Лекция 1а. Математические модели общего страхования

Лекция 1а. Математические модели общего страхования

План лекции

1.  Введение

2.  Модель индивидуального риска

3.  Перестрахование индивидуального превышения риска

4.  Модель цикла страхования

1. Введение

На предыдущей лекции были перечислены виды общего страхования, основные риски, охватываемые контрактами общего страхования и методы перестрахования. Для математика, осваивающего актуарные методы, необходимо уметь переходить от общего описания тех или иных контрактов или аспектов страхования к обоснованию, построению и дальнейшему анализу математических моделей этих контрактов/аспектов.

Поскольку модели страхования должны включать количественную оценку явлений и событий, которые произойдут (или могут произойти) в будущем, то эти модели должны быть вероятностными, т. е. опираться на использование аппарата теории вероятности. Основным принципом построения модели является приравнивание ожидаемых текущих стоимостей потоков платежей премий страхователя страховщику и выплат страховщика страхователю.

Базовыми понятиями теории вероятности являются следующие. Случайная переменная характеризуется множеством возможных значений (будем обозначать той же буквой) и неотрицательной функцией , сопоставляющей каждому возможному значению некоторое число (удельный вес этого значения, или вероятность его осуществления). Если - некоторое подмножество, то его вероятностью называется сумма вероятностей . Множество всех возможных значений вероятностей, сопоставляемых множеству , ограничивается единственным условием . Таким образом, вероятности должны быть неотрицательными числами, не превышающими единицы, и имеющими единичную сумму.

Для случайной переменной важными ее характеристиками являются следующие. Среднее значение по всему множеству или среднее значение по подмножеству . Если - некоторая функция, определенная на множестве , то среднее значение функции определяется соотношениями , . Если условиться, что - индикаторная функция множества , равная 1 для элементов , принадлежащих множеству и нулю для остальных, то и . Запись означает среднее значение по всему множеству функции . С учетом этого обозначения среднее по подмножеству может быть записано через среднее по всему множеству следующим образом . Это позволяет в принципе обойтись без нижнего индекса в выражении . Моменты высших порядков и . Центральные моменты , . Центральный момент второго порядка имеет специальное название - дисперсия . Дисперсия позволяет оценить стпень отклонения отсреднего значения.

2. Модель индивидуального риска

Контракт страхования предусматривает предварительную уплату страхователем некоторой премии . Положим, что при наступлении страхового события страховщик обязуется выплатить стоимость ущерба , какова бы она ни была. Примем также, что контракт бессрочный, т. е. ущерб возмещается, когда бы ни произошло событие.

В этом случае модель должна учитывать два фактора случайности – момент возникновения страхового события и размер ущерба . Для простоты будем считать эти два фактора независимыми. Если процентная ставка , применяемая при пересчете стоимости на ее текущее значение, задана (при этом текущее значение суммы , определенной в момент в будущем, равно , где ), то уравнение модели

,

выражающее условие равенства входных и выходных потоков платежей, позволяет оценить так называемую чистую премию (т. е. минимальную премию, необходимую для безубыточности контракта). Таким образом, чистая премия становится (зависимой) случайной переменной, определяемой значениями независимых случайных переменных и .

Обозначим множество вероятностей случайной переменной через , а множество вероятностей для через . Тогда двумерное множество вероятностей для премии равно прямому произведению . При этом среднее значение премии равно

.

Таким образом, если выбрать премию равной среднему значению, которое равно произведению средних значений ущерба и дисконтного фактора , то мы получим то минимальное значение премии, при котором контракт становится (в среднем) безубыточным. Очевидно, при вычислении реального размера премии следует применять некоторую добавку к этому значению, с учетом других факторов (норма прибыли, разовые и текущие затраты, возврат от инвестиций и др.).

Контракт может иметь более сложные условия. Например, он может быть срочным, т. е. заключенным на определенный срок. Также страховщик может взять на себя ответственность не за весь возможный ущерб, а только не превышающий определенный уровень. В этих случаях нужно строить модель заново. Скажем, если компенсируется только ущерб по событию, происшедшему до момента (скажем, 10 лет), то выплата страхователю по ущербу , возникшему в момент , определяется соотношением

.

