывают затруднения даже при решении стандартных математических задач.

Перед преподавателями средних специальных учебных заведений стоит важная проблема поиска и освоения таких форм и методов обучения, в которых акцент ставится на самостоятельность и ответственность за результаты учебной деятельности самих обучающихся, овладение прочными знаниями.

Разрешению данной проблемы будет способствовать использование в учебном процессе  новых инновационных методов, применение информационных технологий, метапредметных технологий, проективной деятельности, увеличение объём материала, выносимого на самостоятельную работу.

Внеаудиторная самостоятельная работа может быть организована с использованием Интернет — технологий, которые позволяет не только экономить время на уроке и время преподавателя на проверку различного рода заданий, но и помогает интенсифицировать процесс обучения математике, уделить больше времени на развитие самостоятельности и познавательной активности учащихся.

Математизация различных областей знания, быстрый рост вычислительной техники требуют сегодня квалифицированных специалистов среднего звена, владеющих математическими методами построения моделей, умеющих проводить математические расчеты и анализ результатов с использованием современных информационных и телекоммуникационных технологий.

На представленном уроке использованы многие методы, позволяющие включить обучающегося в активный мыслительный процесс.

Это создание Интеллект-карт. Интеллект-карта – это графическое выражение процессов многомерного мышления и поэтому является наиболее естественным способом интеллектуальной деятельности человека. С другой стороны Интеллект-карты – это мощный визуальный метод, предоставляющий универсальный ключ к раскрытию интеллектуального потенциала каждого человека вне зависимости от возраста. Интеллект-карты – это инструмент, позволяющий эффективно структурировать обрабатывать и обобщать информацию, мыслить, используя весь свой творческий и интеллектуальный потенциал. В учебном процессе может быть использована для контроля знаний, дает преподавателю определить, причём, моментально, твердые или поверхностные знания имеет обучающийся по изучаемой теме. Применение этого метода позволяет повысить мотивацию обучающихся, улучшить качество знаний, обеспечить конкурентоспособность обучающихся, развивать предметные и коммуникативные компетенции, творческие способности, выявлять причины когнитивных затруднений, корректировать знания учащихся.

Применяется методика : использование игровых форм в организации учебной деятельности. Игры, как известно, способствуют психологической раскрепощённости обучающихся на уроке. Игровая форма занятий создается на уроках при помощи игровых приемов и ситуаций, которые выступают как средство побуждения, стимулирования учащихся к математической деятельности. Реализация игровых приемов и ситуаций в представленном уроке происходит по следующим направлениям: дидактическая цель ставится перед обучающимися в форме игровой задачи; учебная деятельность учащихся подчиняется правилам игры; в учебную деятельность вводится элемент соревнования, который переводит дидактическую задачу в игровую; успешность выполнения дидактического задания связывается с игровым результатом. Таким образом: настольная игра «Математические пазлы» является средством умственного развития, т. к. активизирует различные умственные процессы, позволит обобщить материал по теме урока.

  Использование современных информационных технологий на уроке не только активизирует познавательную деятельность, но и способствует проявлению инициативности обучающихся на уроке; повышает уровень комфортности; развивает информационное мышление. Обеспечивают формирование информационно-коммуникативную компетенций.

Важным структурным элементом урока стало принятие участия, в качестве «второго учителя», приглашенных лиц: на уроке присутствовали бывшие преподаватели колледжа, Почетные работники СПО, специалисты молочного производства, ныне пенсионеры, Это особенно ценно. т. к. урок проходит в группе, готовящейся к изучению специальности машин и оборудования молочной промышленности. В этой группе урок обучается внук приглашенных. Понятно, что даже со специалистами такой высокой квалификации, предварительно необходимо подготовить соответствующий элемент урока. Использование метода, основанного на создании проблемных ситуаций, позволил мне нацелить обучающихся на решение задач, требующих самостоятельного поиска решения, плавно подведя к актуализации знаний по новой теме курса, которая начинает изучаться со следующего урока.

Считаю, что использование на уроках математики современных педагогических технологий позволило мне активизировать познавательную деятельность обучающихся, повысить интерес к предмету, содержательно и методически обогатить учебный процесс, разнообразить его, повысить эффективность обучения.

.

Интегрированный урок на 1 курсе колледжа

по теме: «Применение интеграла в физике и геометрии».

Преподаватель математики

Тип урока: урок систематизации и обобщения знаний. .

Форма урока: Комбинированный урок с применением игровых форм.

