Все остальные благоприятные исходы отличаются лишь расположением чисел $1,2,\ldots,m$на $n$местах. Число таких исходов равно числу способов расставить на $n$местах $n_1$единиц, $n_2$двоек, ..., $n_m$чисел $m$, то есть

\begin{displaymath} C_n^{n_1}\cdot C_{n-n_1}^{n_2}\cdot C_{n-n_1-n_2}^{n_3}\cdot... ...роверить, что это так! }} = \frac{n!}{n_1!~\ldots~n_m!} \qquad \end{displaymath}

Q. D.E.

Теперь мы можем вернуться к примеру 22(б) и выписать ответ: так как вероятности выпадения шестерки и единицы равны 1/6, а вероятность третьего исхода (выпали любые другие грани) равна 4/6, то вероятность получить 10 шестерок, 3 единицы и еще 2 других очка равна \begin{displaymath} P(10,3,2)=\frac{15!}{10!~3!~2!}~\frac{1}{6^{10}}~\frac{1}{6^3}~ \left(\frac{4}{6}\right)^2.\end{displaymath}

5.6. Теорема Пуассона для схемы Бернулли

Предположим, нам нужна вероятность получить не менее десяти успехов в 1000 испытаний схемы Бернулли с вероятностью успеха 0.003. Вероятность этого события равна любому из следующих выражений:

\begin{displaymath} \sum_{k=10}^{1000}C_{1000}^k~(0{.}003)^k~(0{.}997)^{1000-k}\ = \ 1-\sum_{k=0}^9 C_{1000}^k~(0{.}003)^k~(0{.}997)^{1000-k},\end{displaymath}

и вычисление даже одного слагаемого в каждом из этих выражений весьма проблематично.

Сформулируем теорему о приближенном вычислении вероятности какого-либо числа успехов в большом числе испытаний схемы Бернулли с маленькой вероятностью успеха.  Термин «большое число» должен означать $n\to\infty$. Если при этом $p=p_n\not\to 0$, то, очевидно, вероятность получить любое конечное число успехов при растущем числе испытаний стремится к нулю. Необходимо, чтобы вероятность успеха $p=p_n$стремилась к нулю одновременно с ростом числа испытаний. Но от испытания к испытанию вероятность успеха меняться не может (см. определение схемы Бернулли).

Поэтому рассмотрим «схему серий»: есть

одно испытание

$\circ$

с вероятностью успеха $p_1$

два испытания

$\circ$, $\circ$

с вероятностью успеха $p_2$

...

...

$n$испытаний

$\circ$, ..., $\circ$

с вероятностью успеха $p_n$

...

...

Вероятность успеха меняется не внутри одной серии испытаний, а от серии к серии, когда меняется общее число испытаний. Обозначим через $\nu_n$число успехов в $n$-й серии испытаний.

Теорема 16 (теорема Пуассона: Siméon Denis Poisson).

Пусть $n\to\infty$, $p_n\to 0$так, что $n p_n \to \lambda \gt$. Тогда для любого $k\ge 0$вероятность получить $k$успехов в $n$испытаниях схемы Бернулли с вероятностью успеха $p_n$стремится к величине $\dfrac{\lambda^k}{k!}~e^{-\lambda}~:$

\begin{displaymath} \mathsf P(\nu_n=k)=C_n^k~p_n^k~{(1-p_n)}^{n-k} \ \to \ \dfr... ... n\to\infty, p_n\to 0 \ \text{ так, что } np_n \to \lambda\gt.\end{displaymath}

Доказательство.

Положим $\lambda_n=n\cdot p_n \to\lambda\gt$. По свойству 4,  $C_n^k\sim\dfrac{n^k}{k!}$при фиксированном $k$и при $n\to\infty$. Тогда

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

\begin{equation} C_n^k~p_n^k~{(1-p_n)}^{n-k}=C_n^k~\frac{\lambda_n^k}{n^k}~ {\le... ...row$\\ {1}\end{tabular}}}~\to~ \frac{\lambda^k}{k!}~e^{-\lambda}.\end{equation}

(8)

В (8) мы использовали свойства $\lambda_n^k\to\lambda^k$и ${\left(1-\dfrac{\lambda_n}{n}\right)}^n\to.

Докажем последнее свойство:

\begin{displaymath} \ln{\left(1-\frac{\lambda_n}{n}\right)}^n=n \ln {\left(1-\fr... ...n} + O\left(\frac{\lambda_n^2}{n^2}\right)\right) \to -\lambda.\end{displaymath}

Для доказательства теоремы осталось в формуле (8) воспользоваться свойством 5.

Q. D.E.

Определение 23.

Пусть $\lambda\gt$ —  некоторая постоянная. Набор чисел

\begin{displaymath} \left\{\dfrac{\lambda^k}{k!}~e^{-\lambda}, k=0,1,2,\ldots\right\}\end{displaymath}

называется распределением Пуассона с параметром .

Пользуясь теоремой 16, можно приближенно посчитать вероятность получить не менее десяти успехов в 1000 испытаний схемы Бернулли с вероятностью успеха 0.003, с вычисления которой мы начали. Поскольку $n=1000$«велико», а $p_n=0{.}003$«мало», то, взяв $\lambda=np_n=3$, можно написать приближенное равенство

\begin{eqnarray} 1-\sum_{k=0}^9 C_{1000}^k~(0{.}003)^k~(0{.}997)^{1000-k} &\app... ...ение $\overline\Pi_3(10)$\space } \vphantom{\int^2} \approx 0,001.\end{eqnarray}

(9)

= табличное значение

Осталось решить, а достаточно ли $n=10^3$«велико», а $p_n=0{.}003$«мало», чтобы заменить точную вероятность $\mathsf P(\nu_n=k)$на приближенное значение $\dfrac{\lambda^k}{k!}~e^{-\lambda}$. Для этого нужно уметь оценивать разницу между этими двумя вероятностями.

Следующую очень полезную теорему мы докажем в конце курса.

Теорема 17 (теорема Пуассона с оценкой погрешности).

Пусть $A\subseteq\{0,1,2,\dots,n\}$ —  произвольное множество целых неотрицательных чисел, $\nu_n$ —  число успехов в $n$испытаниях схемы Бернулли с вероятностью успеха $p$, $\lambda=n\cdot p$. Тогда

\begin{displaymath} \left\vert~\mathsf P(\nu_n\in A) - \sum_{k\in A} \frac{\lam... ...a^k}{k!}~e^{-\lambda}~\right\vert \le np^2=\frac{\lambda^2}{n}.\end{displaymath}

Таким образом, теорема 17 предоставляет нам возможность самим решать, достаточно ли $n$«велико», а $p$«мало», руководствуясь полученной величиной погрешности. Какова же погрешность в формуле (9)?

\begin{multline*} \left\vert~\mathsf P(\nu_{1000}\ge 10)- \sum_{k=10}^{\infty}\f... ...ty \frac{3^k}{k!} ~e^{-3}~ \right\vert \le \\ \le np^2=0{,}009.\end{multline*}

Погрешность не более 0,009 (при вероятности около 0,001 :-) ). Во всяком случае, можно утверждать, что искомая вероятность никак не больше, чем 0,01=0,001+0,009.

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4