Использование исследовательских задач по математике

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИХ ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИКЕ

Математика всегда была неотъемлемой и существенной составной частью человеческой культуры, она является ключом к познанию окружающего мира, базой научно-технического прогресса и важной компонентой развития личности. Очень часто под основной целью математического образования подразумевают подготовку к будущей профессии, к поступлению в вуз. Но не менее важно воспитать в человеке способность понимать смысл поставленной перед ним задачи, умение правильно, логично рассуждать, усвоить навыки алгоритмического мышления. Каждому необходимо научиться анализировать, отличать гипотезу от факта, критиковать, схематизировать, отчетливо выражать свои мысли, с другой стороны - развить воображение и интуицию (пространственное представление, способность предвидеть результат и предугадать путь решения). Иначе говоря, математика нужна для интеллектуального развития личности. Математика дает широкое поле для исследования.

Изучая математику, учащиеся кратно повторяют путь человечества, который оно прошло, добывая математические знания. На развитие учащихся, формирование познавательного интереса наиболее успешно влияют самостоятельные работы поискового и исследовательского характера. Такими видами деятельности являются практические работы с элементами исследования. Исследовательская деятельность – самостоятельная деятельность учащихся, но учитель может управлять процессом появления и преодоления затруднений, прогнозировать их появление. При определении задач и конкретных методических приемов осуществления педагогической поддержки следует исходить из индивидуальных особенностей школьников, осознания ими самими проблем и затруднений в исследовательской деятельности.

Под исследовательской задачей понимаются конкретные аспекты поставленной научной проблемы, выяснение которых направлено на ее решение. Такие задачи предполагают решение проблемы, ответ на которую не является очевидным и не может быть получен путем прямого применения известных схем. Решение проблемы является сложным процессом мыслительной деятельности человека, направленной на преобразование предмета, описанного в содержании задачи, разрешение противоречия между условием и требованием задачи, получение познавательного результата. Решение таких задач имеет для учащихся большое развивающее и воспитательное значение. Они способствуют развитию мышления, его определенного стиля, культуры, формируют геометрические представления. Навыки самостоятельной и исследовательской работы, способствуют более глубокому пониманию математики.

Однако исследования ученых показали, что на самостоятельную работу учащихся отводится не более 13% всего времени урока. Причем абсолютное большинство самостоятельных работ на уроках математики приходится на закрепление изложенного учителем материала непосредственно после его изучения и на проверку знаний учащихся. Таким образом, преобладает репродуктивный вид деятельности школьников.

В ходе поиска решения нестереотипных задач, в отличие от задач, выполненных по образцу, развиваются сообразительность, изобретательность, смекалка и другие, очень полезные в жизни каждого человека качества.

Реализация исследовательских задач в школе имеет свою специфику. Важные ограничения накладывают на тематику, характер и объем исследований требования возрастной психологии. Для юношеского возраста характерны еще невысокий общий образовательный уровень, несформированность мировоззрения, неразвитость способности к самостоятельному анализу, слабая концентрация внимания.

Для этого необходимо развитие поисковой активности, готовности к принятию самостоятельных решений, овладение общей ориентировочной основой исследовательской деятельности, воспитания деловитости, самостоятельности и ответственности, предприимчивости и целеустремленности. В исследовательской деятельности главной целью является получение объективно новых знаний. При этом оцениваются не только знания, но и рассматриваются другие показатели, такие как:

- участие в дискуссиях;

- умение высказывать свою точку зрения;

- сбор материала из различных источников;

- активность при обсуждении вопросов;

- умение задавать вопросы;

- возможность выразить свое отношение к изучаемому материалу.

При решении исследовательских задач у учащихся часто возникают затруднения, поэтому учителю следует задавать наталкивающие вопросы. Уметь задавать вопросы – одно из важнейших умений учителя, так как умело заданный вопрос обеспечивает правильный и конкретный ответ учащихся.

По характеру ответов вопросы могут быть :

- репродуктивные (воспроизведение знаний; например, перечислить компоненты процесса обучения);

- реконструктивные (требующие применения знаний в нестандартной ситуации: например, чем отличаются …, какова основная мысль…);

- творческие (требующие осмысления и творческого подхода).

Для активизации мыслительной деятельности, для самостоятельного поиска ответа помогают конструкции-подсказки, например: почему…; какова причина…; в чем суть явления…; что изменилось бы, если…; чем отличается… и т. д.