Оборудование: компьютерный класс с выходом в Интернет, проектор и экран для просмотра презентаций, раздаточный материал - пазлы (теоретические сведения о законах физики, формулы), задачи, цветные карандаши, таблицы самоанализа для заполнения, модели тетрапаков, линейки.

Цели урока:

Образовательная: формировать мотивы, способствующие развитию научно-познавательного интереса обучающихся к дисциплинам физика и математика, самостоятельной исследовательской деятельности. Развивающая: развивать самостоятельность, логическое мышление, познавательный интерес у обучающихся; вызвать интерес к математике, физике. Воспитательная: воспитать и развивать правильную математическую речь учащихся, навыки сотрудничества, работы в коллективе, ответственность за порученное дело.

Задачи: Научиться решать физические задачи с помощью определенного интеграла; сформулировать схему решения физических задач.

Планируемые результаты:

Личностные: анализировать свои действия и действия участников группы, осознание собственных мотивов учебной деятельности и личностного смысла учения; стремиться открывать новое знание, новые способы действия

Предметные: научиться применять правила вычисления определенного интеграла к решению задач практической и профессиональной направленности, учиться видеть возможность применения этих знаний.

Метапредметные: умение грамотно и логично излагать свои мысли; умение работать с информацией; осмысление поставленной учебной задачи; решение задачи; умение применять правила работы в группах и производить контроль своих действий при решении познавательной задачи; оценивание своей работы и работы других участников урока; 

Междисциплинарные связи:

физика; история; русский язык и культура речи

Ход урока:

Занятие сопровождается компьютерной презентацией (Презентация)

I. Организационный момент.

Группа делится на четыре команды (с учетом психолого-педагогической диагностики). Роли в группе распределяются : руководитель, докладчик, оформитель. Руководитель команды в листе самооценки отмечает одним баллом высокую эффективность работы члена группы. Каждой группе присваивается порядковый номер, в соответствии с которым команды выступают. Под номером 1 наиболее простые задачи, далее по возрастанию сложности. Выдаются карточки самооценки.

II. Вступительное слово учителя математики.

Сообщается тема урока, форма проведения урока.

Обучающиеся знакомятся с присутствующими на уроке гостями. Это бывшие преподаватели специальных дисциплин нашего колледжа, ныне пенсионеры. Евгений Иванович – Почетный работник СПО. Инженер-механик молочной промышленности.

Жанна Юрьевна – Почетный работник СПО. Инженер-технолог молочной промышленности.

В группе, где проходит интегрированный урок обучается их внук. (Презентация )

Математика и физика - это орудие, с помощью которого человек познает и покоряет окружающий мир. Но орудие это - особое. Оно покоряет внешний мир, устанавливает связи и закономерности в природе, подчиняет себе того, кто за него берется, отвечая на многие вопросы. Закономерности в природе, законы природы описываются физикой. Вспомним некоторые законы природы, т. е. законы физики.

III. Проверка домашнего задания.

Проверка выполнения творческого задания – создание интеллект-карт. Интеллект-карта - это технология изображения информации в графическом виде.

IV.Игра «Математические пазлы».

Каждой команде выдаётся комплект пазлов. Необходимо их сложить таким образом, чтобы получились формулы интегрирования. Пазлы двухсторонние. Перевернув их, можно прочитать физический закон. Описать закон математической формулой. В комплекте к пазлам прилагается физическая задача, которую необходимо решить с помощью формул интегрирования.

Команды собирают пазлы, изучают и обсуждают теоретический материал по дисциплине физика. Решают предложенные задачи. Готовятся к докладу, оформляют компьютерную презентацию решения задачи.

Задания для 1 группы

Комплект 1

А). Изучить теорию по теме «Нахождение пути, пройденного телом при прямолинейном движении»

Путь, пройденный телом при равномерном движении за время t, вычисляется по формуле S = vt.

Если тело движется неравномерно в одном направлении и скорость его меняется в зависимости от времени t, т. е. v = f(t), то для нахождения пути, пройденного телом за время от  до , разделим этот промежуток времени на n равных частей Δt. В каждой из таких частей скорость можно считать постоянной и равной значению скорости в конце этого промежутка. Тогда пройденный телом путь будет приблизительно равен сумме  , т. е.

 
Если функция v(t) непрерывна, то 

Итак,

Решить задачу: Тело брошено вверх со скоростью, которая изменяется по закону v=(29,4- 9,8t) м/с. Найти наибольшую высоту подъема.

