Всероссийская олимпиада школьников по математике
Муниципальный этап
2014-2015 учебный год
1. Существует ли двузначное число, у которого произведение цифр, умноженное на сумму цифр, равно 84? Если да – найдите все такие числа, если нет – докажите это.
2. Клетки доски 7×7 покрашены в шахматном порядке (угловая клетка – черная). Разрешается перекрашивать в противоположный цвет любые две соседние клетки. Можно ли с помощью таких операций перекрасить всю доску в черный цвет?
3. На острове растут 18 пальм. На них поровну кокосов. Подул ветер, и с некоторых пальм кокосы осыпались: с каких-то могла упасть ровно половина, с каких-то – ровно треть всех кокосов, с остальных же ничего не упало. При этом со всех пальм вместе упала ровно одна девятая часть всех кокосов. Со скольких пальм кокосы не упали?
4. Несколько тракторов вспахивают поле в 300 га за целое число дней, причем каждый трактор вспахивает в день 15 га. Сколько тракторов потребуется дополнительно для того, чтобы выполнить работу на 6 дней раньше?
5. Можно ли из 5 одинаковых прямоугольников с периметром 10 и сторонами, длины которых не являются целыми числами, составить один прямоугольник с периметром 22?
Максимальное количество баллов за каждую задачу – 7 баллов.
Всероссийская олимпиада школьников по математике
Муниципальный этап
2014-2015 учебный год
1. В записи 1 * 2 * 4 * 8 * 16 * 32 * 64 = 35 замените знаки «*» знаками «+» и «−» так, чтобы равенство стало верным
2. Квадрат 5×5 заполнен некоторыми числами (положительными и отрицательными) так, что в каждой строке произведение чисел отрицательно. Докажите, что хотя бы в одном столбце произведение чисел тоже отрицательно
3. Можно ли составить три несократимые дроби, произведение которых равно 1, использовав в качестве числителей и знаменателей этих дробей шесть чисел из набора {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}? (Каждое число можно использовать один раз или не использовать вовсе)
4. Клетки доски 7×7 покрашены в шахматном порядке (угловая клетка – белая). Разрешается перекрашивать в противоположный цвет любые две соседние клетки. Можно ли с помощью таких операций перекрасить всю доску в черный цвет?
5. Три натуральных числа a, b, c подобраны так, что НОД(ab, c)=НОД(a, bc). Докажите, что после сокращения дроби a/c получится несократимая дробь, числитель и знаменатель которой взаимно просты с b.
Максимальное количество баллов за каждую задачу – 7 баллов.
Всероссийская олимпиада школьников по математике
Муниципальный этап
2014-2015 учебный год
1. Найти все значения x и y, удовлетворяющие равенству xy + 1 = x + y.
2. Квадрат 7×7 заполнен некоторыми числами (положительными и отрицательными) так, что в каждой строке произведение чисел отрицательно. Докажите, что хотя бы в одном столбце произведение чисел тоже отрицательно
3. На какое количество нулей может оканчиваться произведение трех натуральных чисел, если их сумма равна 207? Указать все варианты и доказать, что других нет.
4. На плоскости даны некоторая точка и квадрат. Могут ли расстояния от этой точки до вершин квадрата быть равными 1, 1, 2 и 3?
5. Можно ли расставить в таблице 3×3 девять различных четырехзначных чисел так, чтобы сумма чисел в любых двух соседних клетках делилась нацело на 2014?
Максимальное количество баллов за каждую задачу – 7 баллов
.
Всероссийская олимпиада школьников по математике
Муниципальный этап
2014-2015 учебный год
1. В Мордоре живут эльфы и люди. От тяжелой жизни каждый десятый человек считает себя эльфом, а каждый десятый эльф считает себя человеком. Всего же каждый пятый житель Мордора считает себя эльфом. Какова доля настоящих эльфов среди населения Мордора?
2. Доказать, что число 55555…55555 (в записи 2015 пятерок) делится на 41.
3. Сколько единиц можно расставить в клетках данного квадрата так, чтобы сумма чисел в каждом из рядов (горизонтальных, вертикальных и всех диагональных), оказалась не более двух? Две единицы уже стоят.
1 | |||||
1 |
4. Пусть около треугольника АВС описана окружность. Прямая l касается этой окружности в т. А. На сторонах АВ и АС взяты точки D и Е соответственно, так, что AD = 6, АЕ = 5, ЕС = 7 и DE || l. Найти длину отрезка BD.
5. Известно, что 
и 
Какое наименьшее значение может принимать сумма 
Максимальное количество баллов за каждую задачу – 7 баллов.
Всероссийская олимпиада школьников по математике
Муниципальный этап
2014-2015 учебный год
1. Доказать, что число 55555…55555 (в записи 2015 пятерок) делится на 271.
2. Найти все тройки целых чисел a, b, c таких, что 
.
3. Найти все значения параметра a, при котором уравнение 
имеет хотя бы одно целое решение.
4. В равнобедренном треугольнике угол АВС = 100º, ВР – биссектриса. Доказать, что АР + РВ = ВС.
5. Для заданного простого числа р найти все пары целых чисел x, y, для которых выполняется равенство p(x + y) = ху.
Максимальное количество баллов за каждую задачу – 7 баллов.
