[Оставьте этот титульный лист для дисциплины, закрепленной за одной кафедрой]
Правительство Российской Федерации
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования
"Национальный исследовательский университет
"Высшая школа экономики"
Факультет [Введите название факультета и отделения (если есть), на котором реализуется образовательная программа]
Программа дисциплины
Теория вероятностей и математическая статистика
для направления/ специальности
подготовки бакалавра
МС-31
Автор программы:
, *****@***ru
Одобрена на заседании кафедры Высшей математики «___»____________ 2012 г
Зав. кафедрой
Рекомендована секцией УМС [Введите название секции УМС] «___»____________ 20 г
Председатель [Введите ]
Утверждена УС факультета [Введите название факультета] «___»_____________20 г.
Ученый секретарь [Введите ] ________________________ [подпись]
Москва, 2012
Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями университета и другими вузами без разрешения кафедры-разработчика программы.
Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности.
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления подготовки по специальности ____________ «_________» изучающих «Теорию вероятностей и математическую статистику»:
Программа разработана в соответствии с:
· ФГОС;
· Образовательной программой _____________ по направлению подготовки «________________».
· Рабочим учебным планом университета по направлению подготовки специальности ________________ «_____________», утвержденным в 2012г.
Цели освоения дисциплины
Целями освоения дисциплины Теория вероятностей и математическая статистика являются изучение основ теории вероятностей и математической статистики и применение полученных знаний для решения конкретных практических задач.
2 Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины
В результате освоения дисциплины студент должен:
Знать:
постановки задач, определения и теоремы теории вероятностей и математической статистики;
· Уметь:
применять полученные методы и модели к решению типовых и практических задач;
пользоваться расчетными формулами, теоремами, таблицами при решении задач;
применять статистические методы для обработки результатов измерений, троить критерии для проверки гипотез;
работать со статическими данными;
применять полученные знания для изучения других дисциплин.
· Иметь навыки (приобрести опыт):
навыки применения методов для решения различных прикладных задач.
В результате освоения дисциплины студент осваивает следующие компетенции:
Компетенция | Код по ФГОС/ НИУ | Дескрипторы – основные признаки освоения (показатели достижения результата) | Формы и методы обучения, способствующие формированию и развитию компетенции |
ОК-1 | способность владеть культурой мышления, способностью к обобщению, анализу, восприятию информации, постановке цели и выбору | Лекции, семинарские занятия | |
ОК-2 | способность логически верно, аргументированно и ясно строить устную и письменную речь | Семинарские занятия, самостоятельная работа | |
ОК-10 | способность использовать основные законы естественнонаучных дисциплин в профессиональной деятельности, применять методы математического анализа и моделирования, теоретического и экспериментального исследования | Лекции, семинарские занятия, самостоятельная работа | |
ПК-5 | способность владеть основными приемами обработки и представления экспериментальных данных | Семинарские занятия, самостоятельная работа | |
ПК-20 | готовность проводить эксперименты по заданной методике, анализировать результаты, составлять обзоры, отчеты | Семинарские занятия, самостоятельная работа |
3 Место дисциплины в структуре образовательной программы
Настоящая дисциплина относится к базовой части математического и естественнонаучного цикла.
Изучение данной дисциплины базируется на следующих дисциплинах:
· «Математический анализ»
· «Линейная алгебра и аналитическая геометрия».
Основные положения дисциплины должны быть использованы в дальнейшем при изучении следующих дисциплин:
· «Случайные процессы»
· «Теория массового обслуживания»
· «Теория надежности информационных систем»
4 Тематический план учебной дисциплины
№ | Название раздела | Всего часов | Аудиторные часы | Самостоятельная работа | ||
Лекции | Семинары | Практические занятия | ||||
1 | Вероятностное пространство. Определение и свойства вероятности. | 6 | 4 | 2 | ||
2 | Условная вероятность. Независимость событий. Схема Бернулли. | 5 | 4 | 1 | ||
3 | Предельные теоремы теории вероятностей | 6 | 4 | 2 | ||
4 | Случайные величины. Функция распределения. | 7 | 4 | 3 | ||
5 | Многомерные случайные величины. | 5 | 4 | 1 | ||
6 | Числовые характеристики случайных величин. | 6 | 4 | 2 | ||
7 | Закон больших чисел. Центральная предельная теорема. | 8 | 4 | 4 | ||
8 | Характеристические функции. Производящие функции. | 6 | 4 | 2 | ||
9 | Основные понятия математической статистики. | 3 | 2 | 1 |
5 Формы контроля знаний студентов
Тип контроля | Форма контроля | 1 семестр | Параметры ** | |||
1 | 2 | |||||
Текущий (неделя) | Контрольная работа | * | * | письменная работа 60 минут | ||
Эссе | ||||||
Реферат | ||||||
Коллоквиум | ||||||
Домашнее задание | * | Письменная работа в течение семестра | ||||
Промежуточный | Зачет | |||||
Экзамен | Устный экзамен | |||||
Итоговый | Экзамен | Устный экзамен |
5.1 Критерии оценки знаний, навыков
На лекционных занятиях оценивается
1. Активность студентов – количество и качество заданных вопросов;
На семинарских занятиях оценивается:
1. Выполнение домашних заданий – по количеству решенных задач;
2. Выполнение контрольных работ – по количеству решенных задач;
3. Активность студентов – по количеству и качеству заданных вопросов;
4. Активность студентов - по количеству и качеству выступлений;
5. Активность студентов - по количеству участий в обсуждениях.