Ответ: 44,1 (м)

Б) Решить задачу на тему «Масса тонкого стержня»

Вычислить массу участка стержня от значений х1=0 до х2=1, если его линейная плотность выражается формулой ρ(х) = х2 + 1

Ответ: 4/3 (кг)

Задания для 2 группы

Комплект 2

А). Изучить теорию по теме «Вычисление работы силы, произведенной при прямолинейном движении тела»

Пусть тело под действием силы F движется по прямой s, а направление силы совпадает с направлением движения. Необходимо найти работу, произведенную силой F при перемещении тела из положения a в положение b. Если сила F постоянна, то работа находится по формуле  (произведение силы на длину пути).

Пусть на тело, движущееся по прямой Ох, действует сила F, которая изменяется в зависимости от пройденного пути, т. е. . Для того чтобы найти работу, совершаемую силой F на отрезке пути от а до b, разделим этот отрезок на n равных частей . Предположим, что на каждой части  сила сохраняет постоянное значение 

Составим интегральную сумму, которая приближенно равна значению произведенной работы:

т. е. работа, совершенная этой силой на участке от а до b, приближенно мала сумме:

Итак, работа переменной силы вычисляется по формуле: 

Решить задачу: Какую работу надо произвести, при перемещении материальной точки на промежутке от 1 до 2 под действием силы F(x)= x+3

Ответ: 4,5 (Дж)

Б)Решить задачу на тему «Количество электричества»

Вычислить количество электричества, протекшего по проводнику за промежуток времени t1=3 t=4. Сила тока задается формулой I(t)=3t2-2t

Ответ: 30

Задание для 3 группы

Комплект 3

А) Изучить теорию по теме «Вычисление работы, затраченной на растяжение или сжатие пружины»

Согласно закону Гука, сила F, необходимая для растяжения или сжатия пружины, пропорциональна величине растяжения или сжатия.

Пусть х – величина растяжения или сжатия пружины. Тогда , где k – коэффициент пропорциональности, зависящий от свойства пружины.

Работа на участке  выразится формулой , а вся затраченная работа  или . Если  то погрешность величины работы стремится к нулю. Для нахождения истинной величины работы следует перейти к пределу

Итак,

Решить задачу: Сила в 60 Н растягивает пружину на 2 см. Первоначальная длина пружины равна 14 см. Какую работу надо совершить, чтобы растянуть её до 20 см?

Ответ: 5,4 (Дж)

Б)Решить задачу на тему «Количество теплоты за время»

Найти количество теплоты, выделенное за время t1=1 до t2=2, если теплоемкость C(t)=t2+ t

Ответ: 3, (3)

Задание для 4 группы

Комплект4

А)Изучить теорию по теме «Определение силы давления жидкости на вертикально расположенную пластинку»

Из физики известно, что сила Р давления жидкости на горизонтально расположенную площадку S, глубина погружения которой равна h, определяется по формуле:

, где  – плотность жидкости.

Выведем формулу для вычисления силы давления жидкости на вертикально расположенную пластинку произвольной формы, если ее верхний край погружен на глубину a, а нижний – на глубину b.

Так как различные части вертикальной пластинки находятся на разной глубине, то сила давления жидкости на них неодинаковa. Для вывода формулы нужно разделить пластинку на горизонтальных полос одинаковой высоты . Каждую полосу приближенно можно считать прямоугольником (рис.199).

Тогда согласно формуле (4) сила давления на полосу, находящуюся на расстоянии х от поверхности, составит , где  – площадь полосы.

Составим интегральную сумму и найдем ее предел, равный силе давления жидкости на всю пластинку:

Решить задачу: В воду опушена прямоугольная пластинка, расположенная вертикально. Её горизонтальная сторона равна 1м, вертикальная 2м. Верхняя сторона находится на глубине 0,5 м. Определить силу давления воды на пластинку.

Ответ:29430 (Н)

Б) Решить задачу на тему «Зависимость магнитного потока от ЭДС»

Математическая зависимость между магнитным потоком, пронизывающим проводящий замкнутый контур, и электродвижущей силой Ɛ(t) (ЭДС) индукции в этом контуре задается соотношением Ф=∫ Ɛ(t) dt .

Задача: При вращении рамки в однородном магнитном поле возникает ЭДС индукции, изменяющаяся со временем по закону : Ɛ (t) = - 0,01 . Найти значение магнитного потока, пронизывающего рамку в конце первой минуты вращения.

Ответ: 0,01 .

∙Представление работ. Каждая группа по порядку представляет свои наработки. Для этого докладчики каждой группы формулируют физический закон и объясняют математическое решение своих задач, решаемых с помощью определенного интеграла. На экран проецируется теоретический материал пазлов.

Члены других команд конспектируют выступления докладчиков, задают вопросы, выясняют непонятные для них вопросы.

Игра «Маятник».

