РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ М. В.ЛОМОНОСОВА
ФИЛИАЛ МГУ В г. СЕВАСТОПОЛЕ
КАФЕДРА ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ
МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА
по дисциплине «МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ»
для направления подготовки 080100.62
«ЭКОНОМИКА» квалификация «бакалавр»
I курс, I семестр
Севастополь – 2013
РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ М. В.ЛОМОНОСОВА
ФИЛИАЛ МГУ В г. СЕВАСТОПОЛЕ
кафедра прикладной математики
МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА
по дисциплине «МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ»
для направления подготовки 080100.62
«ЭКОНОМИКА» квалификация «бакалавр»
I курс, I семестр
Учебно-методические материалы
Севастополь – 2013
УДК 517.4
ББК 22.161.1я2
Рекомендовано к печати научно-методическим советом Филиала МГУ им. в г. Севастополе (протокол № от 2013)
Методическая разработка по математическому анализу для направления подготовки 080100.62 «Экономика» квалификация «бакалавр», 1 курс, 1 семестр. Учебно-методические материалы. Севастополь: 2013.-15с.
Данная методическая разработка содержит примерный план семинаров с указаним основних тем, соответствующий курсу лекций по математическому анализу, читаемому в первом семестре на экономическом факультете МГУ имени . Приведены задачи, рекомендуемые для решения на семинарах для самостоятельной работы студентов.
Учебно-методические материалы предназначены для студентов и преподавателей, ведущих семинары по математическому анализу на первом курсе.
Рецензенты:
– к. ф.-м. н., доцент кафедры общей математики факультета ВМК МГУ
– д. ф.-м. н., професор, Морской гидрофизический институт НАН Украины, заведующий отделом.
Содержание:
Введение.................................................................................................................................... | 5 |
План семинарских заняий, I семестр……………………………………………………… | 7 |
Список дополнительных задач, I семестр………………………………………………… | 10 |
Контрольная работа № 1. Предел и непрерывность функции одной переменной........... | 12 |
Контрольная работа №2 . Дифференцирование функции одной переменной................... | 14 |
Список определений и формулировок теорем, I семестр………………………………... | 16 |
Вопросы к экзамену, I семестр……………………………………………………………. | 18 |
Литература............................................................................................................................... | 21 |
I. ВВЕДЕНИЕ
Студенты специальности «Экономика» изучают в I семестре курс математического анализа.
Математический анализ – первый в ряду математических дисциплин, читаемых студентам этой специальности.
Целью освоения дисциплины «Математический анализ» является формирование у студентов-экономистов математического мышления, которое позволит проникать в еще не неисследованные области экономического мира, открывать в них математические закономерности, создавать математические модели экономических процессов.
Математический анализ для студентов-экономистов представляет самостоятельный интерес, а также является базой для таких дисциплин, как теория вероятностей, математическая статистика, линейное программирование, математические методы анализа экономики, которые формируют профессиональное лицо современного экономиста.
Данная методическая разработка содержит примерный план семинарских занятий с указанием основных тем, соответствующий курсу лекций по математическому анализу, читаемому в первом семестре на экономическом факультете МГУ имени .
В описании каждого семинара указаны номера задач, которые рекомендуется разобрать на занятии. Отдельно выделены задачи для домашней работы. В некоторых занятиях предложен список дополнительных задач, которые можно использовать для самостоятельной работы студентов.
Задачи с номерами, подчеркнутыми снизу, взяты из предлагаемого списка дополнительных задач.
Номера задач для семинаров и домашней работы даются по задачнику издания 2004 г.
В первом семестре предлагается провести 2 контрольные работы, для которых в разработке выделено 2 занятия.
После списка дополнительных задач в разработке приведены образцы вариантов двух контрольных работ.
Для подготовки к экзамену предлагаются: список вопросов к экзамену и список определений и формулировок теорем.
Данная методическая разработка может быть полезной как преподавателям для ведения семинаров, так и студентам для ознакомления со структурой курса и более качественной подготовки к контрольным работам и экзамену.
Программа курса «Математический анализ» рассчитана на 36 лекционных часов, 36 часов семинарских занятий и 72 часа самостоятельной работы студентов.
Основными темами курса являются следующие.