По результатам текущих оценок строится текущий прогноз итоговой оценки каждого
студента, который еженедельно доводится до его сведения.
В течении семестра применяется дифференцированный подход по 10-балльной системе в соответствии со знаниями и навыками, проявленными студентом.
Экзамен.
Сдача студентом экзамена оценивается по 10-балльной системе в совокупности с накопленным баллом в соответствии со знаниями и навыками, проявленными студентом на экзамене. Способ округления оценки – арифметический. 10-балльная оценка переводится в пятибалльную (8-10 баллов – оценка «5», 6-7 баллов – оценка «4», 4-5 баллов – оценка «3», 0-4 балла – оценка «2»).
5.2 Порядок формирования оценок по дисциплине
Накопленная оценка за текущий контроль учитывает результаты студента по текущему контролю следующим образом:
Орезульт = k* Онакопл + k *·Оэкз/зач
На зачете студент может получить дополнительный вопрос (дополнительную практическую задачу, решить к пересдаче домашнее задание), ответ на который оценивается в 1 балл.
На экзамене студент может получить дополнительный вопрос (дополнительную практическую задачу, решить к пересдаче домашнее задание), ответ на который оценивается в 1 балл.
6 Содержание дисциплины
№ п/п | Наименование раздела дисциплины | Содержание раздела |
1. | Вероятностное пространство. Определение и свойства вероятности. | События, операции над событиями. Пространство элементарных исходов. Определение вероятности: классическое, геометрическое, статистическое, аксиоматическое. Свойства вероятности. Формула сложения вероятностей. |
2. | Условная вероятность. Независимость событий. Схема Бернулли. | Определение условной вероятности. Формула умножения вероятностей. Независимость событий. Формула полной вероятности. Формула Байеса. Схема независимых испытаний Бернулли. |
3. | Предельные теоремы теории вероятностей. | Теорема Пуассона. Локальная теорема Муавра-Лапласа. Интегральная теорема Муавра-Лапласа. Неравенство Маркова. Неравенство Чебышева. Закон больших чисел. Центральная предельная теорема. |
4. | Случайные величины. Функция распределения. | Понятие случайной величины. Функция распределения. Дискретные случайные величины. Закон распределения. Распределения: биномиальное, геометрическое, Пуассона. Непрерывные случайные величины. Плотность распределения. Распределения: равномерное, экспоненциальное, нормальное. Функции от случайных величин. |
5. | Многомерные случайные величины. | Совместная функция распределения. Дискретные и непрерывные двумерные случайные величины. Условные распределения. Независимые случайные величины. Распределение суммы двух случайных величин. |
6. | Числовые характеристики случайных величин. | Математическое ожидание случайной величины. Свойства математического ожидания. Дисперсия случайной величины. Свойства дисперсии. Моменты высших порядков. Коррелированность и зависимость. |
7. | Закон больших чисел. Центральная предельная теорема. | Неравенство Маркова. Неравенство Чебышева. Закон больших чисел (Чебышева, Бернулли, Хинчина, Чебышева). Центральная предельная теорема (Ляпунова, Леви). |
8. | Характеристические функции. Производящие функции. | Свойства и примеры вычисления характеристических и производящих функций. |
9. | Основные понятия математической статистики. | Задачи математической статистики. Генеральная совокупность. Выборка. Вариационный ряд. Понятие оценки. Свойства оценок. Эмпирическая функция распределения. Гистограмма и полигон частот. Критерий Колмогорова. |
7 Образовательные технологии
Образовательные технологии:
– чтение лекций;
– проведение практических занятий;
– выполнение студентами контрольной работы и домашнего задания;
– проведение экзамена.
8 Оценочные средства для текущего контроля и аттестации студента
8.1 Тематика заданий текущего контроля
Примерные задания
Вариант 1.
1. В коробке 9 белых шаров, 7 красных и 4 черных.
а) Найти вероятность извлечь (без возвращения) три шара разного цвета.
б) Найти вероятность извлечь два шара красного и один белого цвета.
2. Игральная кость бросается 16 раз. Найти наивероятнейшее число бросаний, в которых выпало число очков, кратное трем, и вычислить его вероятность.
3. В компании 80% менеджеров работают в Москве, а 20% в регионах. Вероятность того, что к менеджеру московского офиса обратится клиент с вопросом о поставках равна - 0,7, регионального офиса – 0,5. К одному из менеджеров обратился клиент. Какова вероятность, что он работает в региональном офисе.