Суть игры заключается в том, что по заданной тематике каждая группа (например, группа№1) составляет 2 задачи и передают их соседней команде (группе № 2). Команда « 2» , решив задачи, передает их на проверку другой соседней команде (группа№3). После проверки и оцеки решения задачи возвращаются группе «2» для ознакомления с рецензией. Группа «2» передает соседней команде((группе №1) решенную задачу. Роль группы «1» проверить правильность решения задачи и согласиться или не согласиться с решением. Таким образом, задача находится в движении вперед-назад и по часовой стрелке

1-2-3-2-1

2-3-4-3-2

3-4-1-4-3

4-1-2-1-4

VI. Исторический материал. Сведения из истории интегрального исчисления.

Выступление с историческим материалом 1- го обучающегося. (Презентация)

Интеграл - одно из фундаментальных понятий математики. Оно возникло в связи с необходимостью решения задач из физики, механики математики, но в первую очередь, следующих двух: определения скорости прямолинейного движения и площади фигур.

История понятия интеграла уходит корнями к математикам Древней Греции и Древнего Рима. Известны работы учёного Древней Греции - Евдокса Книдского (ок.408—ок.355 до н. э.) на нахождение объёмов тел и вычисления площадей плоских фигур.

Сам Архимед (287-212 до н. э.) высоко ценил результаты древних математиков. Согласно его желанию, на его могиле высечен шар, вписанный в цилиндр. Архимед показал, что объём такого шара равен двум третьим объёма цилиндра. Архимед предвосхитил многие идеи интегрального исчисления, но потребовалось более полутора тысячи лет, прежде чем эти идеи нашли четкое выражение и были доведены до уровня исчисления.

Большое распространение интегральное исчисление получило в XVII веке. Учёные: Г. Лейбниц (1646-1716)и И. Ньютон (1643-1727) открыли независимо друг от друга и практически одновременно формулу, названную в последствии формулой Ньютона - Лейбница, которой мы пользуемся. То, что математическую формулу вывели философ и физик никого не удивляет, ведь математика—язык, на котором говорит сама природа.

Символ интеграла был введён Лейбницом (1675г.) Этот знак является изменением формы латинской буквы S. А слово «интеграл» было введено Я. Бернулли (1690). Пределы интегрирования указал уже Л. Эйлер(1707-1783). В 1697 году появилось название новой ветви математики - интегральное исчисление. Его ввёл Бернулли.

Выступление с историческим материалом 2-го обучающегося. (Презентация)

В развитии интегрального исчисления приняли участие и русские учёные: , , Немецкий математики: Б. Риман, О. Коши. Советский учёный – .

История понятия интеграла тесно связана с задачами нахождения квадратур. Задачами о квадратуре той или иной плоской фигуры математики Древней Греции и Рима называли задачи на вычисление площадей. Латинское слово quadratura переводится как “придание квадратной формы”. Необходимость в специальном термине объясняется тем, что в античнoe время (и позднее, вплоть до XVIII столетия) еще не были достаточно развиты представления о действительных числах. Математики оперировали с их геометрическими аналогами или скалярными величинами, которые нельзя перемножать. Поэтому и задачи на нахождение площадей приходилось формулировать, например, так: «Построить квадрат, равновеликий данному кругу». (Эта классическая задача “о квадратуре круга”не может, как известно, быть решена с помощью циркуля и линейки.)

Само слово интеграл придумал Я. Б е р н у л л и (1690 г.). Вероятно, оно происходит от латинского integro, которое переводится как приводить в прежнее состояние, восстанавливать. (Действительно, операция интегрирования «восстанавливает» функцию, дифференцированием которой получена подынтегральная функция.) Возможно, происхождение термина интеграл иное: слово integer означает целый.

В ходе переписки И. Бернулли и Г. Лейбниц согласились с предложением Я. Бернулли. Тогда же, в 1696 г., появилось и название новой ветви математики—интегральное исчисление (calculus integralis), которое ввел И. Бернулли.

VII. Закрепление изученного материала.

Учитель математики выдает Задание группе: « Сформулировать схему решения физической задачи, с помощью определенного интеграла».

Каждая группа обсуждает и формулирует свое видение схемы решения задачи. Затем делается коллективный вывод и текст выводится на экран. (Презентация)

Схема решения физических задач с использованием определенного интеграла

1) сделать чертеж, соответствующий условию задачи,

2) выбрать систему координат,

3) выбрать независимую переменную,

4) выбрать формулу классической физики, соответствующую условию задачи,

5) найти дифференциал искомой величины на основании этой формулы,

6) установить промежуток интегрирования,

7) вычислить интеграл, т. е. найти искомую величину.

