НЕУСТОЙЧИВОСТИ И ВОЛНЫ В МАГНИТНЫХ ЖИДКОСТЯХ С ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ РАЗДЕЛА

,

Мордовский государственный педагогический институт

colonnt@mail.ru

XI ВСФПТПМ, 20-24 августа 2015, Казань, Россия

Аннотация. Сформулирована и исследована математическая модель неустойчивости и распада струи газа в магнитной жидкости в приложенном магнитном поле, направленном вдоль оси струи. Найдены условия, при которых возмущения поверхности струи становятся неустойчивыми и приводят к ее разрушению на отдельные пузыри газа. Показано, что с увеличением магнитного поля размер образующихся пузырей возрастает, а скорость их роста и частота возникновения уменьшаются. Эта задача представляет интерес в связи с изучением кипения магнитных жидкостей.

Исследована неустойчивость цилиндрического фронта вытеснения одной магнитной жидкостью другой жидкости, движущихся в пористой среде в приложенном магнитном поле.

НЕУСТОЙЧИВОСТЬ И РАСПАД СТРУИ ГАЗА В МАГНИТНОЙ ЖИДКОСТИ

Задача о распаде струи магнитной жидкости решена в [1]. Неустойчивость и распад струи газа в обычной (немагнитной) жидкости исследована в [2].

Рассматривается неустойчивость и распад струи газа в магнитной жидкости. Струя газа имеет форму круглого цилиндра. Учитывается наличие поверхностного натяжения. Сила тяжести предполагается отсутствующей. Однородное приложенное магнитное поле с напряженностью в невозмущенном состоянии направлено вдоль оси струи с радиусом . Задача решается в неподвижной цилиндрической системе координат , в которой жидкость покоится. Ось z направлена по оси струи. Плотность газа пренебрежимо мала по сравнению с плотностью жидкости и принимается равной нулю. Величины, относящиеся к струе, обозначаются в необходимых случаях индексом 1, а к жидкости – 2. Магнитная проницаемость жидкости предполагается постоянной. Движение магнитной жидкости описывается обычными уравнениями гидродинамики.

Потенциал скорости жидкости ищем в виде

,

где – волновое число; n = 0, 1, 2,…; – частота, которая может быть комплексной.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Уравнение деформированной поверхности струи запишем в виде

,

где , – малая по сравнению с величина.

На поверхности струи нормальная скорость жидкости равна нормальной скорости перемещения поверхности или, в линейном приближении, при . Отсюда, с учетом равенства , находим

.

Здесь Кn – модифицированные функции Бесселя.

Магнитное поле, определяется в области струи и жидкости уравнениями Максвелла

, (j = 1, 2).

Потенциал магнитного поля, удовлетворяющий уравнению Лапласа, запишем в виде (j = 1, 2), где – потенциал невозмущенного поля, а – малое возмущение, связанное с деформацией поверхности струи. Функции ищем в виде

XI ВСФПТПМ, 20-24 августа 2015, Казань, Россия

.

Граничные условия для магнитного поля на поверхности струи:

, .

Здесь n – нормаль к поверхности струи.

Подставляя выражения , , , и возмущение давления в условие баланса сил на поверхности струи, получим дисперсионное уравнение для поверхностных волн, которое, вводя безразмерные величины и , можно записать в виде

(1)

Здесь In – модифицированные функции Бесселя, – безразмерный параметр, – коэффициент поверхностного натяжения.

Из (1) следует, что все возмущения с устойчивы, так как в силу свойств Бесселевых функций выполняется неравенство при любых значениях и .

Рассмотрим случай n = 0. В этом случае возмущения поверхности струи не будут зависеть от угла и она будет иметь осесимметричную форму, имеющую вид последовательных сжатий и расширений.

Исследование зависимости величины от () проводилось для нескольких значений магнитной проницаемости жидкости. При этом бралось значение Q = 20, которому соответствуют, например, следующие значения: a = 1 см, = 1 г/cм3, H0 = 20 Э, г/с2. Магнитная проницаемость газа во всех расчетах бралась равной 1 (). При частота . Длина волныназывается критической. При что соответствует устойчивости струи. Область соответствует неустойчивости струи, так как при этом , и частота будет иметь комплексные значения, что приводит к неустойчивости. Как известно [2], размер пузырей, образующихся при распаде струи будет порядка длины волны , соответствующей величине , при которой достигает минимума . Показано, что при увеличении что при увеличении Q (a, следовательно, при увеличении магнитного поля) значения и возрастают, – уменьшаются. Это означает, что с ростом магнитного поля размер пузырей увеличивается, а скорость их роста и частота возникновения уменьшаются.

Полученные теоретические выводы качественно согласуются с известными экспериментами по изучению кипения магнитных жидкостей.

НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО ФРОНТА ВЫТЕСНЕНИЯ

МАГНИТНОЙ ЖИДКОСТИ

Рассмотрена задача о неустойчивости цилиндрического фронта (поверхности), разделяющего магнитные жидкости 1 и 2, находящиеся в пористой среде. Жидкость 1 заполняет объем цилиндра, поверхность которого расширяется со скоростью , где R – радиус цилиндра, – объемная мощность источника жидкости на оси цилиндра. При этом происходит вытеснение жидкости 2, окружающей жидкость 1 в пористой среде. Поверхность раздела двух жидкостей при определенных условиях может стать неустойчивой, в результате чего на этой поверхности появляются увеличивающиеся со временем отростки. Найдено условие неустойчивости фронта вытеснения. Показано, что магнитное поле оказывает стабилизирующее влияние на движение жидкости.

Литература

1.  // Магнитная гидродинамика, 1975, №2, с. 35-38.

2.  Chandrasekhar S. Hydrodynamic and Hydromagnetic Stability. Oxford: Clarendon Press, 1961. 690 p.