Тексты школьных олимпиад по математике

Тексты школьных олимпиад по математике.

5 класс

1.  У щенят и утят вместе 44 ноги и 17голов. Сколько щенят и сколько утят?

2.  Если школьник купит 11 тетрадей, то у него останется 5 рублей. А на 15 тетрадей у него не хватает 7 рублей. Сколько денег у школьника?

3.  Как имея два сосуда вместимостью 5л и 7л, налить из водопроводного крана 6л?

4.  Как разрезать прямоугольник, длина которого 16см, а ширина 9 см, на две равные части, из которых можно составить квадрат?

5.  Сколько нулей стоит в конце произведения всех натуральных чисел от 10 до 25?

Ответы и решения:

1.  5 щенят и 12 утят.

2.  38 рублей.

3.  1) Наполняем семилитровый сосуд, переливаем из него 5л в пятилитровый, а оставшиеся 2л в семилитровом сосуде выливаем вновь в пятилитровый сосуд.

2) Снова наполняем семилитровый сосуд, отливаем из него 3л в пятилитровый сосуд. Тогда в семилитровом остается 4л. Выливаем все из пятилитрового сосуда и выливаем в него 4л из семилитрового сосуда.

3) Наполняем вновь семилитровый сосуд, отливаем из него 1л в пятилитровый сосуд. Таким образом, в семилитровом сосуде получаем 6л.

4. Квадрат со стороной 12см.

5. В произведении содержится 5 «пятерок» ; по одной дают разложения 10,15,20 на множители; а 25=55. Произведение каждой «пятерки» на четный множитель дает нуль, поэтому произведение оканчивается 5 нулями.

6 класс

1.  В записи 52*2* замените звездочки цифрами так, чтобы полученное число делилось на 36. Укажите все возможные решения.

2.  Сколько воды надо добавить к 600г жидкости, содержащей 40% соли, чтобы получился 12%-ый раствор этой соли?

3.  Выразите число 16 с помощью четырех пятерок, соединяя их знаками действий.

4.  Разместите 8 козлят и 9 гусей в пяти хлевах так, чтобы в каждом хлеве были и козлята и гуси, а число их ног равнялось 10.

5.  Найдите все дроби со знаменателем 15, которые больше 8/9 и меньше 1.

Ответы и решения:

1.  Число делится на 36, если оно делится и на4 и на 9. Так как сумма цифр5,2,2 равна 9, то сумма двух недостающих цифр должна равняться 0, 9 или 18. Учитывая, что число должно делиться на 4, а предпоследняя цифра равна 2, то последняя цифра может быть лишь 0 или 4 или 8. Тогда ответами будут числа: 52524, 52128, 52020, 52920.

2.  600*40:100=240(г) – содержится соли в 600 г жидкости;

240:12*100=2000(г) будет 12%-й жидкости;

2000-600= 1400(г) – воды надо добавить.

Ответ: 1400г.

3.  55:5+5=16.

4.  Обозначим число гусей в одном хлеве за x, а число козлят за у, тогда, учитывая, что ног в одном хлеве должно быть 10, получим уравнение: 2х+4у=10. Из данного уравнения имеем, что число козлят может быть только 1 или 2, соответственно гусей будет 3 или 1. Тогда размещение будет такое: в двух хлевах будет по 1 козленку и 3 гусям, в трех хлевах – по 2 козленка и 1 гусю.

5.  Числа 8/9 и 1 представим в виде дробей со знаменателем, кратным15. Тогда 8/9=40/45 , 1=45/45. Условию удовлетворяет лишь 42/45=14/15.

Ответ: 14/15.

7 класс

1.  Решите уравнение: | 7- х | =9,3.

2.  Имеется 9 пластинок и двухчашечные весы без гирь. По виду все пластинки одинаковые, но одна из них легче других. Как с помощью двух взвешиваний найти более легкую пластинку?

3.  Выразите 10 пятью девятками. Укажите каку можно больше способов.

4.  Найти все значения х и у, для которых ху +1 = х+у.

5.  В некотором месяце три четверга пришлись на четные числа. Какой день недели был 26-го числа этого месяца?

Ответы и решения:

1.  х= 16,3 или х=-2,3.

2.  Разделим 9 пластинок на три кучи по 3 пластинки. И т. д.

3.  9+=10; 9+ =10; - =10; 9 =10; 9 + -9 +9 = 10.

4.  х=1, у – любое число; либо у=1, х –любое число.

5.  Так как четных четвергов три, то всего четвергов в месяце должно быть 5, причем первый четверг должен быть в начале месяца и в четный день. Значит, этот четверг приходится на второй день месяца, тогда следующие четверги будут 9,16, 23, 30. Если первый четверг попадет на четвертое число месяца, то в месяце будет всего 4 четверга. Если четверг попадет на первый или третий день месяца, то не будет 3 четных четвергов. Тогда 26-е будет воскресеньем.

