$\mathsf P(\text{получить ровно } k \text{ белых шаров при выборе } n \text{ шар... ...вращением})=C_n^k\left(\dfrac{K}{N}\right)^k \left(1-\dfrac{K}{N}\right)^{n-k}.$

Сформулируем и докажем нашу первую предельную теорему.

Теорема 14.

Если $N\to\infty$и $K\to\infty$так, что $K/N\to p\in(0,1)$, то для любых фиксированных $n$, $0 \le k \le n$

$P_{N,K}(n,k)=\ \dfrac{C_K^k~C_{N-K}^{n-k}}{C_N^n} \ \to \ C_n^k~p^k~(1-p)^{n-k}.$

Доказательство.

Нам понадобятся следующие определение и свойство.

Определение 22.

Говорят, что последовательности $a_n$и $b_n$асимптотически эквивалентны, и пишут $a_n\sim b_n$, если

$\displaystyle\frac{a_n}{b_n}\to 1$

при

$n\to\infty$.

Свойство 4.

Следующие последовательности асимптотически эквивалентны:

\begin{displaymath} C_K^k\sim \displaystyle\frac{K^k}{k!} \quad\text{ при } \quad K\to\infty.\end{displaymath}

Доказательство.

Действительно, рассмотрим отношение членов этих последовательностей

\begin{displaymath} \frac{C_K^k~k!}{K^k}=\frac{K!~k!}{k!~(K-k)!~K^k}= \frac{K(K-1)\ldots(K-k+1)}{K^k} ~\to~ 1 \text{ при } K\to\infty,\end{displaymath}

поскольку предел произведения конечного числа $k$последовательностей, сходящихся к 1, равен 1.

Q. D.E.

Следствие 3.

 $C_N^n\sim\displaystyle\frac{N^n}{n!}$ при  $N\to\infty$,  $C_{N-K}^{n-k}\sim\displaystyle\frac{(N-K)^{n-k}}{(n-k)!}$  при $N-K\to\infty$.

Упражнение 6.

Почему $N-K$стремится к бесконечности?

Воспользуемся теперь свойством 4 и следствием 3:

\begin{multline*} P_{N,K}(n,k)=\frac{C_K^k~ C_{N-K}^{n-k}}{C_N^n}~\sim~ \frac{K^... ...ht)^k~\left(1-\frac{K}{N}\right)^{n-k}\to ~C_n^k~p^k~(1-p)^{n-k}.\end{multline*}

Мы получили, что $P_{N,K}(n,k)$асимптотически эквивалентно выражению, сходящемуся к $C_n^k~p^k~(1-p)^{n-k}$при стремлении $N$(и $K$в зависимости от $N$) к бесконечности. Осталось вспомнить и доказать свойство:

Свойство 5.

Пусть $a_n\sim b_n$и существует $\lim_n b_n$. Тогда существует и $\lim_n a_n$, и эти пределы совпадают:

\begin{displaymath} \lim\limits_{n\to\infty}a_n=\lim\limits_{n\to\infty}b_n.\end{displaymath}

Упражнение 7. Доказать свойство 5.

По свойству 5, при $N\to\infty$и $K\to\infty$так, что $K/N\to p\in(0,1)$, существует $\lim P_{N,K}(n,k)~=~C_n^k~p^k~(1-p)^{n-k}$.

Q. D.E.

5.5. Независимые испытания с несколькими исходами

Рассмотрим следующий пример, когда из двух очень похожих вопросов на один можно ответить, пользуясь формулой Бернулли, а для другого этой формулы оказывается недостаточно:

Пример 22.

Задача.  Игральная кость подбрасывается 15 раз. Найти вероятности следующих событий:

а) выпадет ровно 10 шестерок;  б) выпадет ровно 10 шестерок и три единицы.

Решение. 

а) есть 15 испытаний схемы Бернулли с вероятностью успеха 1/6 (выпадение шестерки). Вероятность десяти успехов в 15 испытаниях равна $C_{15}^{10}\left(\frac16\right)^{10}\left(1-\frac16\right)^{5}$;

б) здесь каждое испытание имеет три, а не два исхода: выпадение шестерки, выпадение единицы, выпадение остальных граней. Воспользоваться формулой для числа успехов в схеме Бернулли не удается  –  перед нами уже не схема Бернулли.

Осталось изобрести формулу для подсчета вероятности каждому исходу в нескольких независимых испытаниях выпасть нужное число раз, если в одном испытании возможно не два, а более исходов.

Пусть в одном испытании возможны $m$исходов. Обозначим их цифрами $1,2,\ldots,m$. Пусть исход $i$в одном испытании случается с вероятностью $p_i$, $1\le i\le m$, и  $\sum\limits_1^m p_i=1$.

Обозначим через $P(n_1,\ldots,n_m)$вероятность того, что в $n=n_1{+}\ldots{+}n_m$независимых испытаниях исход  1 появился $n_1$раз, исход   2  —  $n_2$раз, ..., исход $m$ —  $n_m$раз.

Теорема 15.

Для любого $n$и любых целых $n_1\ge 0$, ..., $n_m\ge 0$таких, что $n_1{+}\ldots{+}n_m=n$, верна формула:

\begin{displaymath} P(n_1,\ldots,n_m)= \frac{n!}{n_1!\ldots n_m!}~p_1^{n_1}\cdot\ldots\cdot p_m^{n_m}.\end{displaymath}

Доказательство. Рассмотрим один элементарный исход, благоприятствующий выпадению $n_1$единиц, $n_2$двоек, ..., $n_m$раз $m$-ок:

\begin{displaymath} (\underbrace{1,\ldots,1}_{n_1},\underbrace{2,\ldots,2}_{n_2}, \ldots, \underbrace{m,\ldots,m}_{n_m}).\end{displaymath}

Это результат $n$экспериментов, когда все нужные исходы появились в некотором заранее заданом порядке. Вероятность такого результата $n$независимых испытаний равна $p_1^{n_1}{\cdot}\ldots{\cdot}p_m^{n_m}$.

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4