Лекция 5. Схема Бернулли

· Распределение числа успехов в $n$испытаниях

· Наиболее вероятное число успехов

· Номер первого успешного испытания

· Приближение гипергеометрического распределения биномиальным

· Независимые испытания с несколькими исходами

· Теорема Пуассона для схемы Бернулли

5.1. Распределение числа успехов в n испытаниях

Определение 19.

Схемой Бернулли  называется последовательность независимых испытаний, в каждом из которых возможны лишь два исхода  —  «успех» и «неудача», при этом «успех» в одном испытании происходит с вероятностью $p\in[0,1]$, «неудача»  —  с вероятностью $q=1-p$.

Теорема 10 (формула Бернулли).

Обозначим через $\nu_n$число успехов в $n$испытаниях схемы Бернулли. Тогда для любого $k=0,1,\ldots,n$

\[ \mathsf P(\nu_n=k)=C^k_n~p^k~{(1-p)}^{n-k}=C^k_n~p^k~q^{n-k}. \]

Доказательство.

Событие $A=\{\nu_n=k\}$означает, что в $n$испытаниях схемы Бернулли произошло ровно $k$успехов. Рассмотрим один из благоприятствующих событию $A$элементарных исходов: $(\underbrace{\text{\itshape у, у, \ldots, у}}_k \text{, } \underbrace{\text{\itshape н, \ldots, н}}_{n-k})$. Здесь буквами «у» и «н» обозначены, соответственно, успешный и неудачный результаты испытаний. Поскольку испытания независимы, вероятность такого элементарного исхода (первые $k$испытаний завершились успехом, остальные неудачей) равна $p^k~{(1-p)}^{n-k}$.

Другие благоприятствующие событию $A$элементарные исходы отличаются от рассмотренного выше лишь расположением $k$успехов на $n$местах. Есть ровно $C_n^k$способов расположить $k$успехов на $n$местах. Поэтому событие $A$состоит из $C_n^k$элементарных исходов, вероятность каждого из которых равна $p^k~{(1-p)}^{n-k}$.

Q. D.E.

Определение 20.

Набор чисел $\bigl\{C_n^k~p^k~{(1-p)}^{n-k}, k=0,1,\ldots,n\bigr\}$называется биномиальным распределением вероятностей и обозначается $\mathbf B_{n,p}$или $\mathbf B(n,p)$.

5.2. Наиболее вероятное число успехов

По формуле Бернулли, событие «произошло 0 успехов в $n$испытаниях» имеет вероятность $q^n$, 1 успех  —  вероятность $n\,p\,q^{n-1}$и т. д. Какое же число успехов наиболее вероятно? Иначе говоря, при каком $k$достигается максимум $\mathsf P(\nu_n=k)$?

Чтобы выяснить это, сравним отношение $\mathsf P(\nu_n=k)$и $\mathsf P(\nu_n=k-1)$с единицей.

\begin{multline*} \frac{\mathsf P(\nu_n=k)}{\mathsf P(\nu_n=k-1)}= \frac{n!}{k!(... ...\frac{(n-k+1)p}{kq}=1+\frac{(n-k+1)p}{kq}-1= 1+\frac{np+p-k}{kq}.\end{multline*} 

 ..

Видим, что

(a)

  $\mathsf P(\nu_n=k)\gt\mathsf P(\nu_n=k-1)$при $np+p-k\gt$, то есть при $k<np+p$;

(b)

  $\mathsf P(\nu_n=k)<\mathsf P(\nu_n=k-1)$при $np+p-k<0$, то есть при $k\gt np+p$;

(c)

  $\mathsf P(\nu_n=k)=\mathsf P(\nu_n=k-1)$при $np+p-k=0$, что возможно лишь если $np+p$ —  целое число.

Рассмотрим два случая: $np+p\in \mathbb {Z} $и $np+p\not\in \mathbb {Z} $.

В первом случае пусть $k_0=np+p$. Из полученных выше неравенств сразу следует, что

\begin{displaymath} \ldots~<~\mathsf P(\nu_n=k_0-2)~\buildrel{\text{\upshape\bfs... ...ape\bfseries(b)}}\over{ \gt }~\mathsf P(\nu_n=k_0+1)~\gt~\ldots\end{displaymath}

Во втором случае пусть $k_0=[np+p]$(целая часть числа $np+p$, то есть наибольшее целое число, не превосходящее $np+p$). Из неравенств (a),(b) следует, что

\begin{displaymath} \ldots~<~\mathsf P(\nu_n=k_0-2)~\buildrel{\text{\upshape\bfs... ...ape\bfseries(b)}}\over{ \gt }~\mathsf P(\nu_n=k_0+1)~\gt~\ldots\end{displaymath}

Действительно, неравенство $\mathsf P(\nu_n=k_0)\gt\mathsf P(\nu_n=k_0+1)$, например, следует из (b), примененного для $k=k_0+1\gt np+p$.

Видим, что в зависимости от того, является число $np+p$целым или нет, имеется либо два равновероятных «наиболее вероятных» числа успехов $k_0=np+p$и $k_0-1=np+p-1$, либо одно «наиболее вероятное» число успехов $k_0=[np+p]$.

Сформулируем уже доказанное утверждение в виде теоремы.

Теорема 11.

В $n$испытаниях схемы Бернулли с вероятностью успеха $p$наиболее вероятным числом успехов является

a)  единственное число $k_0=[np+p]$, если число $np+p$не целое;

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4