Учитель должен помнить, что, встречаясь даже с очень одаренным учеником, он готовит из него не математика, а, прежде всего, всесторонне развитую личность, и эту работу он выполняет в тесном единстве с учителями других дисциплин. В процессе обучения в школе формируется человеческое сознание, взгляды, мировоззрение, убеждения, развиваются творческие способности учащихся. Для этого полезно использовать нестандартные математические задачи.

Каждая решаемая задача имеет методическую цель. Поэтому преподаватель должен стремиться не к тому, чтобы задача была решена быстро и безошибочно или только на развитие тренировки, а к тому, чтобы она была решена творчески, и чтобы из нее можно было извлечь как можно больше пользы для математического развития ученика.

Решая исследовательскую задачу, человек познает много нового: знакомится с новой ситуацией, описанной в задаче, с применением математической теории к ее решению, познает новый метод решения или новые теоретические разделы математики, необходимые для решения задачи. Правильно поставленное обучение решению исследовательских задач воспитывает у учеников честность и правдивость, настойчивость в преодолении трудностей, уважение к труду других участников.

Исследовательские задачи создают условия для проявления творческой активности учащегося, выражающейся в стремлении познать объективно новые факты, используя теорию научных исследований.

При решении исследовательских задач ученик обучается применять математические знания к практическим нуждам. При решении исследовательских задач воспитывается правильное мышление, и, прежде всего, учащиеся приучаются к полноценной аргументации, у учащихся формируется особый стиль мышления: соблюдение формально-логической схемы рассуждений, лаконичное выражение мыслей, четкая расчлененность хода мышления, точность символики.

Исследовательские задачи воспитывают текстовым содержанием. Поэтому текст многих математических задач существенно изменяется в различные периоды развития общества. Но воспитывает не только содержание задачи, но и весь процесс обучения решению этих задач.

Задания, исследовательского характера существенно отличаются от традиционных заданий уже своей формулировкой. Так большая часть заданий школьных учебников звучит так: «Решить уравнение», «Доказать, что выражение … больше выражения …», «Упростите…» и т. п. В формулировках исследовательских заданий нет явного ответа, его необходимо самим найти и обосновать. Формулировки заданий могут быть такими:

1. «Исследовать …».

2. «Верно ли, что если …, то …».

3.Определить, какое из выражений больше ».

4. «Найти необходимое и достаточное условие, при котором обе последовательности стремятся к нулю».

5. «Существуют ли такие значения b, при которых квадратный трехчлен имеет два корня, один из которых является положительным числом, а другой отрицательным?».

6. «Существуют ли такие значения с, что множеством решений неравенства … является: а) числовой промежуток …; б) множество всех чисел».

7. «Верно ли, что функция … при любом а убывает в промежутке … и возрастает в промежутке …?».

После решения задач исследовательского характера необходимо, чтобы учащиеся осуществляли исследование ответа, вывода (т. е. ставили вопрос о существовании решения, о числе решений, об особых случаях, какие могут представиться) при рассмотрении каждой задачи, особенно такой, которая предлагается в общем виде.

Для развития творческого мышления нужно постепенно формировать у учащихся умение определять, какие частные случаи необходимо выделить в последствии.

1.  Прямоугольники с заданной площадью

На клетчатой бумаге нарисуйте все прямоугольники, у которых площадь равна 24 клеткам. (Стороны должны идти по границам клеток.) Сколько получится таких прямоугольников?

Для каких площадей бывает только один прямоугольник? Для каких – два разных прямоугольника? Три разных прямоугольника? Как зависит количество вариантов от площади?

Найдите из всех прямоугольников с одинаковой площадью тот, у которого периметр наименьший.

РЕШЕНИЕ.

Задача подводит ученика к понятию простых и составных чисел. Организовать исследование можно таким образом: ребёнок пытается нарисовать все искомые прямоугольники, что-то пропускает. Ему указывают ошибку и обсуждают, как действовать, чтобы ничего не пропустить (упорядоченный перебор). Затем предлагают изучить более простые случаи: прямоугольники с площадью 1, 2, 3 и так далее. Рассмотренные случаи объединяют в группы: площади, дающие один прямоугольник, два прямоугольника, три и так далее. Затем надо связать группы со свойствами чисел.

По ходу задачи обычно возникает вопрос о том, считать ли такие прямоугольники «за два или за один»:

и

Это важный момент, так как математикам часто приходится договариваться о том, какие объекты отождествлять, а какие считать различными.

Обобщение 1. Если брать не прямоугольники, а клеточные многоугольники, то получатся диаграммы Юнга, используя которые, можно доказывать различные неочевидные свойства разбиений натуральных чисел на слагаемые. При очень простой формулировке исходной задачи получаем сложный комбинаторный объект.