Числовая последовательность.. Предел числовой последовательности, ограниченные и неограниченные, бесконечно большие и бесконечно малые последовательности. Предел и непрерывность функции одной переменной. Предел функции в точке и на бесконечности. Замечательные пределы. Односторонние. Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций. Непрерывность функции. Классификация точек разрыва. Дифференцирование функции одной переменной. Производная и дифференциал. Свойства, правила вычисления. Предварительное логарифмирование. Производные сложной показательной функции и функции, заданной параметрически. Производные и дифференциалы высших порядков. Применение дифференциального исчисления к исследованию функций. Правило Лопиталя. Формула Тейлора. Исследование поведения функций: возрастание, убывание, экстремум. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба графика функции. Асимптоты. Схема построения графика функции. Неопределенный интеграл. Свойства. Основные методы интегрирования. Непосредственное интегрирование, замена переменной. Интегрирование по частям. Интегрирование рациональных функций. Интегрирование тригонометрических и иррациональных функций.II. План СЕМИНАРСКИХ ЗАНЯТИЙ. I СЕМЕСТР
Тема 1. Предел числовой последовательности.
Семинар 1. Понятие числовой последовательности. Ограниченные и неограниченные, бесконечно большие и бесконечно малые последовательности.
№№ 46, 47, 49, 51, 53, 55, 1, 2.
Домашнее задание: 48, 50, 54, 56, 3, 4, 5, 6.
Тема 2. Предел и непрерывность функции одной переменной.
Семинар 2. Вычисление пределов функций.
№№ 000, 415, 419, 421, 437, 439, 441, 443, 455.1.
Домашнее задание: 412, 416, 418, 420, 422.
Дополнительно: 471, 7, 8.
Семинар 3. Раскрытие неопределенностей вида 
. Первый замечательный предел.
№№ 000, 475, 477, 483, 485, 487, 505.
Домашнее задание: 474.476, 482, 484, 486.
Дополнительно: 9, 10, 11, 12, 13, 14.
Семинар 4. Раскрытие неопределенностей вида 
, 
. Второй замечательный предел.
№№ 000, 507, 509, 511, 513, 515, 517, 519, 521, 527, 529, 531, 547, 549 .
Домашнее задание: 508, 512, 514, 518, 519.1, 520, 528, 530, 546.
Дополнительно: 15, 16, 17, 18.
Семинар 5. Непрерывность функции в точке. Односторонние пределы. Классификация точек разрыва.
№№ 000, 596, 677, 678(б), 679, 680, 681, 687, 691, 693, 699, 717.
Домашнее задание: 597, 682, 684, 688, 696, 698, 700, 718, 730, 731.
Дополнительно: 19, 20, 21, 22, 23, 24.
Семинар 6. Контрольная работа № 1.
Предел и непрерывность функции одной переменной.
Тема 3. Дифференцирование функции одной переменной.
Семинар 7. Производная и дифференциал. Основные правила вычисления.
№№ 000, 851, 865, 873, 877, 901, 903, 913, 915, 925.
Домашнее задание: 846, 852, 854, 868, 870, 872, 876, 902, 914, 915, 917, 920, 924.
Семинар 8. Производные сложной показательной функции. Предварительное логарифмирование. Производные функций, заданных параметрически.
№№ 000, 857, 961, 963, 965, 1039, 1043, 1045.
Домашнее задание: 848, 858, 964, 1040, 1042.
Дополнительно: 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32.
Семинар 9. Производные и дифференциалы высших порядков.
№№ 000, 1115, 1117, 1131, 1141, 1143 .
Домашнее задание: 1112, 1116, 1132, 1140, 1142.
Тема 4. Применение дифференциального исчисления к исследованию функций.
Семинар 10. Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей.
№№ 000, 1323, 1329, 1337, 1339.
Домашнее задание: 1318, 1320, 1322, 1326, 1338, 1358.
Семинар 11. Формулы Тейлора и Маклорена.
№№ 000, 1381, 1383, 1396(а), 1396(г, е).
Домашнее задание: 1382, 1384, 1388, 1396(б, д).
Дополнительно: 33, 34, 35, 36, 37.
Семинар 12. Контрольная работа № 2.
Дифференцирование функции одной переменной.
Семинар 13. Исследование поведения функций: возрастание, убывание, экстремум. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба графика функций.
№№ 000, 1429, 1433, 1435, 1437, 1439, 1299, 1301, 1303, 1305.
Домашнее задание: 1414, 1416, 1430, 1432, 1436, 1438, 1302, 1304, 1306.
Семинар 14. Асимптоты. Схема построения графика функции.