Слово берет гость урока. Евгений Иванович акцентирует внимание на необходимости изучения математики, как базовой дисциплины при освоении выбранной специальности. Предлагает ребятам, работая в парах, решить задачи с практическим содержанием. Причем для решения задач необходимо найти справочный материал с использованием информационного ресурса сети Интернет. (Необходимо найти значение плотности молока, кефира: 1,027 – 1,039 г/см3). Задачи для ребят предложены с учетом уровневой дифференциации (по уровню сложности).(Презентация)

Задача 1: Какой объем молока входит в тетрапак. Какова масса этого продукта?

Модели тетрапака даны каждой команде обучающихся для измерения и расчета.

Задача 2: Мерный цилиндрический стакан в лаборатории наполнен кефиром. Вычислить силу давления кефира на боковую поверхность стакана. Если его высота 20 см., радиус основания 12 см.

Задача 3. Горизонтально расположенная цилиндрическая цистерна наполнена до половины. Найти силу давления на каждую из боковых стенок, если радиус дна цистерны1,5 м.

Результаты расчетов вносятся в лист самооценки.

VIII. Домашнее задание.

1) Контрольная точка №57 « Определенный интеграл, его приложения для решения задач» из авторского сборника – практикума «Домашние самостоятельные работы» (по трем уровням сложности).

1. Точка движется прямолинейно со скоростью v(t)=6t2-4t-1, найдите закон движения точки, если в момент времени t=1с координата точки была равна 4 м.

2. Найдите объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной линиями y= 2√x. x=4, y=0.

3. Найдите работу, которую необходимо затратить на растяжение пружины на 2 см, если сила в 2Н растягивает её на 4 см.

4. Докажите с помощью определенного интеграла формулу объема цилиндра V= πR2H, где R-радиус цилиндра, H - его высота.

1. Точка движется прямолинейно с ускорением a(t)= cos t/2. Найдите закон движения точки, если в момент времени t=2π/3 с её скорость равна √3 м/с, а координата равна 2м.

2. Найдите объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями: y=√x, y=0,5x.

3. Линейная плотность неоднородного стержня изменяется по закону ρ(l)=8l+1

( плотность измеряется в кг/м). Найти массу стержня, если его длина равна 50 см.

4. Выведите с помощью определенного интеграла формулу конуса с радиусом R и высотой H.

1. Тело массой m движется прямолинейно под действием силы F(t). Найдите закон его движения, если m=2 кг, F(t)=12t-8, и в момент времени t=3с скорость тела равна 10 м/с, а координата 21м.

2. Найти объем тела, ограниченного поверхностями: x2+y2=3z2+1, z =1,

z = -1.

3. Найдите работу, которую необходимо затратить на выкачивание воды из резервуара, если резервуар имеет форму цилиндра радиуса 1м и глубину 4м.

4. Выведите с помощью определенного интеграла формулу объема пирамиды.

2.)Задача гостя. Стаканчик для мороженого имеет вид конуса. Глубина 12 см., диаметр верхней части 5 см. На него сверху положили 2 ложечки мороженого в виде полушарий с диаметром 5 см. Переполнится ли стаканчик, если мороженое растает?

IX.Подведение итогов. Оценивание работы обучающихся по карточкам самооценки. В оценке принимают участие преподаватель и гости урока.

X. Оглашение результатов урока.

XI.Рефлексия

1. Продолжите фразы:

- сегодня на уроке я узнал …

- сегодня на уроке я научился…

- сегодня на уроке я повторил…

- сегодня на уроке я познакомился…

- сегодня на уроке мне понравилось…

2. Если осталось время урока, продолжить урок творческой работой по выбору обучающихся:

А) Продолжить доработку интеллект-карт.

Б) Составить синквейн.

Литература: 1.

1.Алгебра и начала математического анализа (базовый уровень) 11 кл. ЮНИТИ-ДАНА, 2011.

2.Математика (базовый уровень). 10-11кл. ЮНИТИ-ДАНА, 2011. 1.Алгебра и начала математического анализа (базовый уровень) 11 кл. ЮНИТИ-ДАНА, 2011.

3.Алгебра и начала анализа. 10 (11) кл. и др. Издательский центр «Наука», 2009. «Алгебра и математический анализ» и др.

4.Учебник по математическому анализу, АЙРИС, 2000

5.Высшая математика: Учебник для вузов. В 3 томах. Бугров С. М. ДРОФА, 2005

6.Алгебра и математический анализ и др.  М.: Мнемозина, 2006.