Вариант 2.
1. Известно, что в одной закрытой коробке 4 красных шара и 6 синих, а во второй закрытой коробке – 8 красных и 2 синих шара (не видно в какой коробке сколько шаров). Найти вероятность вытащить красный шар с первой попытки. Найти вероятность извлечь два красных шара за две попытки: а) из одной из коробок, б) извлекая первый раз из одной коробки, а второй из другой коробки.
2. Вероятность изготовления бокала хорошего качества равна 0,9. Какова вероятность, что среди 11 бокалов не менее 10 хорошего качества.
3. Кондитерская компания выпускает три вида тортов. От общего объема выпуска 30% - низкокалорийные торты, 20% - вафельные, 50% - бисквитные. Известно, что в составе низкокалорийных тортов нет алкоголя, среди вафельных тортов 2% с добавлением алкоголя, среди бисквитных – 70% с добавлением алкоголя. Какова вероятность, что наугад купленный торт в составе не будет иметь алкоголя.
Вариант 3.
1. Из 15 проданных за неделю телевизоров 3 имеют скрытые дефекты. Найти вероятность того, что среди выбранных наудачу 5 телевизоров (из числа проданных) окажется не более одного со скрытыми дефектами.
2. а)Что вероятнее для двух равносильных соперников: выиграть две партии из трех или одну из двух.
б)Страховой агент при каждом визите заключает договор с вероятностью 30%. При каком числе визитов наивероятнейшее число договоров будет равно 10.
3. В цехе работают 7 мастеров и 3 ученика, производящие одинаковое число изделий. Мастер допускает брак в 1% случаев, а ученик – в 5% случаев. Изделие оказалось бракованным. Найти вероятность, что его сделал ученик.
Примерный список вопросов для подготовки к экзамену.
Теория вероятностей.
Предмет теории вероятностей. События, операции над событиями. Пространство элементарных исходов. Основные формулы комбинаторики. Перестановки, размещения, сочетания. Определение вероятности: классическое, геометрическое, статистическое, аксиоматическое. Свойства вероятности. Формула сложения вероятностей. Определение условной вероятности. Формула умножения вероятностей. Независимость событий. Попарная независимость и независимость в совокупности. Формула полной вероятности. Формула Байеса. Схема независимых испытаний Бернулли. Пример. Случайная величина. Функция распределения. Свойства функции распределения. Дискретные случайные величины. Закон распределения. Вырожденное распределение. Распределение Бернулли. Биномиальное, геометрическое, гипергеометрическое распределение, распределение Пуассона. Непрерывные случайные величины. Плотность распределения. Равномерное, экспоненциальное, нормальное распределение. Многомерные случайные величины. Совместная функция распределения. Пример. Свойства совместной функции распределения. Дискретные и непрерывные двумерные случайные величины. Условные распределения. Независимые случайные величины. Теорема о функции от независимых случайных величин. Распределение суммы двух случайных величин. Формула свертки. Пример распределения суммы независимых случайных величин. Гамма-распределение. Теорема о распределении суммы случайных величин, имеющих распределение Г(λ,1). Математическое ожидание случайной величины. Свойства математического ожидания. Математическое ожидание случайной величины, имеющей распределение: биномиальное, геометрическое, Пуассона, равномерное, экспоненциальное, нормальное. Дисперсия случайной величины. Свойства дисперсии. Дисперсия случайной величины, имеющей распределение: Бернулли, биномиальное, Пуассона, экспоненциальное, нормальное. Моменты высших порядков. Ковариация. Коэффициент корреляции. Коррелированность и зависимость. Теорема Пуассона. Локальная теорема Муавра-Лапласа. Интегральная теорема Муавра-Лапласа. Неравенство Маркова. Неравенство Чебышева. Закон больших чисел (Чебышева, Бернулли, Хинчина, Чебышева). Центральная предельная теорема (Ляпунова, Леви). Характеристическая функция. Свойства. Пример. Производящая функция. Свойства. Пример. Задачи математической статистики. Генеральная совокупность. Выборка. Вариационный ряд. Эмпирическая функция распределения. Гистограмма и полигон частот.9 Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
9.1 Базовый учебник
Гмурман вероятностей и математическая статистика. — М.: Высшая школа, 2000 — 479 с.
9.2 Основная литература
Гмурман вероятностей и математическая статистика. — М.: Высшая школа, 2000 — 479 с.
Боровков вероятностей. М.: Наука, 1986
Чистяков теории вероятностей. М.: Наука, 1982
9.3 Дополнительная литература
, Свирид вероятностей и математическая статистика. Примеры и задачи. – Минск: Новое знание, 2002 – 250 с.
Кремер вероятностей и математическая статистика. М. ЮНИТИ, 2004.
Ширяев . – М.: Наука, 1989 – 640 с.