Ответ: 26-е будет воскресеньем.

8 класс

1.  Поставьте знаки модуля так, чтобы равенство

1-  2 – 4 – 8 - 16=19 стало верным.

2.  Постройте график уравнения у=0.

3.  Постройте треугольник по данной высоте, углу при основании и медиане, проведенной из этого угла.

4.  В школе 30 классов и 1000 учащихся. Докажите, что есть класс, в котором не менее 34 учеников.

5.  Разложите многочлен ++1 на три множителя.

Ответы и решения:

1.  | | 1-2 | - | 4 – 8 | - 16 | = 19.

2.  Графиком уравнения являются 2 прямые, заданные уравнениями: у=0 и х=1.

3.  Строим угол А. строим множество точек, находящихся на расстоянии, равном данной высоте от основания тр-ка. Находим точку пересечения данного множества и второй стороны угла-В. Это будет вторая вершина тр-ка. И т. д.

4.  Пусть такого класса в школе нет, т. е. во всех классах будет 33 и менее учащихся. Тогда во всей школе будет не более 3330 =990 учащихся, что противоречит условию задачи ( в школе 1000 учащихся). Значит, наше предположение неверно, поэтому в школе есть класс, в котором не менее 34 учеников.

5.  ++1 = ++1 + - = – = ( + 1 - ) ( + 1 + + ) = ( + 1 - ) ( + 1 + + ) =( + 1 - )() =

9  класс

1.Сократите дробь: .

2.Решите систему уравнений:

3.Постройте график функции: у=.

4.Сколькими способами число 100 можно представить в виде суммы нескольких последовательных натуральных чисел?

5.Можно ли разменять купюру в 50 рублей 15 монетами достоинством 1 и 5 рублей?

Ответы и решения:

1.х+2, где х и х

2.Введем новые переменные: u=3х+у, v=х-у. ответ : (3;-1), (-3;1).

3.Прямая у=х+6, где х

4.Обозначим первое число за n, а последнее n+k. Тогда сумма запишется следующим образом:

n +( n +1) + (n + 2)+ … +( n+k)=100. Найдя сумму членов арифметической прогрессии в левой части и упростив, получим:

(2 n+k)( k+1)=200, 200=2100=1200=450=540=825. Так как первый множитель больше второго и один множитель – четный, а второй – нечетный, то получим:

или

Решая данные системы, получим: n=9, k=7 или n=18, k=4.

9+10+11+12+13+14+15+16=100 или 18+19+20+21+22=100.

5.Нет, так как 15 нечетных слагаемых в сумме дают нечетное число, а 50- четное число.

10 класс

1.  Решите в целых числах: ху=х+у.

2.  Решите систему уравнений:

3.  Постройте график функции у=2+3|х|+2.

4.  Известно, что х +=5. Найдите +.

5.  При каком целом k неравенство

+2(4k – 1) х + 15 - 2 k – 7 >0 верно при любом действительном х?

Ответы и решения:

1.  ху=х+у; ху-х-у+1=1; (ху-х)-(у-1)=1; х(у-1)-(у-1)=1; (у-1)(х-1)=1,где

или

Ответ : (2;2);(0;0).

2.  Сложив все три уравнения системы, получим уравнение (х+у+z)(2х+2у+2z)=288, из которого найдем х+у+z=12 или х+у+z= -12. Подставляя получим в первом случае : х=2,у=4, z=6, во втором случае: х= -2, у= -4, z= -6.

3.  Графиком функции будет:

у=

4.  Возведем обе части равенства х +=5 в квадрат. Откуда +=23.

5.  Неравенство будет верно, если D Получим неравенство

- 6k+8 при 2k, то есть при k=3.

: k=3.

11 класс

1.  Постройте график функции у= .

2.  Решите систему уравнений

,

3.  Покажите , что куб можно пересечь плоскостью так, чтобы в сечении получился правильный шестиугольник.

4.  Дана функция у =. Постройте график данной функции.

5.  Найдите все решения уравнения:

+ 5 + 4ху + 2у +1 = 0.

Ответы и решения:

1.  Это прямая у=1, где хn, n.

2.  Найдем у из уравнения = у. получим у=1. Тогда из уравнения =1 находим = -1; =-3.

Ответ: (-1;1); (-3;1).

3.  Надо вершины шестиугольника взять в серединах двух соседних сторон верхнего основания, двух противоположных сторонах нижнего основания. Полученное сечение будет правильным шестиугольником, так как его стороны будут равны половине диагонали грани, а углы все по , так как его стороны параллельны сторонам равностороннего треугольника, состоящего из трех диагоналей граней.

4.  Графиком будет

у=

5.  Преобразуем данное уравнение к виду +=0. Его решением будет пара (2; - 1).

6.  Ответ: (2; - 1).