№№ 000(а, в, д), 1471, 1491 .
Домашнее задание: 627 (б, г), 1472, 1492.
Тема 5. Неопределенный интеграл.
Семинар 15. Неопределенный интеграл. Непосредственное интегрирование.
№№ 000, 1633, 1641, 1643, 1645, 1647, 1649, 1651, 1653.
Домашнее задание: 1632, 1634, 1642, 1644, 1646, 1650, 1652, 1662, 1664.
Семинар 16. Замена переменной в неопределенном интеграле.
№№ 000, 1677, 1679, 1681, 1685, 1689, 1693, 1695, 1697, 1701.
Домашнее задание: 1674, 1676, 1679, 1678, 1686, 1690, 1698, 1704, 1708, 1710.
Семинар 17. Интегрирование по частям. Интегрирование рациональных функций.
№№ 17, 91, 1803, 1795, 1837, 1839.
Домашнее задание: 1792, 1802, 1798, 1838, 1840, 1866.
Семинар 18. Интегрирование тригонометрических и иррациональных функций.
№№ 000, 2005, 2013, 2025, 1929, 1178, 1781, 1782.
Домашнее задание: 1995, 1997, 1998, 2004, 1926, 1780.
III. Список дополнительных задач. I семестр.
Вычислить пределы.
1. 
2. 
.
3. 
. 4.
.
5. 
. 6. 
.
Вычислить пределы функций:
7. 
. 8. 
. 9. 
. 10. 
.
11. 
. 12. 
. 13. 
. 14. 
.
15. 
. 16.
. 17. 
. 18. 
.
Исследовать функции на непрерывность:
19. 
20. 
21. 
. 22. 
23. 
. 24. 
.
Найти производные функций:
25. 
. 26. 
. 27. 
.
28. 
. 29. 
. 30. 
.
Найти производные функций, заданных параметрически:
31. 
. 32. 
.
Написать формулу Маклорена для следующих функций:
33. 
. 34. 
. 35. 
.
36. 
. 37. 
.
iV. Контрольная работа № 1
ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.
Вариант №1.
Вычислить пределы функций:
1. 
. 2. 
.
3. 
. 4. 
.
Найти односторонние пределы функции:
1. 
.
Найти точки разрыва функций и исследовать их характер:
1. 
. 2. 
.
Вариант №2.
Вычислить пределы функций:
1. 
. 2. 
.
3. 
. 4. 
.
Найти односторонние пределы функции:
.
Найти точки разрыва функций и исследовать их характер:
1. 
. 2. 
.
Вариант № 3
Вычислить пределы функций:
1. 
. 2. 
.
3. 
. 4. 
.
Найти односторонние пределы функции:
.
Найти точки разрыва функций и исследовать их характер:
1. 
. 2. 
.
Вариант № 4
Вычислить пределы функций:
1. 
. 2. 
.
3. 
. 4. 
.
Найти односторонние пределы функции:
.
Найти точки разрыва функций и исследовать их характер:
1. 
. 2. 
.
V. Контрольная работа № 2.
Дифференцирование функции одной переменной.
Формула Тейлора.
Вариант № 1.
1. Найти 
если 
.
2. Найти 
если 
3. Найти 
если 
.
4. Найти 
и 
, если 
.
5. Используя разложения элементарных функций по формуле Маклорена, написать первые n членов формулы Маклорена (без остаточного члена) для функции 
.
Пользуясь правилом Лопиталя, вычислить пределы:
6. 
. 7. 
.
Вариант № 2.
1. Найти если 
.
2. Найти если 
.
3. Найти если 
.
4. Найти и , если 
.
5. Используя разложение элементарных функций по формуле Маклорена, написать первые n членов формулы Маклорена (без остаточного члена) для функции 
.
Пользуясь правилом Лопиталя, вычислить пределы:
6. 
. 7. 
.
Вариант № 3.
1. Найти если 
.
2. Найти если 
.
3. Найти если 
.
4. Найти и , если 
.
5. Используя разложение элементарных функций по формуле Маклорена, написать первые n членов формулы Маклорена (без остаточного члена) для функции 
.
Пользуясь правилом Лопиталя, вычислить пределы:
6. 
. 7. 
.
Вариант № 4.
1. Найти если 
.
2. Найти если 
.
3. Найти если 
.
4. Найти и , если 
.