Например, такая диаграмма соответствует разбиению 5 = 2 + 2 + 1.

2.  Задача о середине отрезка.

Серединой отрезка называется точка, которая делит его на два отрезка равной длины. Можно ли утверждать, что точка В является серединой отрезка АС, если АВ=ВС

РЕШЕНИЕ.

Нет, так как отсутствует условие, В лежит на отрезке. Полезно предложить учащимся построить чертёж, соответствующий условию, когда точка В не является серединой отрезка АС, и сформулировать условие задачи, если В не середина АС.

3.  Задача о покупке.

Покупка стоит а рублей. Сколько сдачи может получить покупатель из кассы с четырех купюр (по 3 руб. каждая) и какие значения возможны для а?

РЕШЕНИЕ.

Сдача равна 12-а, а>9 (иначе покупатель не стал бы давать в кассу 4 купюры по 3 руб) и а. Таким образом 9< а.

Сюжет задачи можно использовать для других данных: покупатель может дать в кассу две купюры по 5 руб. и одну трёхрублёвую или одну пятирублёвую, две трёхрублёвые и один рубль и т. д.

4.  Разбиение прямоугольника.

Разбейте прямоугольник на три таких треугольника, чтобы площадь одного из них равнялась сумме площадей двух других.

РЕШЕНИЕ.

Диагональ разбивает прямоугольник на 2 равновеликих треугольника, разбив один треугольник на 2 получим одно из возможных решений задачи.

Примеры исследовательских заданий из уч. «Математика Арифметика Геометрия 5 класс»

1.  Начертите две пересекающиеся прямые. Проведите третью прямую, пересекающую каждую из этих прямых. Сколько точек попарного пересечения прямых у вас получилось?

РЕШЕНИЕ.

На чертежах рассмотреть различные случаи, сделать выводы. (Одна или три).

Можно изменить условие. Начертите три пересекающиеся прямые. Проведите четвертую прямую, пересекающую каждую из этих прямых. Сколько точек пересечения прямых у вас получилось?

(одна, четыре, шесть)

Развитие умений видеть проблемы. Способность изменять собственную точку зрений, смотреть на объект исследования с разных сторон.

2.  Перечислите все цифры, которые можно вставить вместо звездочки, чтобы неравенство было верным:478*>4783; 1686<1*86

РЕШЕНИЕ.

Перебор вариантов, выводы (больше 3, больше 6)

Развитие умений наблюдать. Наблюдение – доступный, ценнейший и совершенно незаменимый источник получения разнообразных данных о мире.

3.  Определите, по какому правилу составлена последовательность чисел, и запишите три последующих числа:1;4;9;16…

РЕШЕНИЕ.

Квадраты чисел 25, 36….

Можно попросить детей назвать самое большое число в этой последовательности и сделать вывод что она бесконечна.

Развитие умений выдвигать гипотезы. Умение выдвигать гипотезы в результате как логических рассуждений так и интуитивного мышления.

4.  Как изменится величина правильной дроби, если к числителю и знаменателю прибавить одно и тоже число?

РЕШЕНИЕ.

Дробь останется правильной. Чем на большее число мы увеличиваем числитель и знаменатель, тем больше значение дроби.

Дети могут работать в группе, парами. Берут правильную дробь и выполняют с ней указанные действия, делают выводы.

Пример :

Развитие умений высказывать суждения и делать умозаключения Умозаключение есть форма мышления, посредством которой на основе имеющегося знания и опыта возникает новое знание.

КОМБИНАТОРИКА

Подсчёт деревьев

Соедините n точек 1, 2, 3, …, n отрезками так, чтобы получилось дерево (т. е. граф, в котором есть путь из любой вершины в любую, но нет циклов – замкнутых путей; отрезков должно быть n -1). Сколько разных деревьев можно получить?

РЕШЕНИЕ.

Нарисуем все деревья для n = 1, 2, 3, 4:

Пусть n = 5. Теперь прямой подсчет уже достаточно сложен. Видов деревьев три:

Подсчитав, сколькими способами можно занумеровать каждое, получим, что всего их 125.

Соберём данные в таблицу:

Кол-во вершин	1	2	3	4	5
Кол-во деревьев	1	1	3	16	125

Теперь нетрудно угадать формулу для количества помеченных деревьев с n вершинами: Kn = nn-2. Эта формула подсказывает путь доказательства: построить биекцию между множеством помеченных деревьев с n вершинами и последовательностью из n-2 членов, каждый из которых принимает одно из n значений.