Таким образом, чистая премия равна , где индикаторная функция принимает единичное значение на элементах множества , удовлетворяющих услових , и нулевое значение на остальных эелементах. При этом среднее значение премии, как легко видеть, равно .

3. Перестрахование индивидуального превышения риска

Пусть условия контракта остаются такими, как они описаны в пункте 2. Предположим, что страховщик решил перестраховать риск ущерба по контракту, превышающий заданную величину . Необходимо при этом разработать ставки чистой премии по основному контракту и чистой премии страховщика перестраховщику (выплачиваемой в начале контракта).

По основному контракту уравнение баланса ожидаемых текущих стоимостей входных и выходных платежей выглядит следующим образом:

.

Таким образом, средняя чистая премия равна

.

По контракту перестрахования соответствующее уравнение баланса имеет вид

.

Значит, средняя чистая премия контракта перестрахования определяется соотношением

.

Найденные значения премий и являются чистыми (находящимися на границе безубыточности) с точки зрения страховщика (если контракты рассматривать раздельно, сами по себе). В случае контракта перестрахования, премия по нему будет считаться чистой и перестраховщиком. Это означает, что именно такие величины премий (с учетом поправки на прибыль и т. д.) являются рыночно обоснованными (т. е. могут быть легко приняты субъектами рынка). Однако с точки зрения страхователя (который “не видит” контракт перестрахования) премия не является чистой, поскольку найденный в п.2. баланс текущих значений потоков платежей для него имеет вид

,

и “справедливая” премия с его точки зрения равна

.

Поэтому, если , то контракт со “спрятанной” перестраховкой более выгоден страхователю, чем обычный.

С точки зрения страховщика, однако, важно иметь положительным общий баланс, с учетом потоков платежей по обоим контрактам. Такой баланс имеет вид

.

Таким образом, если премия по основному контракту выбрана равной чистой ожидаемой премии, то страхователь, в среднем, будет терпеть убыток, равный размеру премии перестрахования. Поэтому при разработке этих контрактов необходимо найти (с учетом дополнительной информации о вероятностях размера ущерба и момента его возникновения) разумный компромисс с целью обеспечения гарантии безубыточности и конкурентоспособности.

4. Модель цикла страхования

Имеется два сектора рынка и с годовыми доходами и . Инвесторы рассматривают возможность вложения в эти сектора сумм и соответственно. При этом предпочтительным для инвестора считается сектор с наибольшей доходностью (которая равна отношению дохода к инвестиции). Все инвестиции делаются в начале очередного года по итогам сравнения доходности секторов за предыдущий год. При этом инвестиции в более доходный сектор несколько увеличиваются за счет уменьшения инвестиций в менее доходный сектор.

Пусть общая сумма, которой располагают инвесторы, равна . Когда рынок будет в равновесии, т. е. инвестиции будут оставаться постоянными? Очевидно, в случае, когда оба сектора имеют одинаковую доходность. В данном случае, это означает выполнение соотношения . Таким образом, равновесное распределение инвестиций определяется равенствами , .

А как поведет себя рынок, если инвестиции неравновесны? Как было сказано выше, инвестиции будут перетекать в более доходный сектор. Возьмем для определенности непрерывную модель рынка, считая, что изменения на нем происходят непрерывно, а не только по окончании периода инвестирования. Пусть, скажем, скорость перетекания инвестиций может быть описана следующим равенством

,

где значения функции совпадают по знаку со значениями ее аргумента (т. е. положительны для положительного аргумента, равны нулю для нулевого и отрицательны для отрицательного). Как легко убедиться, при этом сумма инвестиций будет оставаться постоянной, а процесс перетекания инвестиций приведет к их соотношению, определенному выше. Если задаться определенной функцией (скажем, считать ее прямо пропорциональной аргументу), то можно оценить и скорость прихода распределения инвестиций в заданную окрестность равновесного распределения. Если , то соотношение устанавливает время в течение которого установится заданное распределение.

Модель может стать более реальной, если рассмотреть взаимодействие более, чем двух секторов рынка.