5. Используя разложение элементарных функций по формуле Маклорена, написать первые n членов формулы Маклорена (без остаточного члена) для функции 
.
Пользуясь правилом Лопиталя, вычислить пределы:
6. 
. 7. 
.
VI. Список определений и формулировок теорем. I семестр
1. Определение предела числовой последовательности.
2. Определение ограниченной (неограниченной) последовательности.
3. Определение бесконечно малой числовой последовательности.
4. Определение бесконечно большой числовой последовательности.
5. Определение монотонной последовательности.
6. Теорема о монотонной и ограниченной последовательности.
7. Определение функции на числовом множестве.
8. Определение ограниченной (неограниченной) функции на множестве.
9. Определение монотонной функции.
10. Определение предела функции в точке.
11. Определение предела функции в точке справа (слева).
12. Определение предела функции при 
, при 
, и при 
.
13. Теорема о пределах функций.
14. Первый замечательный предел.
15. Второй замечательный предел.
16. Определение бесконечно малой функции в точке.
17. Определение бесконечно большой точке.
18. Сравнение бесконечно малых функций.
19. Сравнение бесконечно больших функций.
20. Определение функции, непрерывной в точке.
21. Определение функции, непрерывной в точке справа.
22. Определение функции, непрерывной в точке слева.
23. Определение точки устранимого разрыва функции.
24. Определение точки разрыва функции I рода.
25. Определение точки разрыва функции II рода.
26. Теорема о непрерывности сложной функции.
27. Теорема о сохранении знака непрерывной функции.
28. Теорема о локальной ограниченности непрерывной функции.
29. Определение обратной функции.
30. Теорема о существовании обратной функции. Определение функции, непрерывной на множестве.
31. Теорема о прохождении непрерывной функции через ноль при смене знаков.
32. Первая теорема Вейерштрасса.
33. Вторая теорема Вейерштрасса.
34. Определение функции, равномерно непрерывной на отрезке.
35. Теорема Кантора о равномерной непрерывности функции на отрезке.
36. Определение производной функции.
37. Геометрический, физический и экономический смысл производной данной функции.
38. Определение дифференцируемой функции.
39. Определение дифференциала функции.
40. Теорема об инвариантности формы первого дифференциала.
41. Теорема о производной сложной функции.
42. Теорема о производной обратной функции.
43. Формула Лейбница для производной порядка n от произведения двух функций.
44. Определение возрастания (убывания) функции в точке.
45. Определение локального максимума (минимума) функции в точке.
46. Теорема о необходимом условии локального экстремума.
47. Теорема о достаточном условии локального экстремума.
48. Теорема Ролля.
49. Теорема Лагранжа.
50. Теорема Коши (обобщенная формула конечных приращений).
51. Первое правило Лопиталя (раскрытие неопределенности вида ).
52. Второе правило Лопиталя (раскрытие неопределенности вида ).
53. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа и Пеано.
54. Формула Маклорена с остаточным членом в форме Лагранжа и Пеано.
55. Определение выпуклости и точки перегиба графика функции.
56. Определение вертикальной асимптоты графика функции.
57. Определение горизонтальной асимптоты графика функции.
58. Определение наклонной асимптоты графика функции.
59. Определение первообразной функции.
60. Определение неопределенного интеграла.
61. Теорема о замене переменной интегрирования в неопределенном интеграле.
62. Теорема об интегрировании по частям в неопределенном интеграле.
VII. Вопросы к экзамену. I семестр
1. Вещественные числа и их основные свойства.
2. Приближение вещественного числа рациональным. Теорема о существовании точной верхней (нижней) грани у ограниченного сверху (снизу) множества вещественных чисел.
3. Последовательность вещественных чисел. Ограниченные и неограниченные последовательности. Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности. Их основные свойства.
4. Сходящиеся последовательности. Теорема о единственности предела сходящейся последовательности.
5. Теорема об ограниченности сходящейся последовательности.
6. Арифметические операции над сходящимися последовательностями.
7. Теорема о предельном переходе в неравенствах для последовательностей.
8. Теорема о пределе промежуточной последовательности.
9. Теорема о пределе монотонной ограниченной последовательности. Число е.
10. Функция одной переменной. Способы задания. Классификация функций.
11. Предел функции в точке, односторонние пределы. Теорема о существовании предела в точке.
12. Предел функции при стремлении аргумента к бесконечности.
13. Арифметические операции над функциями, имеющими пределы в точке.
14. Первый замечательный предел.
15. Второй замечательный предел.
16. Бесконечно малые в данной точке функции. Арифметические операции над бесконечно малыми функциями.
17. Теорема о связи функции, имеющей предел в точке, с бесконечно малой функцией.
18. Сравнение бесконечно малых функций. Таблица основных эквивалентностей.
19. Бесконечно большие функции в точке и принципы их сравнения.
20. Непрерывность функции в точке. Определение. Теорема о переходе к пределу под знаком непрерывной функции.
21. Арифметические операции над непрерывными функциями.
22. Теорема о непрерывности элементарных функций.
23. Определение и классификация точек разрыва функции.
24. Локальные свойства непрерывных функций: ограниченность, сохранение знака. Непрерывность сложной функции.
25. Непрерывность функции на множестве. Теорема о прохождении непрерывной функции через нулевое значение при смене знаков (первая теорема Больцано-Коши).
26. Теорема о прохождении непрерывной функции через любое промежуточное значение (вторая теорема Больцано-Коши).
27. Теорема об ограниченности непрерывной функции на отрезке (первая теорема Вейерштрасса).
28. Теорема о достижении непрерывной функцией своих точных граней на отрезке (вторая теорема Вейерштрасса).
29. Равномерная непрерывность функции на множестве. Первая теорема Кантора.
30. Теорема о непрерывности обратной функции.
31. Определение производной функции. Геометрический, физический и экономический смысл производной. Правая и левая производные функции.
32. Понятие дифференцируемости функции в данной точке. Связь между дифференцируемостью функции в точке и существованием производной в данной точке.
33. Теорема о связи между дифференцируемостью и непрерывностью функции в точке.
34. Правила дифференцирования суммы, разности, произведения и частного двух функций.
35. Теорема о производной сложной функции.
36. Теорема о производной обратной функции.
37. Производная степенной и логарифмической функций.
38. Производные тригонометрических функций.
39. Производная показательной функции.
40. Производные обратных тригонометрических функций.
41. Таблица производных основных элементарных функций.
42. Дифференцирование функции, заданной параметрически.
43. Первый дифференциал функции. Инвариантность его формы. Использование дифференциала для приближенного вычисления функций.
44. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница.
45. Формула Ролля о нуле производной и ее геометрический смысл.
46. Теорема Лагранжа (формула конечных приращений). Ее геометрический смысл. Следствия из теоремы.
47. Теорема Коши (обобщенная формула конечных приращений).
48. Правила Лопиталя раскрытия неопределенностей.
49. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа и Пеано. Оценка остаточного члена.
50. Формула Маклорена с остаточным членом в форме Лагранжа и Пеано.
51. Разложение по формуле Маклорена для элементарных функций. Примеры приложений формулы Тейлора для приближенных вычислений элементарных функций и вычисления пределов.
52. Возрастание (убывание) функции в точке. Локальный экстремум функции. Необходимое условие локального экстремума дифференцируемой в данной точке функции.
53. Достаточное условие локального экстремума.
54. Направление выпуклости и точки перегиба графика функции. Необходимое и достаточное условие точки перегиба.
55. Асимптоты графика функции. Схемы исследования графика функции.
56. Первообразная и неопределенный интеграл. Основные свойства неопределенного интеграла. Таблица неопределенных интегралов от элементарных функций.
57. Основные методы интегрирования – непосредственное интегрирование, замена переменной, интегрирование по частям.
58. Интегрирование рациональных функций. Разложение правильной рациональной дроби на элементарные дроби. Метод неопределенных коэффициентов.
59. Интегрирование тригонометрических выражений. Универсальная тригонометрическая подстановка.
60. Интегрирование иррациональных выражений.
VIII. Литература. Учебники:
, , Сендов Бл. Х. Математический анализ: Учеб., ч.1 – М: Изд-во Проспект, 2007. – 672 с Шипачев математика: Учеб. для Вузов – М: Высш. шк., 2005 - 479 с Математический анализ: учебно-методическое пособие для студентов экон. фак. гос. ун-тов/под ред. . – М.: Изд-во Моск. ун-та, 1991 – 99 с.Задачники:
Демидович задач и упражнений по математическому анализу. –АСТ, Астрель, Москва, 2004 – 489 с Сборник задач по математике для втузов. Ч. 1. Линейная алгебра и основы математического анализа./ под ред. и. - М.:Наука, 1986 – 464 с.
